Lezione 20 (28 aprile 1999 h. 9.30-10.30)

Lo spazio $\cal V$ ha dimensione finita

Proposizione 20.1   La dimensione di $\cal V$ è minore o uguale a k.

Dim.  Si consideri l'applicazione $\varphi: {\cal V} \to \mathbb K ^k$ definita da $\varphi(x)=(x_0,\dots,x_{k-1})$. Dimostreremo che $\varphi$ è lineare e iniettiva da cui seguirà allora la tesi.

$\varphi$ è lineare. Infatti se x,y sono successioni e $\lambda\in\mathbb K$, allora

$$\begin{eqnarray*}\varphi(x+y)&=&((x+y)_0,\dots,(x+y)_{k-1})=(x_0+y_0,\dots,x_{k-... ... x_{k-1})=\\ &=&\lambda( x_0,\dots, x_{k-1})=\lambda \varphi(x) \end{eqnarray*}$$

$\varphi$ è iniettiva. Per fare ciò proviamo che $\ker\varphi=\{0\}$. Sia $x\in\ker\varphi$, proviamo per induzione su n che allora x_n=0 per ogni n. Se $n\le k-1$ x_n=0 dato che $\varphi(x)=0$. Supponiamo $n\ge k$ e supponiamo che la tesi sia vera per ogni h< n. Allora

$$x_n=x{(n-k)+k}=\sum_{i=0}^{k-1}a_ix_{n-k}+i\sum_{i=0}^{k-1}a_i 0=0$$

dave si è usato il fatto che n-k+i < n per ogni $i=0,\dots,k-1$ e quindi l'ipotesi di induzione.     $\square$

Polinomio caratteristico

Definizione 20.2   Chiameremo polinomio caratteristico dell'equazione (27) il polinomio

$$P(t)=t^k-\sum_{i=0}^{k-1} a_i t^i \in \mathbb K [t].$$

Osservazione 20.3   Osserviamo che 0 non può essere radice del polinomio caratteristico di una equazione ricorsiva, infatti P(0)=a₀ e quindi 0 è radice se e solo se a₀=0. Ma se fosse a₀=0 allora vorrebbe dire che l'equazione ricorsiva avrebbe ordine k-1.

Base di $\cal V$ (caso delle radici distinte)

Proposizione 20.4   La successione $\{\alpha^n\}$ è soluzione dell'equazione (27) se solo se $\alpha$ è radice del polinomio caratteristico.

Dim.  La successione $\{\alpha^n\}$ è soluzione dell'equazione ricorsiva se e solo se si ha

$$\alpha^{n+k}=\sum_{i=1}^{k-1}a_i\alpha^{n+i} \qquad\forall n \ge 0$$

ossia se e solo se

$$\alpha^n\big(\alpha^k-\sum_{i=1}^{k-1}\alpha^i\big)=0 \qquad\forall n \ge 0.$$

Dato che la successione $\{0^n\}=(1,0,0\dots)$ non è soluzione dell'equazione ricorsiva (per questa successione x_k=0 mentre $\sum a_i x^i=a_0\ne 0$),e per quanto osservato sopra 0 non è radice del polinomio caratteristico, possiamo dividere per $\alpha^n$ l'equazione precedente ottenendo che $\{\alpha^n\}$ è soluzione se e solo se

$$\alpha^k-\sum_{i=1}^{k-1}a_i \alpha^i=0$$

che è la tesi.     $\square$

Lemma 20.5   Siano $\alpha_1,\dots,\alpha_s \in \mathbb R$ numeri a due a due distinti, allora le successioni $\{\alpha_1^n\}_n,\dots,\{\alpha_s^n\}_n$ sono linearmente indipendenti.

Dim.  Siano $\lambda_1,\dots,\lambda_s\in \mathbb K$ tali che la successione $\{\sum_{i=1}^s\lambda_i \alpha_i^n\}_n$ sia la successione nulla, ovvero

$$\sum_{i=1}^s\lambda_i \alpha_i^n=0 \qquad \forall n \ge 0$$

in particolare allora

$$\sum_{i=1}^s\lambda_i \alpha_i^n=0 \qquad \forall n = 0, \dots, s-1.$$

Tale relazione può essere riscritta in termini matriciali come:

$$\left( \matrix{ 1 & 1 & \cdots & 1 \cr \alpha_1 & \alpha_2 ... ... \left( \matrix{ 0 \cr 0 \cr 0 \cr \vdots \cr 0 } \right)$$

ma la matrice di tale sistema è invertibile e quindi $\lambda_i=0$ per ogni $i=1,\dots,s$.     $\square$

Teorema 20.6   Supponiamo che il polinomio caratteristico dell'equazione (27) abbia k radici distinte $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ allora le successioni $\{\alpha_1^n\}_n,\dots,\{\alpha_k^n\}_n$ sono una base di $\cal V$.

Dim.  Per la proposizione 20.4 le successioni $\{\alpha_1^n\}_n,\dots,\{\alpha_k^n\}_n$ sono soluzioni dell'equazione ricorsiva; per il lemma precedente sono linearmente indipendenti. Dato che $\dim {\cal V}\le k$, costituiscono una base di $\cal V$.     $\square$

Osservazione 20.7   Si osservi che come immediata conseguenza del teorema precedente si ha che la dimensione di $\cal V$ è proprio k e quindi l'applicazione $\varphi:{\cal V}\to\mathbb R^k$ definita nella dimostrazione della proposizione 20.1 è un isomorfismo. Pertanto, dati k numeri $u_0,\dots,u_{k-1}$, il problema di Cauchy di trovare una successione tale che

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x_{n+k} & = & \sum_{i=0}^{k-1} a... ...\ & \vdots & \\ x_{k-1} & = & u_{k-1} \end{array} \right.$$

ha una e una sola soluzione. Si ha anche un metodo per determinarne una soluzione esplicita: una generica soluzione è data da $\sum_{i=1}^k C_i \alpha_i^n$ con $C_i\in\mathbb K$. Basterà quindi determinare le costanti $C_i\in\mathbb K$ in modo da verificare le condizioni inizialoi e precisamente in modo che

$$\sum_{i=1}^k C_i \alpha_i^j = u_j \qquad\forall j=0,\dots, k-1$$

e questo è un sistema lineare, che si sa risolvere.

Base di $\cal V$ (caso generale)

Nel caso generale vale il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione.

Teorema 20.8   Sia $\mathbb K =\mathbb C$ e siano $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ le radici del polinomio caratteristico dell'equazione ricorsiva. Siano $m_1,\dots,m_s$ le rispettive molteplicità. Allora le successioni

$$\begin{array}{cccc} \alpha_1^n & n\alpha_1^n & \cdots & n^{m... ...a_s^n & n\alpha_s^n & \cdots & n^{m_s-1}\alpha_s^n \end{array}$$

sono una base dello spazio vettoriale $\cal V$.

Osservazione 20.9   Si vedrà nella prossima lezione che il numero di tali successioni è, anche in questo caso, esattamente k, e quindi tutto quanto detto nell'osservazione precedente resta vero anche nelle ipotesi di questo teorema.