Lezione 14 (12 aprile 1999 h. 9.30-10.30)

   
Definizione di anello

Definizione 14.1   Si chiama anello una terna $(R,+,\cdot)$ dove R è un insieme e +, $\cdot$ sono due operazioni su R tali che:

1.

(G,+) è un gruppo commutativo

2.

$(G,\cdot)$ è un semigruppo

3.

 per ogni $a,b,c\in R$ si ha a(b+c)=ab + ac e (b+c)a=ba+ca.

Le due proprietà del punto 3 si dicono proprietà distributive a sinistra e a destra. L'elemento neutro della somma sarà denotato con 0 e l'inverso di a per la somma sarà denotato con -a. Per brevità si scriverà a-b invece di a+(-b). Un anello si dice commutativo se l'operazione $\cdot$ è commutativa. Si dice che R è un anello con identità se esiste un elemento non nullo che sia neutro per $\cdot$ (i.e. $(R,\cdot)$ è un monoide). Tale elemento neutro, che è unico è detto l'identità dell'anello e denotato con 1.

Esercizio 14.1    Gli insiemi $\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R$ dotati delle usuali operazioni di somma e prodotto sono tutti anelli commutativi con identità. Le classi di resto modulo n con le operazioni di somma e prodotto definite nell'osservazione 6.9 è un anello commutativo con identità. Il prodotto cartesiano $\mathbb Z\times\mathbb Z$ con le operazioni (a₁,a₂)+(b₁,b₂)=(a₁+b₁,a₂+b₂) e (a₁,a₂)(b₁,b₂)=(a₁b₁,a₂b₂) è un anello commutativo con identità. L'insieme delle matrici $n\times n$ a coefficienti reali è un anello, in generale non commutativo (è commutativo se e solo se n=1.
Soluzione

Esercizio 14.2    Sia R un anello e X un insieme, si provi che R^X con le operazioni definite da

$$\begin{eqnarray*}(f+g)(x) & = & f(x)+g(x) \\ (fg)(x) & = & f(x)g(x) \end{eqnarray*}$$

è un anello. Se R è commutativo, anche R^X lo è, se R ha un'identità, anche R^X ne ha una.
Soluzione

Prime proprietà degli anelli

Proposizione 14.2   Sia R un anello, allora

1.

per ogni $a\in R$ si ha a0=0a=0.

2.

per ogni $a,b\in R$ si ha a(-b)=(-a)b=-(ab)

Dim.  Sia $a\in R$, allora a0=a(0+0), usando la proprietà distributiva si ha allora a(0+0)=a0+a0 e quindi, a)=a0+a0. Dato che R è un gruppo rispetto alla somma, vale la legge di cancellazione e quindi 0=a0. In modo del tutto analogo si prova che 0a=0.

Siano $a,b\in R$, allora usando quanto appena dimostrato e la proprietà distributiva si ha che 0=a0=a(b+(-b))=ab+a(-b), da cui -(ab)=a(-b). Analogamente si prova che (-a)b=-(ab).     $\square$

Sottoanelli

Definizione 14.3   Sia R un anello, un sottinsieme $S\subseteq R$ sarà detto un sottoanello se è contemporaneamente un sottogruppo di (R,+) e un sottosemigruppo di $(R,\cdot)$. Se R è un anello con identità, si richiede anche che $1\in S$. In altre parole:

1.

$a,b\in S\Rightarrow a-b\in S$

2.

$a,b\in S\Rightarrow ab\in S$

3.

$1\in R\Rightarrow1\in S$.

Divisori di zero e unità

Definizione 14.4   Un elemento $a\in R$ è detto un divisore di 0 se $a\ne 0$ ed esiste $b\in R$, $b\ne0$ tale che ab=0 oppure ba=0. Un anello commutativo con identità che non contiene divisori di zero viene detto un dominio di integrità.

Definizione 14.5   Sia R un anello con identità. Un elemento $u\in R$ sarà detto una unità se è invertibile rispetto al prodotto, ossia se esiste $v\in R$ tale che uv=vu=1. Tale elemento v se esiste è unico e viene denotato con u^-1.

