Lezione 21 (29 aprile 1999 h. 10.30-11.30)

Definizione di campo algebricamente chiuso

Definizione 21.1   Si dice che un campo K è algebricamente chiuso se ogni polinomio non nullo di K[x] ha almeno una radice. In simboli

$$P\in K[x], P\ne 0 \Rightarrow\exists \alpha\in K : P(\alpha)=0.$$

Vale il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione.

Teorema 21.2 (Fondamentale dell'algebra)   $\mathbb C$ è algebricamente chiuso

Fattorizzazione nei campi algebricamente chiusi

Teorema 21.3   Sia K un campo algebricamente chiuso e sia $P\in K[x]$ con $\deg P = n$. Allora esistono $\alpha,\alpha_1,\dots,\alpha_n\in K$ tali che

$$P=\alpha\prod_{i=1}^n(x-\alpha_i).$$

Dim.  Procediamo per induzione su $\deg P$. Se $\deg P=0$ non c'è niente da dimostrare. Sia $\deg P =n+1$ con $n\ge 0$, allora, dato che K è algebricamente chiuso e P non è costante, esiste $\alpha_n\in K$ tale che $P(\alpha_n)=0$. Per il teorema di Ruffini si ha allora che $P=(x-\alpha_n)Q$ e $\deg Q=n$. Ma allora per ipotesi di induzione $Q=\alpha\prod_{i=1}^n (x-\alpha_i)$ e quindi

$$P=(x-\alpha_n)Q=(x-\alpha_n)\alpha\prod_{i=1}^n (x-\alpha_i)=\alpha\prod_{i=1}^{n+1} (x-\alpha_i).$$

Ciò conclude la dimostrazione.     $\square$

Osservazione 21.4   Osserviamo che gli $\alpha_i$ che compaiono nella fattorizzazione del teorema precedente sono esattamente le radici di P, e se in tale fattorizzazione si raccolgono tra loro i fattori uguali, si ottiene una fattorizzazione del tipo

$$P=\alpha\prod_{i=1}^s(x-\alpha_i)^{m_i}$$

essendo $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ le radici distinte di P e m_i le rispettive molteplicità. Si ha pertanto il seguente

Corollario 21.5   Sia K algebricamente chiuso e $P\in K[x]$. Se $m_1,\dots,m_s$ sono le molteplicità delle radici di P, allora $\sum_{i=1}^s m_i=\deg P$.

Osservazione 21.6   Grazie a questo corollario ed al fatto che $\mathbb C$ è algebricamente chiuso si ha allora che le successioni nella tesi del teorema 20.8 sono esattamente k.

Radici complesse di un polinomio reale

Proposizione 21.7   Sia $P\in\mathbb R[x]$ e sia $\alpha\in\mathbb C$ una radice di P di molteplicità m. Allora anche $\overline{\alpha}$ è una radice di P di molteplicità m.

Dim.  Ricordiamo che la coniugazione $\mathbb C\to\mathbb C$ è un morfismo di anelli e che se $a\in\mathbb R\subset\mathbb C$ allora $\overline{a}=a$.

Sia $\alpha\in\mathbb C$ una radice di $P=\sum_{i=1}^na_i x^i$ con $a_i\in \mathbb R$. Allora:

$$0 = \overline{0} = \overline{P(\alpha)} = \overline{\sum_{i=1... ...pha}^i = \sum_{i=1}^n a_i\overline{\alpha}^i = P(\bar{\alpha})$$

Quindi $\overline{\alpha}$ è una radice di P.

Sia m la molteplicità di $\alpha$ allora $P=(x-\alpha)^m Q$ con $Q(\alpha)\ne 0$. Sia ora n la molteplicità della radice $\overline{\alpha}\ne\alpha$. Il fatto che $\overline{\alpha}$ è una radice di P di molteplicità n e $\overline{\alpha}\ne\alpha$ garantisce e che $\overline{\alpha}$ è una radice di Q con la stessa molteplicità. Ossia $Q=(x-\overline{\alpha})^nR$ con $R(\overline{\alpha})\ne 0$, ossia $P=(x-\alpha)^m(x-\overline{\alpha})^nR$ con $R(\overline{\alpha})\ne 0$ e $R(\alpha)\ne0$. Supponiamo che $m\ge n$ (ciò non è restrittivo a meno di scambiare i ruoli di $\alpha$ e $\overline{\alpha}$), allora $P=((x-\alpha)(x-\overline{\alpha}))^n(x-\alpha)^{m-n}R$. Osserviamo che

