Lezione 5 (3 marzo 1999 h. 9.30-10.30)

Il teorema fondamentale dell'Aritmetica

Teorema 5.1 (Teorema fondamentale dell'aritmetica)   Per ogni $n\in\mathbb Z$, $n\ge2$ esistono numeri primi $p_1,p_2,\dots,p_k>0$ tali che $n=p_1p_2\dots p_k$. Se anche $q_1,\dots,q_h$ sono primi positivi tali che $n=q_1q_2\dots q_h$, esiste una bigezione $\sigma:\{1,2,\dots,h\}\to\{1,2,\dots,k\}$ tale che $q_i=p_{\sigma(i)}$. In altre parole, ogni intero maqggiore di 1 si scrive in modo unico, a meno dell'ordine, come prodotto di numeri primi positivi.

Dim.  Procediamo per induzione su n. Se n=2 non c'è nulla da dimostrare in quanto 2 è primo. Supponiamo n>2 e che la tesi sia vera per ogni k<n. Se n è primo non c'è nulla da dimostrare, se n non è primo allora esistono due numeri d₁d₂ con 1<d₁,d₂<n tali che n=d₁d₂. Per ipotesi di induzione esistono dei primi positivi p_i e q_j tali che $d_1=p_1\dots p_{k_1}$ e $d_2=q_1\dots q_{k_2}$, ma allora $n=p_1\dots p_{k_1}q_1\dots q_{k_2}$è prodotto di primi positivi.

Unicità. Sia $n=p_1\dots p_k=q_1\dots q_h$ con p_i e q_j primi positivi e $k\le h$. Procediamo per induzione su k. Se k=1 allora $n=p_1=q_1\dots q_h$, quindi $q_j\big\vert p_1$ per ogni j, e dato che p₁ è primo ogni q_j=1 oppure q_j=p₁. Poiché per ipotesi ogni q_j>1 allora q_j=p₁ per ogni j. Se ora fosse h>1 si avrebbe $n=q_1\dots q_h\ge q_1q_2=p_1^2>p_1=n$ e questo è assurdo, e quindi h=1 e q₁=p₁.

Sia k>1, allora $p_k\big\vert n=q_1\dots q_h$, quindi per l'esercizio 4.1 esiste un j tale che $p_k\big\vert q_j$. Dato che sia p_kche q_j sono primi positivi, allora p_k=q_j. Ma allora $p_1\dots p_{k-1}=q_1\dots q_{j-1}q_{j+1}\dots q_h$, per ipotesi di induzione possiamo allora dire che le due fattorizzazioni hanno lo stesso numero di elementi, ossia k-1=h-1, e che esiste una bigezione $\delta:\{1,\dots,j-1,j+1,\dots,k\}\to\{1,\dots,k-1\}$ tale che $q_i=p_{\delta(i)}$ per ogni i. Definendo allora $\sigma:\{1,2,\dots,n\}\to\{1,2,\dots,n\}$

$$\sigma(i)=\cases{ k &se $i=j$\cr\delta(i)&se $i\ne j$ }$$

si ottiene una bigezione tale che $q_i=p_{\sigma(i)}$ per ogni i.     $\square$

Esistenza di infiniti numeri primi

Corollario 5.2   I numeri primi sono infiniti.

Dim.  Per assurdo supponiamo che $p_1,p_2,\dots,p_n$ siano tutti iprimi. Si consideri $n=p_1p_2\dots p_n+1$. Chiaramente n>1 e non è divisibile per nessun p_i e quindi n sarebbe un numero maggiore di 1 che non è divisibile per nessun primo e ciò contraddice il teorema fondamentale dell'aritmetica.     $\square$

Calcolo del M.C.D. e del m.c.m. usando la fattorizzazione in primi

Se $a,b\in \mathbb N$ denotiamo con $a\vee b=\max\{a,b\}$ e con $a\wedge b=\min\{a,b\}$ (si veda la definizione di reticolo per giustificare tale notazione).

Proposizione 5.3   Siano $n=\prod _{i=1}^s p_i^{k_i}$, $m=\prod _{i=1}^s p_i^{h_i}$ con p_i numeri primi, allora $(n,m)=\prod _{i=1}^s p_i^{k_i\wedge h_i}$ e $[n,m]=\prod _{i=1}^s p_i^{k_i\vee h_i}$.

Dim.  Chiaramente $\prod _{i=1}^s p_i^{k_i\wedge h_i}$ è un divisore comune a n e m. Inoltre se c è un divisore comune non può avere fattori primi diversi dai p_i, quindi $c=\prod _{i=1}^s p_i^{l_i}$. Dal fatto che $c\big\vert n$ segue allora che $l_i\le k_i$ e dal fatto che $c\big\vert m$ segue che $l_i\le h_i$ per ogni i, e quindi $l_i\le k_i\wedge h_i$.

La formula per il m.c.m. segue allora dal fatto che $[n,m]=\left\vert nm\right\vert/(n,m)$, e che per ogni coppia di numeri reali si ha che $h+k-h\wedge k=h\vee k$.     $\square$