Lezione 15 (14 aprile 1999 h. 9.30-10.30)

Definizione di morfismo di anelli

Definizione 15.1   Siano R,R' anelli, una applicazione $f:R\to R'$ sarà detta un morfismo di anelli se:

1.

f(a+b)=f(a)+f(b) (ossia $f:(R,+)\to(R',+)$ è un morfismo di gruppi).

2.

f(ab)=f(a)f(b) (ossia $f:(R,\cdot)\to(R',\cdot)$ è un morfismo di semigruppi).

Se R ed R' sono anelli con identità, diremo che f è un morfismo di anelli con identità se in più:

1.

f(1)=1, (ossia $f:(R,\cdot)\to(R',\cdot)$ è un morfismo di monoidi).

Quozienti e ideali

Sia $S\subset R$ un sottogruppo rispetto alla somma. Dato che la somma è commutativa, S è un sottogruppo normale, quindi è definito il gruppo quoziente $G\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}S}} {{}_{\!\textstyle {}S}} {{}_{\!\scriptstyle {}S}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}S}}$ in modo che la proiezione a quoziente $\pi:R\to R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}S}} {{}_{\!\textstyle {}S}} {{}_{\!\scriptstyle {}S}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}S}}$ sia un morfismo di gruppi. E precisamente ponendo

 

(a+S)+(b+S)=(a+b)+S. (18)

Si vuole definire anche un'altra operazione su $R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}S}} {{}_{\!\textstyle {}S}} {{}_{\!\scriptstyle {}S}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}S}}$ in modo che con tali operazioni risulti un anello e che la proiezione sia un morfismo di anelli. Ossia si vuole che la seguente

 

(a+S)(b+S)=(ab)+S (19)

sia una buona definizione.

Osservazione 15.2   Osserviamo che, come nel caso dei gruppi, tale formula definisce effettivamente una operazione se e solo se

$$\left. \begin{array}{r} a+S=a'+S\\ b+S=b'+S \end{array}\right\} \Rightarrow (ab)+S=(a'b')+S$$

ossia se e solo se

$$\left. \begin{array}{r} a\stackrel{S}{\sim}a'\\ b\stackrel{... ...im}b' \end{array}\right\} \Rightarrow ab\stackrel{S}{\sim}a'b'$$ (20)

Definizione 15.3   Si dice che $I\subset R$ è un ideale se:

1.

  I è un sottogruppo di R rispetto alla somma

2.

  per ogni $a\in R$, $s\in I$ si ha che $sa\in I$ e $as\in I$.

Teorema 15.4   La (19) è una buona definizione se e solo se S è un ideale.

Dim.  Supponiamo che S sia un ideale e proviamo che allora vale la (20). Infatti se $a\stackrel{S}{\sim}a'$ e $b\stackrel{S}{\sim}b'$allora $a-a'\in S$ e $b-b'\in S$ e quindi esistono $s,t\in S$ tali che a-a'=s e b-b'=t, ovvero a=a'+s e b=b'+s. Ma allora, usando le proprietà distributive sia a sinistra che a destra, si ha:

ab=(a'+s)(b'+t)=a'b'+a't+sb'+st

de cui

$$ab-a'b'=a't+sb'+st \in S$$

dato che S è un sottogruppo rispetto alla somma e, per la proprietà (2) della definizione di ideale, $a't,sb',st\in S$. Quindi $ab\stackrel{S}{\sim}a'b'$.

Viceversa, supponiamo che la (19) sia una buona definizione, ossia che valga la (20). Allora se $a\in R$ e $s\in S$ si ha che $a\stackrel{S}{\sim}a$ e $s\stackrel{S}{\sim}0$, quindi $as\stackrel{S}{\sim}a0=0$ ossia $as\in S$. Analogamente si prova che anche $sa\in S$.     $\square$

Teorema 15.5   $R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}S}} {{}_{\!\textstyle {}S}} {{}_{\!\scriptstyle {}S}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}S}}$ con le operazioni definita da (18) e (19) è un anello e la proiezione a quoziente è un morfismo di anelli.

Dim.  Che $R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}S}} {{}_{\!\textstyle {}S}} {{}_{\!\scriptstyle {}S}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}S}}$ sia un gruppo commutativo rispetto alla somma, segue dai risultati che si hanno per i quozienti di gruppi.

Proviamo che il prodotto è associativo. Siano $a,b,c\in R$, allora

$$\begin{eqnarray*}(a+S)((b+S)(c+S))&=&(a+S)((bc)+S)=(a(bc))+S=((ab)c)+S=\\ &=&((ab)+S)(c+S)=((a+S)(b+S))(c+S) \end{eqnarray*}$$

Proviamo ora che vale la proprietà distributiva.Siano $a,b,c\in R$, allora

$$\begin{eqnarray*}(a+S)((b+S)+(c+S))&=&(a+S)((b+c)+S)=(a(b+c))+S= \\ &=&(ab+ac)+S=((ab)+S)+((ac)+S)= \\ &=&((a+S)(b+S))+((a+S)(c+S)) \end{eqnarray*}$$

Che la proiezione a quoziente sia un morfismo segue immediatamente dalla definizione.     $\square$

Nucleo di un morfismo

Definizione 15.6   Sia $\varphi:R\to R'$ un morfismo di anelli. Si chiama nucleo di $\varphi$l'insieme $\ker\varphi=\{a\in R\mid \varphi(a)=0\}$.

Proposizione 15.7   Il nucleo di un morfismo è un ideale.

