Lezione 12 (25 marzo 1999 h. 10.30-10.30)

Criteri di normalità

Proposizione 12.1   Sia G un gruppo e $H\le G$. Le seguenti proposizioni sono equivalenti:

1.

H è normale

2.

  $\forall g\in G, h\in H \quad g^{-1}hg\in H$

3.

  $\forall g\in G \quad g^{-1}Hg=H$ (dove g^-1Hg denota l'insieme $\{g^-1hg\mid h\in H\}$).

Dim.  $(1)\Rightarrow(2)$. Siano $g\in G$ e $h\in H$ allora $hg\in Hg$. Dato che Hè normale, Hg=gH, quindi $hg\in gH$ ossia esiste $h'\in H$ tale che hg=gh', da cui, moltiplicando a sinistra per g^-1, $g^{-1}hg=h'\in H$.

$(2)\Rightarrow(3)$. La (2) implica immediatamente (per definizione) che $g^{-1}HG\subseteq H$. Proviamo l'inclusione opposta. Sia $h\in H$, usando la (2) e il risultato dell'esercizio 8.2, si ha che $ghg^{-1}=(g^{-1})^{-1}hg^{-1}=h'\in H$, ma allora $h=g^{-1}ghg^{-1}g=g^{-1}h'g\in g^{-1}Hg$.

$(3)\Rightarrow(1)$. Se $h\in H$ allora per la (2) esiste h' tale che h=g^-1hg, ma allora $gh=h'g\in Hg$, ovvero $gH\subseteq Hg$. Analogamente, sempre per (2), si ha che anche $Hg\subseteq gH$.     $\square$

Defnizione dell'operazione sui quozienti

Sia $H\le G$ si vuole definire un'operazione su $G\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}H}} {{}_{\!\textstyle {}H}} {{}_{\!\scriptstyle {}H}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}H}}$. Viene naturale cercare di definire un operazione nel modo seguente:

$$g_1Hg_2H=(g_1g_2)H\quad \forall g_1H,g_2H\in G\big/\mathchoi... ...}} {{}_{\!\scriptstyle {}H}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}H}}$$ (15)

Questa formula definisce una operazione se e solo se

$$\left. \begin{array}{r} g_1H=g_1'H\\ g_2H=g_2'H \end{array}\right\} \Rightarrow (g_1g_2)H=(g_1'g_2')H$$

ossia se e solo se

$$\left. \begin{array}{r} g_1\stackrel{H}{\sim}g_1'\\ g_2\sta... ...d{array}\right\} \Rightarrow g_1g_2 \stackrel{H}{\sim}g_1'g_2'$$ (16)

Teorema 12.2   Vale la (16) se e solo se H è un sottogruppo normale.

Dim.  Supponiamo che H sia normale. Se $g_1\stackrel{H}{\sim}g_1'$ e $g_2\stackrel{H}{\sim}g_2'$ allora esistono $h_1,h_2\in H$ tali che g₁'=g₁h₁ e g₂'=g₂h₂. Quindi:

$$(g_1g_2)^{-1}g_1'g_2'=g_2^{-1} g_1^{-1}g_1'g_2'=g_2^{-1} g_1^{-1}g_1h_1g_2h_2= =g_2^{-1}h_1g_2h_2\in H$$

in quanto $g_2^{-1}h_1g_2\in H$ per la seconda condizione di normalità di proposizione 12.1.

Supponiamo che valga (16). Sia $g\in G$ e $h\in H$. Dato che $g\stackrel{H}{\sim}g$ e $h\stackrel{H}{\sim}1$ si ha che $hg\stackrel{H}{\sim}1g$ e quindi esiste h₁ tale che hg=gh₁ da cui $g^{-1}hg=h_1\in H$, per la seconda condizione di normalità di proposizione 12.1 si ha allora che H è normale.     $\square$

Proposizione 12.3   Se $H\trianglelefteq G$, allora $G\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}H}} {{}_{\!\textstyle {}H}} {{}_{\!\scriptstyle {}H}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}H}}$ dotato dell'operazione definita in (15) è un gruppo

Dim.  L'operazione è associativa. Infatti

$$\begin{array}{rl} ( g_1 H g_2 H ) g_3 H &= ( g_1 g_2 ) H g_3 ... ...) ) H = g_1 H ( g_2 g_3 ) H = g_1 H ( g_2 H g_3 H ) \end{array}$$

$G\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}H}} {{}_{\!\textstyle {}H}} {{}_{\!\scriptstyle {}H}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}H}}$ possiede una unità sinistra e destra. Infatti

gH1H=(g1)H=gH=(1g)H=1H gH

Ogni elemento di $G\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}H}} {{}_{\!\textstyle {}H}} {{}_{\!\scriptstyle {}H}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}H}}$ è invertibile a sinistra e a destra.

gH g^-1H = ( gg^-1)H = 1H= (g^-1g)H = g^-1HgH.

    $\square$

Definizione di morfismo

Definizione 12.4   Siano G e G' due gruppi. Un'applicazione $\varphi:G\to G'$ è detta un morfismo se

$$\forall g_1,g_2\in G\quad \varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2).$$

Osservazione 12.5   Se $H\trianglelefteq G$ allora la proiezione a quoziente $\pi:G\to G\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}H}} {{}_{\!\textstyle {}H}} {{}_{\!\scriptstyle {}H}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}H}}$, $\pi(g)=gH$ è un morfismo. O meglio la definizione dell'operazione è data in modo da far sì che la proiezione risulti un morfismo.

Esempio 12.6   Si consideri l'applicazione $\exp:(\mathbb R,+)\to (\mathbb R_+,\cdot)$ definita da $\exp(x)=e^x$. $\exp$ è un morfismo, infatti

$$\exp(x+y)=e^{x+y}=e^x e^y=\exp(x)\cdot\exp(y)$$