$$(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})=x^2 - (\alpha+\overline{\alpha}) + \alpha \overline{\alpha} \in \mathbb R[x]$$

e quindi, per il l'unicità della divisione euclidea anche $S= (x-\alpha)^{m-n}R\in\mathbb R[x]$. Se per assurdo m>n allora $\alpha$ sarebbe una radice di S e quindi anche $\overline{\alpha}$ sarebbe radice di S, ma $S(\overline{\alpha})\ne 0$ dato che $R(\overline{\alpha})\ne 0$ e $\overline{\alpha}\ne\alpha$.     $\square$

Base dello spazio delle soluzioni di un equazione ricorsiva (caso reale)

Supponiamo di avere ora una equazione ricorsiva reale e sia $P\in\mathbb R[x]$ il suo polinomio caratteristico. P avrà alcune radici reali $\beta_1,\dots,\beta_s$ di molteplicità $m_1,\dots,m_s$, ed alcune radici non reali, che, per quanto visto sopra, sono accoppiate dal coniugio. Siano $\alpha_1,\dots,\alpha_t$ e $\overline{\alpha_1},\dots,\overline{\alpha_t}$ le radici non reali e $n_1,\dots, n_t$le loro molteplicità (n_i è la molteplicità di $\alpha_i$ e di $\overline{\alpha_i}$).

Teorema 21.8   Le successioni

$$\begin{array}{cccc} \beta_1^n & n\beta_1^n & \cdots & n^{m_1... ...{n_t-1}\frac{\alpha_t^n -\overline{\alpha_t}^n}{2i} \end{array}$$

sono una base reale dello spazio vettoriale $\cal V$ delle soluzioni dell'equazione ricorsiva reale.

Dim.  Per il teorema 20.8 si ha che le successioni

$$\begin{array}{cccc} \beta_1^n & n\beta_1^n & \cdots & n^{m_1... ...lpha_t}^n & \cdots & n^{n_t-1}\overline{\alpha_t}^n \end{array}$$

sono una base dello spazio delle soluzioni complesse dell'equazione ricorsiva. Per ogni h e j indichiamo con A^h,j la successione $n^h\alpha_j^n$ e con $\overline{A}^{h,j}$ la successione $n^h\overline{\alpha_j}^n$. Osserviamo che lo spazio generato da A^h,j e $\overline{A}^{h,j}$ è lo stesso di quello generato da $(A^{h,j}+\overline{A}^{h,j})/2$ e $(A^{h,j}-\overline{A}^{h,j})/2i$, quindi nella base complessa dello spazio $\cal V$ si possono sostituire le successioni A^h,j e $\overline{A}^{h,j}$ con le successioni $(A^{h,j}+\overline{A}^{h,j})/2$ e $(A^{h,j}-\overline{A}^{h,j})/2i$ ottenendo ancora una base di $\cal V$. Ma ora

$$\begin{array}{rcl} \big(\frac{A^{h,j}+\overline{A}^{h,j}}{2}... ...} = n^h\frac{\alpha_j^n-\overline{\alpha_j^n}}{2i} \end{array}$$

sono successioni reali. Da ciò segue allora la tesi.     $\square$

Osservazione 21.9   Si osservi che se $\alpha_i =\rho_i(\cos \theta_i+i\sin \theta_i)$, allora $\alpha_i^n=\rho_i^n(\cos(n\theta_i)+i\sin(n\theta_i))$ e quindi

$$\begin{array}{rcl} \frac{\alpha_i^n +\overline{\alpha_i}^n}{... ...overline{\alpha_i^n}}{2i} = \rho_i^n\sin(n\theta_i) \end{array}$$

Ma allora la base dello spazio $\cal V$ data nel teorema precedente può essere riscritta come:

$$\begin{array}{cccc} \beta_1^n & n\beta_1^n & \cdots & n^{m_1... ...heta_t) & \cdots & n^{n_t-1}\rho_t^n\sin(n\theta_t) \end{array}$$