Lezione 22 (3 maggio 1999 h. 9.30-10.30)

Definizione di anello booleano

Definizione 22.1   Sia R un anello con identità, si dice che R è un anello booleano, o anche anello di Boole, se

$$a^2=a\quad \forall a\in R$$

Esempio 22.2   $\mathbb Z\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}2\mathbb Z}} {{}_{\!\textsty... ...} {{}_{\!\scriptstyle {}2\mathbb Z}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}2\mathbb Z}}$ è un anello booleano, infatti 0²=0 e 1²=1 e 0 e 1 sono gli unici elementi di $\mathbb Z\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}2\mathbb Z}} {{}_{\!\textsty... ...} {{}_{\!\scriptstyle {}2\mathbb Z}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}2\mathbb Z}}$.

Esempio 22.3   Sia X un insieme, l'anello $({\cal P}(X),\bigtriangleup,\cap)$ è un anello booleano. Infatti $A\cap A=A$ per ogni $A\in {\cal P}(X)$.

Esercizio 22.1    Si provi che se R è un anello booleano e X è un insieme, allora R^X è un anello booleano.
Soluzione

Esercizio 22.2    Sia X un insieme, si provi che l'anello $(\mathbb Z\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}2\mathbb Z}} {{}_{\!\textst... ...{{}_{\!\scriptstyle {}2\mathbb Z}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}2\mathbb Z}})^X$ è isomorfo a $({\cal P}(X),\bigtriangleup,\cap)$.
Soluzione

Prime proprietà degli anelli booleani

Proposizione 22.4   Sia R un anello booleano allora

1.

$\mathop{\rm char}\nolimits R=2$,

2.

R è commutativo.

Dim.  (1). Sia $a\in R$ allora a=a²=(-a)²=-a, quindi a+a=0. In particolare 1+1=0, ossia $\mathop{\rm char}\nolimits R=2$.

(2). Siano $a,b\in R$ allora,

a+b=(a+b)²=a²+ab+ba+b² = a + ab + ba + b

da cui si ricava che ab + ba = 0 e quindi ab = -ba. Per quanto visto al punto precedente -ba=ba e quindi ab = ba.     $\square$

Esercizio 22.3      Sia R un anello booleano. Si provi che l'unico elemento invertibile di R è 1.
Soluzione

Esercizio 22.4    Sia $(R,+,\cdot)$ un anello booleano, si provi che anche $(R,\oplus,\odot)$ è un anello booleano, essendo

$$\begin{eqnarray*}a \oplus b & = & a+b+1 \\ a \odot b & = & a + b + ab. \end{eqnarray*}$$

Soluzione

Ideali massimali

Definizione 22.5   Sia R un anello commutativo con identità, diremo che un ideale $M\subseteq R$ è massimale se $M\ne R$ e gli unici ideali I tali che $M\subseteq I\subseteq R$ sono I e R. In simboli

$$I \hbox{\rm { ideale e }} M\subseteq I\subseteq R \Rightarrow I=M\hbox{\rm { o }} I=R.$$

Proposizione 22.6   Sia R un anello commutativo con identità e $M\subseteq R$ un ideale. $R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}M}} {{}_{\!\textstyle {}M}} {{}_{\!\scriptstyle {}M}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}M}}$ è un campo se e solo se M è massimale.

Dim.  Supponiamo che M sia massimale e sia $a+M\in R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}M}} {{}_{\!\textstyle {}M}} {{}_{\!\scriptstyle {}M}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}M}}$ diverso da 0+M ossia $a\notin M$. Consideriamo l'insieme

$$I=\{xa + M\mid x\in R, m\in M\}$$

I è un ideale (si vedano gli esercizi 15.3, 15.4 e 15.5), $I\supseteq M$ e $a\in I$quindi $I\ne M$, per la massimalità di M allora I=R e quindi $1\in I$, ossia esiste $x\in R$ e $m\in M$ tale che 1= ax + m ossia ax+M=1+M e pertanto (a+M)(x+M)=1+M, ovvero a+M è invertibile.

