Lezione 18 (22 aprile 1999 h. 10.30-11.30)

Principio di identità dei polinomi

Proposizione 18.1   Sia K un campo e sia $P\in K[x]$ un polinomio non nullo. Allora se $n=\deg P$, P ha al più n radici.

Dim.  Procediamo per induzione su $\deg P$. Se $\deg P=0$ P non ha radici. Supponiamo che $\deg P =n+1$, se P non ha radici, allora la tesi è vera. Supponiamo allora che $\alpha$ sia una radice di P; per il teorema di Ruffini esiste un polinomio Q tale che $P=(x-\alpha)Q$. Dato che K è un campo, è in particolare un dominio di integrità e quindi per le relazioni sui gradi si ha che $\deg Q=n$, quindi Q ha, per ipotesi di induzione, al più n radici. Osserviamo ancora che se $\beta\in K$ allora

$$P(\beta)=(\beta-\alpha)Q(\beta)$$

e sempre per il fatto che K è un dominio di integrità, si ha che $P(\beta)=0$ se e solo se $\beta-\alpha=0$ oppure $Q(\beta)=0$ ossia se e solo se $\beta=\alpha$ oppure $\beta$ è una radice di Q. Quindi P ha al più n+1 radici.     $\square$

Osservazione 18.2   Segue immediatamente dalla proposizione precedente, che se P è un polinomio ha con $\deg P\le n$ che ha n+1 radici distinte, allora P=0.

Corollario 18.3 (principio di identità dei polinomi)   Sia K un campo con infiniti elementi. Se $P,Q\in K[x]$ sono tali che P(t)=Q(t) per ogni t allora P=Q

Dim.  Si applichi l'osservazione precedente al polinomio P-Q, per il quale si possono trovare infinite radici.     $\square$

Osservazione 18.4   Il corollario precedente mostra che se K è infinito, allora l'applicazione dell'osservazione 17.2 è iniettiva.

Esercizio 18.1    Si provi che il morfismo $K[x]\to K^K$ definito nell'osservazione 17.2 e nell'esercizio 17.1, è iniettivo se e solo se il campo K è infinito. Quando il campo K è finito si determini il nucleo di tale morfismo.
Soluzione

Matrice di Vandermonde

Lemma 18.5   Sia K un campo e siano $\alpha_1,\dots, \alpha_k \in K$. Si consideri la matrice $k\times k$ a coefficienti in K

$$V(\alpha_1,\dots,\alpha_k)=\left( \matrix{ 1 & \alpha_{1} & \... ..._{k} & \alpha_{k}^2 & \cdots & \alpha_{k}^{k-1} \cr } \right).$$

La matrice $V(\alpha_1,\dots,\alpha_k)$ è invertibile se e solo se gli $\alpha_i$ sono tra loro distinti.

Dim.  Consideriamo il sistema lineare $V(\alpha_1,\dots,\alpha_k)x=0$ e supponiamo che $\lambda=(\lambda_0,\dots,\lambda_{k-1})\in K^k$ sia una sua soluzione, ciò vuol dire che

$$\sum_{i=0}^{k-1}\lambda_i \alpha_j^1=0 \quad\forall j=1,\dots,k$$

Si consideri il polinomio $P(x)=\sum_{i=0}^{k-1}\lambda_i x^i\in K[x]$, allora il sistema precedente non dice altro che ogni $\alpha_i$ è una radice di P. Dato che $\deg P\le k-1$, se gli $\alpha_i$ sono distinti, per l'osservazione 18.2, P=0 ossia $\lambda_i=0$ per ogni i. Quindi il sistema lineare ha solo la soluzione banale e quindi la matrice è invertibile.

Viceversa, se due dedgli $\alpha_i$ sono uguali, la matrice ha due righe uguali e quindi non è invertibile.     $\square$

Molteplicità di una radice

Definizione 18.6   Sia $P\in K[x]$ un polinomio non nullo a coefficienti in un campo e sia $\alpha$ una sua radice. Si chiama molteplicità della radice $\alpha$il massimo tra gli interi m tali che $(x-\alpha)^m\big\vert P$.

Definizione 18.7   Sia $P\in R[x]$, $p=\sum_{i=1}^na_ix^i$. Definiamo derivata formale del polinomio P il polinomio $P'=\sum_{i=0}^n ia_ix^{i-1}$.

Proposizione 18.8   Si provi che se $P,Q\in R[x]$ allora

$$\begin{eqnarray*}(P+Q)' & = & P'+Q' \\ (PQ)' & = & P'Q+PQ' \end{eqnarray*}$$

Dim.  Lasciata per esercizio.     $\square$

Proposizione 18.9   Sia $P\in K[x]$ un polinomio a coefficienti in un campo, e sia $\alpha$ una sua radice. $\alpha$ ha molteplicità maggiore di 1 se e solo se $P'(\alpha)=0$.

Dim.  Dato che $\alpha$ è una radice allora per il teorema di Ruffini $P=(x-\alpha)Q$. Derivando si ha $P'=Q+(x-\alpha)Q'$ e quindi $P'(\alpha)=Q(\alpha)$ e per tanto $\alpha$è radice di P' se e solo se è radice di Q e quindi, ancora per il teorema di Ruffini, se e solo se esiste R tale che $Q=(x-\alpha)R$ ovvero se e solo se $P=(x-\alpha)^2R$, che è la tesi.     $\square$

Esercizio 18.2      Sia K un campo e sia $Q\in K[x]$ siano $\alpha\ne\beta\in K$ $s\in \mathbb N$. Detto $P=(x-\alpha)^s Q$ si provi che $\beta$ è radice di P con molteplicità m se e solo se $\beta$ è radice di Q con molteplicità m.
Soluzione

Caratteristica

Definizione 18.10   Sia K un campo. Si consideri l'insieme $S=\{n\in\mathbb N\mid n>0\hbox{\rm { e }} n1_K=0\}$. Se $S\ne\varnothing$ allora ha minimo. Tale minimo si chiama caratteristica di K, e si indica con $\mathop{\rm char}\nolimits K$. Se invece $S=\varnothing$ si dirà che $\mathop{\rm char}\nolimits K=0$.

Esercizio 18.3    Si provi che la caratteristica di un campo è un numero primo.
Soluzione

Esercizio 18.4    Si provi che se $\mathop{\rm char}\nolimits K= p$ allora per ogni $k\in K$ si ha che pk=0.
Soluzione

Molteplicità in caratteristica 0

Teorema 18.11   Sia K un campo di caratteristica 0 e sia $P\in K[x]$ e $\alpha$ una sua radice e indichiamo con $\mu(\alpha)$ la sua molteplicità. Allora $\mu(\alpha)\ge m$ se e solo se $P(\alpha)=P'(\alpha)=P''(\alpha)=\dots=P^{(m-1)}(\alpha)=0$.