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Matematica Discreta

Domenico Luminati

a.a. 1998/99

Questo è il diario ``in tempo reale'' del corso, corredato da brevi note delle lezioni. Alla fine del corso servirà come programma d'esame. Queste note non vogliono sostitutire i libri di testo, che restano quelli indicati nel programma del corso, ma soltanto dare una traccia da seguire per la preparazione dell'esame.

Lezione 1 (22 febbraio 1999 h. 9.30-10.30)
- L'assioma di buon ordinamento dei numeri naturali
- Principio di induzione: prima forma
- Principio di induzione: seconda forma
- Divisione euclidea tra naturali
Lezione 2 (24 febbraio 1999 h. 9.30-10.30)
- Divisione euclidea tra interi
- Scrittura in base arbitraria degli interi
Lezione 3 (25 febbraio 1999 h. 10.30-11.30)
- Divisibilità e sue prime proprietà
- Il massimo comun divisore: definizione, esistenza e unicità
Lezione 4 (1 marzo 1999 h. 9.30-10.30)
- L'algoritmo di Euclide per il calcolo del M.C.D.
- Proprietà dei numeri coprimi e caratterizzazione dei numeri primi
- Il minimo comune multiplo: definizione, esistenza e unicità
Lezione 5 (3 marzo 1999 h. 9.30-10.30)
- Il teorema fondamentale dell'Aritmetica
- Esistenza di infiniti numeri primi
- Calcolo del M.C.D. e del m.c.m. usando la fattorizzazione in primi
Lezione 6 (8 marzo 1999 h. 9.30-10.30)
- Definizione di congruenza e prime proprietà
- Classi di congruenza
- Le classi modulo n sono esattamente n
- Somma e prodotto di classi di congruenza
- Il Teorema cinese del resto
Lezione 7 (15 marzo 1999 h. 9.30-10.30)
- Relazioni d'equivalenza: definizione e prime proprietà
- Partizioni e insieme quoziente
- Il teorema di omomorfismo per insiemi
Lezione 8 (17 marzo 1999 h. 9.30-10.30)
- Definizione di semigruppo
- Definizione di monoide
- Definizione di gruppo
- Definizione di sottosemigruppo, sottomonoide, sottogruppo
- Criterio del sottogruppo
Lezione 9 (18 marzo 1999 h. 10.30-11.30)
- Definizione di permutazione
- Numero di applicazioni iniettive e di permutazioni
- Definizione di ciclo
- Decomposizione in cicli disgiunti
Lezione 10 (22 marzo 1999 h. 9.30-10.30)
- Dimostrazione del Teorema di decomposizione in cicli disgiunti
- Segno di una permutazione
- Sottogruppo generato
Lezione 11 (24 marzo 1999 h. 9.30-10.30)
- Definizione di ordine
- Definizione di classe laterale
- Relazione d'equivalenza indotta da un sottogruppo
- Il teorema di Lagrange
- Definizione di sottogruppo normale
Lezione 12 (25 marzo 1999 h. 10.30-11.30)
- Criteri di normalità
- Defnizione dell'operazione sui quozienti
- Definizione di morfismo
Lezione 13 (31 marzo 1999 h. 9.30-11.30)
- Prime proprietà dei morfismi
- Isomorfismi
- Nucleo di un morfismo
- Primo teorema di omomorfismo
- Classificazione dei gruppi ciclici
Lezione 14 (12 aprile 1999 h. 9.30-10.30)
- Definizione di anello
- Prime proprietà degli anelli
- Sottoanelli
- Divisori di zero e unità
- Corpi
Lezione 15 (14 aprile 1999 h. 9.30-10.30)
- Definizione di morfismo di anelli
- Quozienti e ideali
- Nucleo di un morfismo
- Primo teorema di omomorfismo per anelli
Lezione 16 (19 aprile 1999 h. 9.30-10.30)
- Anello delle serie formali
- Anello dei polinomi
Lezione 17 (21 aprile 1999 h. 9.30-10.30)
- Proprietà universale dei polinomi
- Polinomi e funzioni polinomiali
- Divisione euclidea
- Teorema di Ruffini
Lezione 18 (22 aprile 1999 h. 10.30-11.30)
- Principio di identità dei polinomi
- Matrice di Vandermonde
- Molteplicità di una radice
- Caratteristica
- Molteplicità in caratteristica 0
Lezione 19 (26 aprile 1999 h. 9.30-10.30)
- Dimostrazione del teorema 18.11
- Equazioni ricorsive lineari
Lezione 20 (28 aprile 1999 h. 9.30-10.30)
- Lo spazio $\cal V$ ha dimensione finita
- Polinomio caratteristico
- Base di $\cal V$ (caso delle radici distinte)
- Base di $\cal V$ (caso generale)
Lezione 21 (29 aprile 1999 h. 10.30-11.30)
- Definizione di campo algebricamente chiuso
- Fattorizzazione nei campi algebricamente chiusi
- Radici complesse di un polinomio reale
- Base dello spazio delle soluzioni di un equazione ricorsiva (caso reale)
Lezione 22 (3 maggio 1999 h. 9.30-10.30)
- Definizione di anello booleano
- Prime proprietà degli anelli booleani
- Ideali massimali
- Teorema di rappresentazione degli anelli booleani
Lezione 23 (5 maggio 1999 h. 9.30-10.30)
- Dimostrazione del teorema di rappresentazione
- Definizione di insieme parzialmente ordinato
- Ordinamento degli anelli booleani
Lezione 24 (10 maggio 1999 h. 9.30-10.30)
- Definizione di reticolo
- Gli anelli booleani sono reticoli.
- Principio di dualità dei reticoli
- Prime proprietà dei reticoli
Lezione 25 (12 maggio 1999 h. 9.30-10.30)
- Reticoli come insiemi con operazioni
- Definizione di complemento
- Definizione di reticolo distributivo
- Definizione di algebra di Boole
- Gli anelli booleani sono algebre di Boole
Lezione 26 (17 maggio 1999 h. 9.30-11.30)
- Prime proprietà delle algebre di Boole
- Le algebre di Boole sono anelli booleani
- Definizione di morfismo di algebre di Boole
- Definizione di sottoreticoli e sottoalgebre di Boole
- Teorema di rappresentazione per le algebre di Boole
Lezione 27 (20 maggio 1999 h. 10.30-11.30)
- Definizione di $\Omega$ -algebra
- Definizione di morfismo di $\Omega$ -algebre
- Definizione di sotto $\Omega$ -algebra
- Definizione di quoziente
Soluzione degli esercizi proposti
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Domenico Luminati
1999-06-09