Dim.
1G=1G1G e quindi
.
Moltiplicando a sinistra per
l'inverso di
segue che
.
1G=gg-1 e quindi
.
Moltiplicando entrambi i
membri a sinistra per
si ottiene
.
Dim.
Siano
,
e chiamiamo
e
.
Dato che
è un morfismo
Dim.
La 1 della proposizione 13.1, garantisce che
,
e quindi
.
Siano
,
allora, usando la 2 di proposizione
13.1 ed il fatto che
,
Sia ora
e
,
allora
,
e quindi, per la proposizione
12.1,
è normale.
Dim.
Se
è iniettivo, allora necessariamente
ha un solo
elemento (si troverebbero altrimenti due elementi distinti aventi per immagine
1) e poiché
si ha che
.
Viceversa siano
tali che
,
allora
Dim.
Per quanto osservato precedentemente, l'esistenza di una unica applicazione che faccia commutare il
diagramma, e che tale applicazione verifichi le condizioni 1 e 2, è garantita dal teorema di omomorfismo per
insiemi. Per avere
la tesi, dobbiamo soltanto mostrare che tale applicazione è un morfismo,
ossia che
.
Ma,
usando la commutatività del diagramma, ed
il fatto osservato precedentemente, che
è un morfismo, si ha:
Dim.
Sia g un generatore di G, e si consideri l'applicazione
definita da
.
Il fatto che
g(h+k)=ghgk, per ogni
mostra che
è un morfismo. D'altra parte, dato che g è
un generatore di G,
è
surgettivo, ma allora per quanto osservato sopra, G è isomorfo a
.
D'altra parte i
sottogruppi di
sono tutti e soli della forma
con
,
quindi
G è isomorfo o a
,
e ciò si ha solo se Gè infinito, oppure
ed in tal caso o(G)=n.