Lezione 16 (19 aprile 1999 h. 9.30-10.30)

Anello delle serie formali

Sia R un anello commutativo con identità. Consideriamo l'insieme $R^\mathbb N$delle successioni a valori in R. Se $a\in R^\mathbb N$ denoteremo con a_n il valore della funzione a sul naturale n.

Sull'insieme $R^\mathbb N$ possiamo definire due operazioni:

$$\begin{eqnarray*}(a+b)_n & = & a_n+b_n \\ (ab)_n & = & \sum\limits_{i=0}^na_ib_{n-i} \end{eqnarray*}$$

Per la commutatività della somma nell'anelle R il termine n-esimo del prodotto di due serie formali si può anche scrivere:

$$(ab)_n=\sum_{i+j=n}a_ib_j$$

intendendo in tal modo dire che la somma è estesa a tutte le coppie di indici i,j la cui somma è n.

Proposizione 16.1   L'insieme $R^\mathbb N$ con le due operazioni appena definite è un anello commutativo con identità. Tale anello viene chiamato l'anello delle serie formali a coefficienti in R.

Dim.  La verifica che la somma definisca una struttura di gruppo abeliano in cui lo 0 è la successione costantemente nulla (i.e. 0_n=0 per ogni n) ad in cui l'opposto della successione a è la successione (-a)_n=-a_n è lasciata per esercizio.

Dalla definizione e dal fatto che R è commutativo segue immediatamente che il prodotto di serie formali è commutativo. Proviamo che il prodotto è associativo.

$$\begin{eqnarray*}(a(bc))_n & = & \sum_{i+j=n} a_i(bc)_j = \sum_{i+j=n} a_i(\sum... ...um_{i+j=n}\sum_{h+k = i}a_h b_k c_j=\sum_{j +h +k =n}a_h b_k c_j \end{eqnarray*}$$

quindi (a(bc))_n=((ab)c)_n per ogni n e quindi (a(bc))=((ab)c).

Proviamo ora la proprietà distributiva.

$$\begin{eqnarray*}(a(b+c))_n & = & \sum_{i+j=n} a_i (b+c)_j=\sum_{i+j=n} a_i (b_... ...m_{i+j=n} a_i b_j+ \sum_{i+j=n} a_ic_j= (ab)_n+(ac)_n=(ab+ac)_n \end{eqnarray*}$$

dato che questa relazione vale per ogni n allora a(b+c)=ab+ac. L'altr aproprietà distributiva segue dalla commutatività del prodotto.

Consideriamo la successione 1 definita da

$$1_n=\big\langle \begin{array}{ll} 1 & \quad \hbox{\rm {se }}n=0 \\ 0 & \quad\hbox{\rm {se }}n\ne 0 \end{array}$$

allora

$$(1a)_n=\sum_{i=0}^n1_ia_{n-i}=1a_n=a_n$$

poiché tale relazione vale per ogni n allora 1a=a. Che anche a1=asegue dalla commutatività del prodotto.     $\square$

Anello dei polinomi

Definizione 16.2   Chiameremo polinomio una serie formale definitivamente nulla (i.e. esiste n tale che a_k=0 per ogni k>n). Se a è un polinomio, chiameremo grado di a il numero

$$\deg a=\max(k\in \mathbb N\mid a_k\ne0\}$$

con la convenzione che $\deg 0=-\infty$.

Proposizione 16.3   Se a e b sono polinomi, allora anche a+b e ab lo sono e

  

$$\deg(a+b) \le \max\{\deg a,\deg b\}$$ (22)

$$\deg(ab) \le \deg a + \deg b$$ (23)

Se R è un dominio di integrità, allora nella (23) vale l'uguaglianza.

Dim.  Se $n>\max\{\deg a,\deg b\}$necessariamente a_n=0 e b_n=0 e quindi a_n+b_n=0 per ogni $n>\max\{\deg a,\deg b\}$, quindi a+b è un polinomio e vale la (22).

Sia $n> \deg a + \deg b$ e consideriamo $(ab)_n=\sum_{i+j=n}a_ib_j$. Se $i \le \deg a$ e $j \le \deg b$ allora $i+j\le \deg a +\deg b < n$, quindi in ogni addendo della somma che esprime (ab)_n o $i>\deg a$ o $j>\deg b$ ossia almeno uno tra a_i e b_j è nullo. Quindi tutti gli addendi sono nulli e pertanto (ab)_n=0. Pertanto ab è un polinomio e vale la (23).

