Lezione 17 (21 aprile 1999 h. 9.30-10.30)

Proprietà universale dei polinomi

Teorema 17.1   Siano R e R' due anelli commutativi con identità, e sia $\varphi:R\to R'$ un morfismo di anelli con identità. Allora per ogni $t\in R'$ esiste un unico morfismo $\varphi_t:R[x]\to R'$ tale che

1.

$\setbox \restrictbox=\hbox{$\hbox{$\varphi_t$ }_{R}$ } \setbox 0\hbox{$\varphi_... ...epth\dp\restrictbox\, \hbox{\vrule depth\dp0 height \ht0 width0pt}_{R}}=\varphi$

2.

$\varphi_t(x)=t$

Dim.  Definiamo $\varphi_t:R[x]\to R'$ ponendo

$$\varphi_t(\sum_{i} a_i x^i)=\sum_{i} \varphi(a_i) t^i$$

l'applicazione è ben definita in quanto, trattandosi di polinomi, la somma a secondo membro è finita. Evidentemente l'applicazione $\varphi_t$ così definita verifica le proprietè (1) e (2). Proviamo che $\varphi_t$ è un morfismo.

Siano $P=\sum_ia_ix^i$ e $Q=\sum_ib_i x^i$

$$\begin{eqnarray*}\varphi_t(P+Q) & = &\varphi_t\sum_i(a_i+b_i)x^i=\sum_i\varphi(a... ...rphi(a_i) t^i+ \sum_i \varphi(b_i) t^i=\varphi_t(P)+\varphi_t(Q) \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*}\varphi_t(PQ) & = & \varphi_t(\sum_i(\sum_{h+k=i}a_hb_k)x^i) =... ...^i = \\ & = & \sum_i(\sum_{h+k=i}\varphi(a_h)\varphi(b_k))t^i \end{eqnarray*}$$

D'altra parte

$$\begin{eqnarray*}\varphi_t(P)\varphi_t(Q) & = & (\sum_i\varphi(a_i)t^i)(\sum_i\... ...varphi(a_i)\varphi( b_j)t^{i+j} = \sum_k(\sum_{i+j=k} a_ib_j)t^k \end{eqnarray*}$$

dove la terzultima uguaglianza è ootenuta perché l'anello R' è commutativo e l'ultima uguaglanza è ottenuta semplicemente riordinando i termini della somma (cosa che si può fare perché la somma è commutativa). Evidentemente si ha allora che $\varphi_t(PQ)=\varphi_t(P)\varphi_t(Q)$.

Proviamo ora l'unicità. Sia $\psi:R[x]\to R'$ un morfismo con le proprietà richieste. Osserviamo che se $P=\sum_{i=0}^na_ix^i$, dato che $\psi$ è un morfismo deve risultare:

$$\psi(P)=\psi(\sum_{i=0}^na_ix^i)=\sum_{i=0}^n\psi(a_ix^i)=\sum_{i=0}^n\psi(a_i)\psi(x)^i=\sum_{i=0}^n\varphi(a_i)t^i$$

ossia $\psi=\varphi_t$.     $\square$

Polinomi e funzioni polinomiali

Osservazione 17.2   Un caso particolare del precedente teorema è quando R=R' e $\varphi={\rm id}$. In tal caso se $P\in R[x]$ il valore di ${\rm id}_t(P)$ viene solitamente indicato con P(t) e viene chiamato la valutazione in t di P (e il morfismo ${\rm id}_t$ viene chiamato il morfismo di valutazione in t). P(t) è ciò che si ottiene dando alla ``variabile'' x il valore t. Si osservi che in questo modo ad ogni polinomio $P\in R[x]$ si associa una funzione $f_P:R\to R$ definita da f_P(t)=P(t). Si definisce così una applicazione $R[x]\to R^R$ che al polinomio P associa la funzione polinomiale f_P. Osserviamo che tale applicazione non è in generale iniettiva, ossia si possono avere polinomi diversi che definiscono la stessa funzione. Ad esempio si considerino i due polinomi $P,Q\in\mathbb Z\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}2\mathbb Z}} {{}_{\!\t... ...} {{}_{\!\scriptstyle {}2\mathbb Z}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}2\mathbb Z}}$ dati da P=0 e Q=x²+x. Chiaramente P(0)=P(1)=0 ma anche Q(0)=0 e Q(1)=1²+1=1+1=0, pur tuttavia i due polinomi sono diversi.

