Dim.
Siano
allora, usando l'associatività del prodotto e la
commutatività degli
anelli booleani,
Proviamo ora che
,
infatti, usando nuovamente la
commutatività il fatto che
, si ha
Diamo un'altra dimostrazione, Consideriamo il morfismo
di
rappresentazione.
Dal fatto che
è un morfismo di anelli si ha che
Sia P una proposizione enunciata in termini di ,
e
indichiamo con P* la proposizione duale ossia la proposizione
ottenuta da P scambiando
con
e
con
.
Dim.
Sia
un reticolo, allora si consideri il reticolo inverso, ossia
.
Dato che P vale in ogni reticolo, allora vale in
.
Ma,
alla luce di quanto osservato sopra,
la proposizione P ``valutata'' in
altro non è che la
proposizione P* valutata in
.
1. |
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2. |
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3. |
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Dim. Osserviamo che le asserzioni di ogni riga sono duali una dell'altra, sarà quindi sufficiente, per il principio di dualità, dimostrarne una di ogni riga.
Le (1) sono immediate dalla definizione di estremo superiore e inferiore.
Dimostriamo la prima delle (2). Osserviamo innanzitutto che, dalla prima delle
proprietà che caratterizzano si ha
e
.
Da queste due relazioni, per la
seconda delle proprietà caratterizzanti
,
segue allora che
.
D'altra parte anche
,
quindi
.
In modo analogo si prova che
anche
da cui segue la tesi per la
antisimmetria di
.
Dimostriamo la prima delle (3).
e
,
quindi
.
D,altra parte
e quindi, per la
antisimmetria si ha che
,