Supponiamo ora che $R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}M}} {{}_{\!\textstyle {}M}} {{}_{\!\scriptstyle {}M}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}M}}$ sia un campo. Sia $I\supsetneqq M$ un ideale, e sia $a\in I \setminus M$. Dato che $a+M \ne 0+M$ e $R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}M}} {{}_{\!\textstyle {}M}} {{}_{\!\scriptstyle {}M}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}M}}$è un campo, allora esiste x+M tale che (a+M)(x+M)=1+M ossia tale che $ax-1\in M$. Ma allorea esiste un $m\in M$ tale che ax-1=m e quindi 1=m-ax. Ora, $m\in M\subset I$, $a\in I$ e quindi $ax\in I$, per cui $1\in I$. Da ciò segue che I=R e quindi M è massimale.     $\square$

Vale il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione:

Teorema 22.7   Sia R un anello e sia $r\in R$ un elemento non invertibile. Allora esiste un ideale massimale di R che contiene r.

Teorema di rappresentazione degli anelli booleani

Lemma 22.8   Sia R un anello booleano e sia $M\subseteq R$ un ideale massimale. Allora per ogni $r,r'\in R$ si ha

1.

$r+r' \notin M \iff r \notin M \hbox{\rm { e }} r'\in M \hbox{\rm { oppure }} r\in M\hbox{\rm { e }} r'\notin M$

2.

$rr'\notin M \iff r\notin M\hbox{\rm { e }} r'\notin M$

Dim.  Sia $\pi:R\to R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}M}} {{}_{\!\textstyle {}M}} {{}_{\!\scriptstyle {}M}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}M}}$ la proiezione a quoziente, allora per ogni $a\in R$ si ha a²-a=0 e quindi $0=\pi(0)=\pi(a^2-a)=\pi(a)^2-\pi(a)$, ossia per ogni $A\in R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}M}} {{}_{\!\textstyle {}M}} {{}_{\!\scriptstyle {}M}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}M}}$ si ha A²-A=0 ossia A(A-1)=0. Ma ora, dato che M è massimale, $R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}M}} {{}_{\!\textstyle {}M}} {{}_{\!\scriptstyle {}M}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}M}}$ è un campo, in particolare è un dominio di integrità e pertanto da A(A-1)=0 si deduce che A=0 oppure A=1. $R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}M}} {{}_{\!\textstyle {}M}} {{}_{\!\scriptstyle {}M}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}M}}$ ha solo i due elementi 0+M e 1+M, è quindi isomorfo a $\mathbb Z\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}2\mathbb Z}} {{}_{\!\textsty... ...} {{}_{\!\scriptstyle {}2\mathbb Z}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}2\mathbb Z}}$, e quindi per ogni $A,A'\in R\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}M}} {{}_{\!\textstyle {}M}} {{}_{\!\scriptstyle {}M}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}M}}$ si ha:

$$\begin{eqnarray*}A + A' = 1 & \iff & A = 1 \hbox{\rm { e }} A' = 0 \hbox{\rm { o... ... }} A' = 1 \\ AA' = 1 & \iff & A = 1 \hbox{\rm { e }} A' = 1 \end{eqnarray*}$$

che possono essere riscritte

$$\begin{eqnarray*}A + A' \ne 0 & \iff & A \ne 0 \hbox{\rm { e }} A' = 0 \hbox{\r... ...\ne 0 \\ AB \ne 0 & \iff & A \ne 0 \hbox{\rm { e }} A' \ne 0 \end{eqnarray*}$$

Ma allora la tesi si ottiene prendendo A = r + M e A'=r'+M e ricordando che per ogni $r\in R$ si ha r+M=0+M se e solo se $r\in M$.     $\square$

Indichiamo con $\mathop{\rm Max}\nolimits R$ l'insieme degli ideali massimali di R e consideriamo l'applicazione $\varepsilon: R \to {\cal P}(\mathop{\rm Max}\nolimits R)$ definita da:

$$\varepsilon(r)=\{M\in\mathop{\rm Max}\nolimits R \mid r\notin M\}$$ (28)

Teorema 22.9 (di rappresentazione)   Sia R un anello booleano. Allora l'applicazione $\varepsilon:(R,+,\cdot)\to ({\cal P}(\mathop{\rm Max}\nolimits R),\bigtriangleup,\cap)$ definita sopra è un morfismo iniettivo di anelli con identità. Se R è finito, $\varepsilon$ è anche surgettiva, e quindi un isomorfismo.