Dim.  Se $\varphi:R\to R'$ è un morfismo di anelli, allora in particolare è un morfismo di gruppi, rispetto alla somma, quindi $\ker\varphi$ è un sottogruppo di R rispetto alla somma (si veda l'analogo risultato per i gruppi).

Siano ora $a\in R$ e $k\in\ker\varphi$, allora $\varphi(k)=0$ e quindi

$$\varphi(ak)=\varphi(a)\varphi(k)=\varphi(a)0=0.$$

ossia $ak\in\ker\varphi$. Allo stesso modo si prova che anche $ka\in\ker\varphi$ e quindi che $\ker\varphi$ è un ideale.     $\square$

Osservazione 15.8   Osserviamo che se $\varphi$ è un morfismo di anelli, allora, usando le proprietà dei morfismi di gruppo, $\varphi(a)=\varphi(a')$ se e solo se $\varphi(a)-\varphi(a')=o$ se e solo se $\varphi(a-a')=0$ se e solo se $a-a'\in\ker\varphi$. Ossia se chiamiamo $K=\ker\varphi$, si ha che la relazione d'equivalenza $\stackrel{\varphi}{\sim}$ indotta da $\varphi$ e la relazione $\stackrel{K}{\sim}$ indotta dal sottogruppo (additivo) K

Osservazione 15.9   Quanto visto sopra, ci dice anche che il morfismo $\varphi$ è iniettivo se e solo se $\ker\varphi=\{0\}$.

Primo teorema di omomorfismo per anelli

Teorema 15.10 (primo teorema di omomorfismo)   Sia $\varphi:R\to R'$ un morfismo di anelli. Allora esiste un unico morfismo di anelli $\widetilde{\varphi}:R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}\ker\varphi}} {{... ...\!\scriptstyle {}\ker\varphi}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}\ker\varphi}}\to R'$ tale che $\varphi=\widetilde{\varphi}\circ\pi$.

$$\begin{picture} (103,55)(-18,-6) \put(0,40){\makebox(0,0){$R... ...0){\vector(1,0){60}} \put(10,5){\vector(2,1){60}} \end{picture}$$ (21)

Si ha inoltre che:

1.

$\widetilde{\varphi{}}$ è iniettiva;

2.

$\widetilde{\varphi{}}$ è surgettiva se e solo se $\varphi$ è surgettiva.

Dim.  La dimostrazione è sostanzialmente identica a quella dell'analogo teorema per i gruppi, in ogni caso la ripetiamo.

L'esistenza di una $\widetilde{\varphi{}}$ che faccia commutare il diagramma e che verifichi le condizioni (1) e (2), segue dal teorema di omomorfismo per insiemi e dall'osservazione 15.8. Verifichiamo che $\widetilde{\varphi{}}$ è un morfismo di anelli. Siano $A,B\in R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}\ker\varphi}} {{}_{\!\textsty... ... {{}_{\!\scriptstyle {}\ker\varphi}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}\ker\varphi}}$, e siano $a,b\in R$tali che $\pi(a)=A$ e $\pi(b)=B$, allora, utilizzando il fatto che $\pi$ e $\varphi$ sono dei morfismi e la commutatività del diagramma (21), si ha:

$$\begin{eqnarray*}\widetilde{\varphi{}}(A+B)&=&\widetilde{\varphi{}}(\pi(a)+\pi(b... ...hi{}}(\pi(b))=\widetilde{\varphi{}}(A)+\widetilde{\varphi{}}(B). \end{eqnarray*}$$

Analogamente

$$\begin{eqnarray*}\widetilde{\varphi{}}(AB) &=&\widetilde{\varphi{}}(\pi(a)\pi(b)... ...phi{}}(\pi(b))=\widetilde{\varphi{}}(A)\widetilde{\varphi{}}(B). \end{eqnarray*}$$

Ciò conclude la dimostrazione.     $\square$

Esercizio 15.1    Si provi che se I è un ideale di R allora

1.

se R è commutativo allora $R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}I}} {{}_{\!\textstyle {}I}} {{}_{\!\scriptstyle {}I}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}I}}$ è commutativo.

2.

se R è con identità, allora anche $R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}I}} {{}_{\!\textstyle {}I}} {{}_{\!\scriptstyle {}I}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}I}}$ è con identità e la proiezione a quoziente è un morfismo di anelli con identità.

Soluzione

Esercizio 15.2      Sia $\{I_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ una famiglia di ideali dell'anello R. Si provi che $\bigcap\limits_{\lambda\in\Lambda}I_\lambda$ è un ideale di R.
Soluzione

Esercizio 15.3      Sia R un anello e $S\subseteq R$ un suo sottinsieme. Si definisca (S) l'ideale generato da S e, si usi l'esercizio precedente per provarne l'esistenza.
Soluzione

Esercizio 15.4     Sia R un anello commutativo, si provi che

$$(a) = \{b\in R\mid a \big\vert b\}$$

dove $a\big\vert b$ sta a significare che esiste $c\in R$ tale che b=ca. (Si confronti con la definizione 3.1).
Soluzione

Esercizio 15.5      Siano I,J ideali dell'anello commutativo R. Si definiscano

$$I+J = \{ i+j \mid i\in I, j\in J \}.$$

Si provi che $I+J=(I\cup J)$, ossia è l'ideale generato da $I\cup J$.
Soluzione

Esercizio 15.6      Sia R un anello con identità. Si provi che se I è un ideale di R che contiene una unità, allora I = R.
Soluzione

Esercizio 15.7    Si usi l'esercizio precedente per provare che R è un corpo se e solo se gli unici ideali che possiede sono (0) e R.
Soluzione