Lezione 8 (17 marzo 1999 h. 9.30-10.30)

Definizione di semigruppo

Definizione 8.1   Sia X un insieme. Un'operazione binaria su X è un'applicazione $X\times X\to X$. Se $*:X\times X\to X$ è un'operazione si scriverà x₁*x₂ piuttosto che *(x₁,x₂). Un'operazione * si dice associativa se

$$x_1*(x_2*x_3)=(x_1*x_2)*x_3\qquad \forall x_1,x_2,x_3\in X$$ (2)

Una coppia (X,*) dove X è un insieme e * è un'operazione associativa su X si dice un semigruppo.

Di norma, se non ci saranno ambiguità, l'operazione di un semigruppo viene denotata con $\cdot$ (notazione moltiplicativa) o con + (notazione additiva). Nel primo caso il punto viene quasi sempre omesso.

Definizione di monoide

Definizione 8.2   Sia (X,*) un monoide, un elemento $e\in X$ si dice una unità sinistra se

$$e*x=x\quad\forall x\in X$$ (3)

un elemento $e\in X$ si dice una unità destra se

$$x*e=x\quad\forall x\in X$$ (4)

un elemento che sia contemporaneamente una unità sinistra e destra si dice una unità.

Un semigruppo si dice un monoide se possiede una unità.

Proposizione 8.3   Sia (X,*) un semigruppo e siano e una unità sinistra e e' una unità destra, allora e=e'.

Dim.  Si ha e'=e*e'=e, dove la prima uguaglianza vale poiché e è una unità sinistra e la seconda in quanto e' è una unità destra.     $\square$

Osservazione 8.4   In particolare dalla proposizione precedente segue che in un monoide l'unità è unica. L'unità di un monoide viene usualmente denotata con 1 se si sta usando la notazione moltiplicativa o con 0 se si sta usando la notazione additiva.

Definizione di gruppo

Definizione 8.5   Sia X un monoide, e sia $x\in X$, un elemento $y\in X$ si dice un inverso sinistro di x se yx=1, si dice un inverso destro se xy=1 si dice un inverso se è inverso sia destro che sinistro. Un monoide in cui ogni elemento possiede un inverso si chiama un gruppo

Proposizione 8.6   Sia X un monoide, $x\in X$ e siano y e y' rispettivamente un inverso destro ed un inverso sinistro di x, Allora y=y'.

Dim.  y=y1=y(xy')=(yx)y'=1y'=y'.     $\square$

Osservazione 8.7   In particolare la proposizione precedente garantisce che in un gruppo ogni elemento ha un unico inverso. L'inverso di un elemento x viene denotato con x^-1 con la notazione moltiplicativa e con -x con la notazione additiva.

Definizione 8.8   Una operazione sull'insieme X si dice commutativa se per ogni $x_1,x_2\in X$ si ha x₁x₂=x₂x₁. Se l'operazione di un semigruppo [risp. monoide, gruppo] è commutativa, il semigruppo [risp. monoide, gruppo] sarà detto commutativo.

Esercizio 8.1      Siano X,Y insiemi e sia * un'operazione su Y. Su Y^X si definisca l'operazione, $\bullet$ ponendo

$$f\bullet g (x) =f(x) * g(x) \qquad \forall x\in X$$

Si provi che

1.

se (Y,*) è un semigruppo, anche $(Y^X,\bullet)$ lo è;

2.

se (Y,*) è un monoide, anche $(Y^X,\bullet)$ lo è;

3.

se (Y,*) è un gruppo, anche $(Y^X,\bullet)$ lo è;

4.

se * è commutativa, allora anche $\bullet$ lo è.

Soluzione

Esercizio 8.2      Si dimostri che se G è un gruppo allora per ogni $g\in G$ si ha che (g^-1)^-1=g.
Soluzione

Esercizio 8.3    Sia G un gruppo e siano $g_1,g_2\in G$ si provi che (g₁g₂)^-1=g₂^-1g₁^-1. Si dimostri che (g₁g₂)^-1=g₁^-1g₂^-1 per ogni $g_1,g_2\in G$ se e solo se il gruppo è commutativo.
Soluzione

Esercizio 8.4     Sia M un monoide e sia $G=\{m\in M\mid m \hbox{\rm { \\lq e invertibile}}\}$. Si dimostri che G con l'operazione del monoide è un gruppo.
Soluzione

Definizione di sottosemigruppo, sottomonoide, sottogruppo

Definizione 8.9   Sia $Y\subseteq X$. Se X è un semigruppo, diremo che Y è un sottosemigruppo di X se

1.

  $y_1,y_2\in Y\Rightarrow y_1y_2\in Y$

Se X è un monoide diremo che Y è un sottomonoide di X se è un sottosemigruppo ed in più

1.

 $1\in Y$

Se X è un gruppo, diremo che Y è un sottogruppo di X se è un sottomonoide ed in più

1.

  $y\in Y \Rightarrow y^{-1}\in Y$

Per indicare che Y è un sottogruppo di X si scriverà anche $Y\le X$.

Criterio del sottogruppo

Proposizione 8.10 (criterio del sottogruppo)   Sia G un gruppo e sia $H\subseteq G$, $H\ne\varnothing$. H è un sottogruppo se e solo se

$$\forall h_1,h_2\in H\qquad h_1h_2^{-1}\in H$$ (5)

Dim.  Se H è un sottogruppo, e $h_1,h_2\in H$, allora per la 3 della definizione di sottogruppo si ha che $h_2^{-1}\in H$ e quindi per la 1 $h_1h_2^{-1}\in H$.

Viceversa, supponiamo che valga la (5). Dato che $H\ne\varnothing$esiste $h\in H$, ma allora per (5) si ha che $1=hh^{-1}\in H$ e quindi vale la 2 di 8.9. Dato $h\in H$, visto che $1\in H$si ha allora che $h^{-1}=1h^{-1}\in H$ ossia vale anche la 3 di 8.9. Infine, se $h_1,h_2\in H$, allora $h_2^{-1}\in H$ e quindi $h_1(h_2^{-1})^{-1}\in H$. D'altra parte, per l'esercizio 8.2, (h₂^-1)^-1=h₂ e quindi $h_1h_2\in H$, ovvero vale la 1 di 8.9.     $\square$

Esercizio 8.5     Si provi che i sottogruppi di $\mathbb Z$ sono tutti e soli gli insiemi della forma $n\mathbb Z=\{m\in\mathbb Z\mid n\big\vert m\}$.
Soluzione

Esercizio 8.6      Sia X un gruppo, per ogni $x\in X$ e $n\in\mathbb Z$ si definisce xⁿ ponendo

$$\begin{array}{rcll} x^0 &= &1 \\ x^{n+1}&=&xx^n\qquad &\fora... ... \ge 0 \\ x^n&=&(x^{-1})^{-n}\qquad &\forall n < 0 \end{array}$$

Si provi che per ogni $n,m\in\mathbb Z$ e per ogni $x\in X$ si ha

  

x^-n = (x^-1)ⁿ (6)

xⁿx^m = x^n+m (7)

(xⁿ)^-1 = x^-n (8)

(xⁿ)^m = x^nm (9)

Soluzione