Sia R un dominio di integrità e siano $h=\deg a$ e $k=\deg b$ e consideriamo $(ab)_{h+k}=\sum_{i+j=h+k}a_ib_j$. Di tutti gli addendi di questa somma, l'unico che può essere non nullo è quello che si ottiene con i=he j=k (in tutti gli altri casi possibili si ha che o i>h e quindi a_i=0o j>k e quindi b_j=0). E quindi $(ab)_{h+k}=a_hb_k\ne 0$ in quanto $a_h\ne 0$, $b_k\ne 0$ e R è un dominio di integrità.     $\square$

Proposizione 16.4   L'insieme dei polinomi è un sottoanello dell'anello delle serie formali.

Dim.  La proposizione precedente mostra che l'insieme dei polinomi è chiuso per somma e prodotto. D'altra parte è evidente che le successioni 0 e 1 sono dei polinomi e che se a è un polinomio allora anche -a lo è.     $\square$

Osservazione 16.5   Indichiamo ora con P l'anello dei polinomi a coefficienti in R, e consideriamo l'applicazione $i:R\to P$ definita da $i(r)=(r,0,\dots0,\dots)$, ossia i(r) è la successione tale che i(r)₀=r e i(r)_n=0 per ogni n>0. L'applicazione i è un morfismo di anelli. Infatti

$$\begin{eqnarray*}i(r_1+r_2)_n&=&\big\langle \begin{array}{lll} r_1+r_2 &\hbox{... ... {se}} & n = 0 \\ 0+0=0 & \hbox{\rm {se}} & n > 0 \end{array}\end{eqnarray*}$$

e quindi i(r₁=r₂)=i(r₁)=i(r₂).

$$\begin{eqnarray*}i(r_1r_2)_n&=&\big\langle \begin{array}{lll} r_1r_2 &\hbox{\r... ...\ \sum\limits_{i=0}^n0=0 & \hbox{\rm {se}} & n > 0 \end{array}\end{eqnarray*}$$

Chiaramente il morfismo i è iniettivo, quindi è un isomorfismo con la sua immagine, possiamo, e d'ora in poi lo faremo, identificare R con la sua immagine i(R). Osserviamo ancora che se $r\in R$ e a è un polinomio, allora

$$(ra)_n=ra_n \quad \forall n.$$

Proposizione 16.6   Sia $x=(0,1,0,\dots)$. Allora per ogni $i\in\mathbb N$, xⁱ è la successione tale che

$$(x^i)_n=\big\langle \begin{array}{lll} 0 & \hbox{\rm {se}} & n\ne i \\ 1 & \hbox{\rm {se}} & i = n \end{array}$$

Dim.  Procediamo per induzione su i. Per i=0, dalla definizione di potenza)e:expg, segue che x⁰=1.

Supponiamo latesi vera per i allora

$$(x^{i+1})_n=(xx^i)_n=\sum_{j=0}^n x_j (x^i)_{n-j} = \big\lang... ...n-1} =(x^i)_{n-1} & \quad \hbox{\rm {se }} n \ge 1 \end{array}$$

ma per ipotesi di induzione

$$(x^i)_{n-1}=\big\langle \begin{array}{ll} 0 & \quad \hbox{\r... ...} n-1 \ne i \\ 1 & \quad \hbox{\rm {se }} n-1 = i \end{array}$$

quindi in definitiva

$$(x^{i+1})_n=\big\langle \begin{array}{ll} 0 & \quad \hbox{\r... ...\ne i + 1 \\ 1 & \quad \hbox{\rm {se }} n = i + 1 \end{array}$$

    $\square$

Osservazione 16.7   L'osservazione e la proposizione precedenti permettono allora di scrivere ogni polinomio nel modo usuale. Infatti

$$\begin{eqnarray*}(a_0,a_1,\dots,a_n,0,\dots,0\dots) & = & (a_0,0,\dots,0\dots) ... ...)= \\ &=&a_0x^0+a_1x^1+\cdots+a_nx^n=\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i \end{eqnarray*}$$

D'ora in poi si userà questa notazione per i polinomi, e si indicherà con R[x] l'anello dei polinomi a coefficienti in R.

L'anello delle serie formali si denota invece con R[[x]]. Il nome serie formali deriva dal fatto che una serie può essere pensata come una ``somma infinita'' del tipo $\sum_{i=0}^\infty a_ix^i$ essenso x come nella proposizione precedente. È chiaro che questa è però soltanto una comoda notazione, in quanto in un anello non si possono fare somme infinite.

Osservazione 16.8   Dalla (16.3) segue che se R è un dominio di integrità allora anche R[x] lo è. Infatti se $P,Q\in R[x]$ e sono non nulli, allora $\deg PQ=\deg P+\deg Q>-\infty$ e quindi $PQ\ne 0$. D'altra parte è chiaro che se R non è un dominio allora a maggior ragione non lo è R[x] che contiene R come sottanello.