Esempio 14.6   La matrice $\pmatrix{1&0\cr0&0}$ è un divisore di 0 nell'anello delle matrici $2\times 2$. Infatti

$$\pmatrix{1&0\cr0&0}\pmatrix{0&0\cr0&1}=\pmatrix{0&0\cr0&0}$$

Tutte le coppie del tipo (a,0) sono dei divisori di 0 nell'anello $\mathbb Z\times\mathbb Z$, infatti (a,0)(0,b)=(0,0) per ogni $a,b\in\mathbb Z$, quindi $\mathbb Z\times\mathbb Z$ non è un dominio di integrità.

Le unità di $\mathbb Z$ sono soltanto 1,-1. Le unità di $\mathbb Z\times\mathbb Z$ sono (1,1), (1,-1), (-1,-1) e (-1,1).

Esercizio 14.3     Si provi che $\left[a\right]\in\mathbb Z\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}n\mathbb Z}}... ...} {{}_{\!\scriptstyle {}n\mathbb Z}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}n\mathbb Z}}$ è una unità se e solo se il massimo comun divisore (a,n)=1.
Soluzione

Esercizio 14.4      Si provi che $\left[a\right]\in\mathbb Z\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}n\mathbb Z}}... ...yle {}n\mathbb Z}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}n\mathbb Z}}-\{\left[0\right]\}$ è un divisore di 0 se e solo se $(a,n)\ne1$ .
Soluzione

Proposizione 14.7   L'insieme degli elementi invertibili di un anello con identità R, è un gruppo con l'operazione prodotto. Tale gruppo viene denotato con R^* ed è chiamato il gruppo delle unità di R.

Dim.  Indichiamo con $R^*=\{u\in R\mid u \hbox{\rm { \\lq e invertibile}}\}$. Se $u,v\in R^*$allora esistono u^-1 e $v^{-1}\in R$ tali che uu^-1=u^-1u=vv^-1=v^-1v=1, ma allora (uv)(v^-1u^-1)=u(vv^-1)u^-1=u1u^-1=uu^-1=1 e analogamente anche (v^-1u^-1)(uv)=1, quindi uv è una unità ovvero $uv\in R^*$.

Evidentemente $1\in R^*$ e se u è una unità anche u^-1 lo è, quindi la tesi.     $\square$

Esercizio 14.5    Si confronti la dimostrazione della proposizione precedente con la soluzione dell'esercizio 8.4 e si spieghi perché sono ``così simili''.
Soluzione

Osservazione 14.8   Lo 0 non è mai invertibile, dato che $0x=0\ne1$ per ogni $x\in R$.

Corpi

Definizione 14.9   Un anello con identità viene detto un corpo se ogni suo elemento diverso da 0 è invertibile. Un corpo viene detto un campo se è commutativo.

Lemma 14.10   Sia R un anello con identità, e sia $u\in R$ una unità. Allora u non è un divisore di 0.

Dim.  Sia u una unità e sia b tale che ub=0, allora b=u^-1ub=u^-10=0, e quindi u non è un divisore di 0.     $\square$

Corollario 14.11   In un corpo non ci sono divisori di 0, e quindi ogni campo è un dominio di integrità.

Dim.  Ogni elemento diverso da 0 di un corpo è invertibile, e, per quanto appena visto, gli elementi invertibili non sono divisori di zero.     $\square$

Esercizio 14.6    Si provi che $\mathbb Z\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}n\mathbb Z}} {{}_{\!\textsty... ...} {{}_{\!\scriptstyle {}n\mathbb Z}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}n\mathbb Z}}$ è un campo se e solo se n è primo.
Soluzione

Esercizio 14.7    Si provi che il gruppo delle unità di $\mathbb Z$ è isomorfo a $\mathbb Z\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}2\mathbb Z}} {{}_{\!\textsty... ...} {{}_{\!\scriptstyle {}2\mathbb Z}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}2\mathbb Z}}$.
Soluzione