Lezione 11 (24 marzo 1999 h. 9.30-11.30)

Definizione di ordine

Definizione 11.1   Sia G un gruppo finito si chiama ordine di G il numero dei suoi elementi, e si denota con o(G). Se $g\in G$ chiamiamo ordine il numero $o(g)=o(\left\langle {}g\right\rangle)$.

Esercizio 11.1    Si provi che g^o(g)=1.
Soluzione

Esercizio 11.2    Si provi che se $o(g)=\min \{n\in\mathbb N\mid n>0\hbox{\rm { e }} g^n=1\}$.
Soluzione

Definizione di classe laterale

Definizione 11.2   Sia G un gruppo $H\le G$ e $g\in G$ si chiama classe laterale sinistra l'insieme

$$gH=\{gh\mid h\in H\}.$$

Si chiama classe laterale destra l'insieme

$$Hg=\{hg\mid h\in H\}.$$

Relazione d'equivalenza indotta da un sottogruppo

Siano $H\le G$ e si consideri la relazione

$$g_1 \stackrel{H}{\sim}g_2 \iff \exists h\in H \hbox{\rm { t.c. }} g_2=g_1h$$ (14)

Osservazione 11.3   Se $g_1\stackrel{H}{\sim}g_2$ allora g₁=g₂h per qualche $h\in H$, e quindi $g_1^{-1}g_2=h\in H$. Viceversa se $g_2^{-1}g_1\in H$ allora g₁^-1g₂=hper qualche $h\in H$ e quindi g₂=g₁h. Ossia $g_1\stackrel{H}{\sim}g_2$ se e solo se $g_1^{-1}g_2\in H$.

Proposizione 11.4   $\stackrel{H}{\sim}$ è una relazione d'equivalenza, e per ogni $g\in G$ si ha che $\left[g\right]_{\stackrel{H}{\sim}}=gH$.

Dim.  $\stackrel{H}{\sim}$ è riflessiva. Dato che H è un sottogruppo, $1\in H$ e dato che g=gi si ha che $g\stackrel{H}{\sim}g$per ogni $g\in G$.

$\stackrel{H}{\sim}$ è simmetrica Sia $g_1\stackrel{H}{\sim}g_2$ ossia esiste $h\in H$ tale che g₂=g₁ h, ma allora, moltiplicando a destra per h^-1 si ottiene che g₂h^-1=g₁h h^-1=g₁1=g₁ e dato che H è un sottogruppo $h^{-1}\in H$ e quindi $g_2\stackrel{H}{\sim}g_1$.

$\stackrel{H}{\sim}$ è transitiva. Siano $g_1\stackrel{H}{\sim}g_2$ e $g_2\stackrel{H}{\sim} g_3$ ovvero g2=g₁h₁ e g₃=g₂h₂ con $h_1,h_2\in H$. Sostituendo la prima nella seconda si ottiene che g₃=g₁h₁h₂ e dao che H è un sottogruppo $h^{-1}\in H$ e quindi $g_3\stackrel{H}{\sim}g_1$.

Che $\left[g\right]_{\stackrel{H}{\sim}}=gH$ segue immediatamente dalla definizione di classe laterale e dalla definizione di classe d'equivalenza.     $\square$

L'insieme quoziente $G\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}\stackrel{H}{\sim}}} {{}_{\!\textsty... ...tstyle {}\stackrel{H}{\sim}}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}\stackrel{H}{\sim}}}$ si denota semplicemente con $G\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}H}} {{}_{\!\textstyle {}H}} {{}_{\!\scriptstyle {}H}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}H}}$ e si chiama il quoziente di G modulo H.

Corollario 11.5   Le classi laterali sinistre gH costituiscono una partizione di G.

Dim.  Segue immediatamente dalla proposizione precedente e dall'analoga proprietà dimostrata in generale per le classi di una relazione d'equivalenza qualsiasi (osservazione 7.7).     $\square$

Il teorema di Lagrange

Lemma 11.6   Sia $H\le G$ e sia $g\in G$. Gli insiemi H e gH sono in bigezione.

Dim.  Si consideri l'applicazione $\varphi:H\to gH$ definita da $\varphi(h)=gh$. L'applicazione è surgettiva per definizione di classe laterale. Dimostriamo che è anche iniettiva. Se $\varphi(h_1)=\varphi(h_2)$ allora gh₁=gh₂ e quindi, moltiplicando a sinistra per g^-1 si ottiene

h₁=1h₁=g^-1gh₁=g^-1gh₂=1h₂=h₂.

    $\square$

Osservazione 11.7   La proprietà dei gruppi usata nella dimostrazione precedente, ossia che

$$gg_1 =gg_2\Rightarrow g_1=g_2$$

è nota con il nome di legge di cancellazione sinistra (l'analoga ottenuta moltiplicando a destra si chiama legge di cancellazione destra). Si osservi che in generale questa non vale nei monoidi, ad esempio in $(\mathbb Z,\cdot)$ si ha che $0\cdot1=0\cdot2$ ma $1\ne 2$

Teorema 11.8 (Lagrange)   Siano G un gruppo finito e $H\le G$. Allora

$$o(H)\big\vert o(G).$$

Dim.  Dal lemma precedente segue che le classi laterali di H hano tutte lo stesso numero di elementi pari ad o(H), quindi, detto k il numero di classi laterali (ossia il numero di elementi del quoziente $G\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}H}} {{}_{\!\textstyle {}H}} {{}_{\!\scriptstyle {}H}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}H}}$), dato che queste sono una partizione, si ha che o(G)=ko(H) e quindi la tesi.     $\square$

Definizione di sottogruppo normale

Definizione 11.9   Un sottogruppo $H\le G$ si dice normale se per ogni $g\in G$ si ha che gH=Hg. Per indicare che H è un sottogruppo normale di G si scriverà anche $H\trianglelefteq G$.

Osservazione 11.10   Se G è commutativo e $H\le G$ allora dalla definizione di classe laterale segue immediatamente che gH=Hg per ogni $g\in G$ e quindi ogni sottogruppo di un gruppo commutativo è normale. Comunque in generale, esistono sottogruppi non normali. Si consideri ad esempio $H=\left\langle {}(1\ 2)\right\rangle\le S_3$. Semplici calcoli mostrano che

$$\begin{array}{rcl} (1\ 2\ 3)H&=&\{(1\ 2\ 3), (1\ 3)\} \\ H(1\ 2\ 3)&=&\{(1\ 2\ 3), (2\ 3)\} \end{array}$$

e quindi H non è normale.