Esercizio 17.1      Si provi che l'applicazione $f:R[x]\to R^R$ definita nell'osservazione precedente ( $P\mapsto f_P$ essendo $f_P(t)=P(t)={\rm id}_t(P)$) è un morfismo di anelli.
Soluzione

Divisione euclidea

Teorema 17.3 (divisione euclidea)   Sia K un campo e siano $P_1,P_2\in K[x]$ con $P_2\ne 0$, allora esistono unici $Q,R\in K[x]$ tali che

P₁ = P₂ Q + R

con $\deg R<\deg P_2$.

Dim.  Esistenza. Osserviamo innanzitutto che se $\deg P_1 < \deg P_2$ la tesi segue prendendo Q = 0 e R = P₁. Supponiamo allora che $\deg P_1 \ge \deg P_2$ e procediamo per induzione su $n=\deg P_1$. Se $\deg P_1=0$ allora $\deg P_2 \le \deg P_1$ e quindi $P_2 = a \in K$ e dato che $P_2\ne 0$, $a\ne 0$ e quindi è invertibile. Ma allora

P₁ = a (a^-1 P₁) + 0 = P₂ (a^-1 P₁) + 0.

Sia ora $\deg P_1 = n > 0$ e supponiamo che la tesi sia vera per ogni polinomio P con $\deg P < n$. Siano allora $P_1=\sum_{i=0}^n b_ix^i$ e $P_2=\sum_{i=0}^m a_i x^i$ con $m\le n$ e $a_m\ne 0$. Dato che $a_m\ne 0$ è invertibile, si consideri allora il polinomio P=P₁ - b_na_m^-1x^n-m P₂. Si osservi che $\deg(b_na_m^{-1}x^{n-m} P_2) = n = \deg P_1$ e quindi il polinomio P ha grado non superiore a n. Ma d'altra parte il termine di grado n è dato da b_nxⁿ+(-b_na_m^-1x^n-ma_mx^m)=0 e quindi $\deg P < n$. Possiamo quindi applicare l'ipotesi di induzione per dire che allora esistono $Q,R\in K[x]$ tali che P=QP₂+R con $\deg R<\deg P_2$. Ma allora

$$\begin{eqnarray*}P_1 & = & P+b_na_m^{-1}x^{n-m}P_2 = \\ & = & P_2Q+R+b_na_m^{-1}x^{n-m}P_2=P_2(Q+b_na_m^{-1}x^{n-m})+R \end{eqnarray*}$$

e quindi la tesi.

Unicità. Supponiamo che esistano $Q,R,Q',R'\in K[x]$ con $\deg R<\deg P_2$ e $\deg R'<\deg P_2$ tali che P₁=P₂Q+R=P₂Q'+R'. Da quest'ultima relazione segue immediatamente che P₂(Q - Q')=R' - R e quindi, passando ai gradi, $\deg(P_2(Q - Q'))=\deg(R' - R)$. Ma ora, usando le relazioni sui gradi,

$$\begin{array}{l} \deg P_2(Q - Q') = \deg P_2 + \deg (Q-Q') \... ...pt] \deg(R'-R) \le \max\{\deg R,\deg R'\}<\deg P_2 \end{array}$$

ma allora $\deg P_2 + \deg (Q-Q') < \deg P_2$. Dato che $P_2\ne 0$ ciò implica che $\deg (Q-Q') = -\infty$ ossia Q=Q', da cui segue che allora anche R=R'.     $\square$

Teorema di Ruffini

Definizione 17.4   Sia $P\in R[x]$ un polinomio. Diremo che $\alpha\in R$ è una radice di P se $f(\alpha)=0$. Si dirà anche che $\alpha$ è uno zero di P.

Teorema 17.5 (di Ruffini)   Sia K un campo e sia $P\in K[x]$ allora $\alpha$ è una radice di P se e solo se $(x-a)\big\vert P$ (i.e. esiste Q tale che P=(x-a)Q, si veda anche l'esercizio 15.4).

Dim.  Si esegua la divisione euclidea di P per $(x-\alpha)$ allora si ottiene $P=Q(x-\alpha) + a$ con $a\in K$, dato che $\deg a < \deg(x-a)=1$. Si osservi allora che $P(\alpha) = a$ e quindi $P(\alpha)=0$ se e solo se a=0 ossia se e solo se $(x-a)\big\vert P$.     $\square$