Lezione 27 (20 maggio 1999 h. 10.30-11.30)

Definizione di $\Omega$-algebra

Definizione 27.1   Sia A un insieme e $n\in\mathbb N$, una operazione n-aria su A non è altro che un'applicazione $A^n\to A$. Quindi l'insieme delle applicazioni n-arie su A altri non è che A^An.

Osservazione 27.2   Operazioni binarie (i.e. 2-arie) se ne sono incontrate a non finire (le operazioni di un gruppo, di un anello, di un reticolo), anche di operazioni 1-arie, ossia di funzioni, ad esempio il complemento in un'algebra di Boole, l'inverso in un gruppo sono operazioni 1-arie. Cerchiamo di capire cosa sono le operazioni 0-arie. Si pone, per definizione, $A^0=\{\varnothing\}$, ossia l'insieme che ha come unico elemento l'insieme vuoto, allora una operazione 0-aria su A non è altro che un'applicazione $\{\varnothing\}\to A$ ossia è fissare un elemento di A. Ma allora anche di operazioni 0-arie se ne sono già incontrate tante: l'unità di un monoide è un'operazione 0-aria (si fissa un particolare elemento del monoide), lo 0 e l'1 di un anello con identità o di un'algebra di Boole sono operazioni 0-arie.

Definizione 27.3   Sia $\Omega$ un insieme e sia $a:\Omega\to\mathbb N$ un'applicazione. Chiameremo $(\Omega,a)$ un dominio di operatori e dato $\omega\in\Omega$ diremo che $a(\omega)$ è la arietà di $\omega$. Indichereamo con $\Omega_n$ l'insieme degli omega che hanno arietà pari a n, ossia $\Omega_n=\{\omega\in\Omega\mid a(\omega)=n\}$.

Definizione 27.4   Sia A un insieme una struttura di $\Omega$-algebra su A è il dato per ogni $n\in\mathbb N$ di un'applicazione $\Omega_n \to A^{A^n}$.

In pratica si interpreta ogni elemento di $\Omega_n$ come una operazione n-aria su A. Se $a_1,\dots,a_n\in A$ e $\omega\in\Omega_n$ si indica con $a_1a_2\dots a_n\omega$ il risultato dell'operazione rappresentata da $\omega$ sulla n-pla $(a_1,\dots,a_n)$. Questo tipo di notazione è conosciuta come notazione polacca inversa ed è comoda in quanto non necessita dell'utilizzo delle parentesi: ogni volta che si trova scritto un operatore n-ario, lo si fa agire sugli n elementi di A che lo precedono.

Esempio 27.5   I semigruppi. Sia $\Omega=\{\mu\}$ costituito da un solo elemento, $a(\mu)=2$. Allora un semigruppo è una $\Omega$-algebra tale che

$$a_1a_2\mu a_3\mu=a_1a_2a_3\mu\mu \quad \forall a_1,a_2,a_3$$

Si osservi che questa è la traduzione in notazione polacca inversa della relazione che definisce la associativa proprietà. I monoidi. Sia $\Omega=\{\mu,1\}$ con $a(\mu)=2$ e a(1)=0. Un monoide è una $\Omega$-algebra in cui oltre alla proprietà associativa si ha

$$1a\mu=a1\mu=a \quad \forall a$$

L'operatore 0-ario 1 è l'identità del monoide e la formula appena scritta è la traduzione delle proprietà dell'identità.

I gruppi. Sia $\Omega=\{\mu,\theta,1\}$ con $a(\mu)=2$, $a(\theta)=1$ e a(1)=0. Un gruppo è una $\Omega$-algebra in cui valgono le due precedenti e

$$aa\theta\mu=a\theta a\mu=1 \quad \forall a.$$

Questa è la traduzione delle proprietà dell'inverso, ossia $\theta$ è interpretato come l'operazione 1-aria che ad ogni elemento associa il suo inverso. In modo analogo si vede che tutte le strutture algebr2iche che abbiamo preso in considerazione (anelli, reticoli, algebre di boole) rientrano in questo quadro generale.

Definizione di morfismo di $\Omega$-algebre

Definizione 27.6   Siano A e B due $\Omega$-algebre un'applicazione $f:A\to B$ è detta un morfismo se:

$$\forall n\in\mathbb N,\forall \omega\in\Omega_n,\forall a_1,\... ...A \quad a_1fa_2f\dots a_nf \omega = a_1a_2\dots a_n \omega f$$

Dove si è usata la notazione polacca anche per f, ossia af significa l'immagine di a tramite f ossia quello che abbiamo sempre denotato con f(a).

Ossia applicare f a ogni elemento e quindi applicare l'operazione su Brappresentata da $\omega$ è lo stesso che prima applicare l'operazione su A rappresentata da $\omega$ ad ogni elemento e quindi applicare f al risultato. Chiaramente la definizione di morfismo che abbiamo appena dato congloba tutte le definizioni di morfismo che abbiamo dato per ogni struttura.

Definizione di sotto $\Omega$-algebra

Definizione 27.7   Sia A una $\omega$-algebra. Diremo che $B\subseteq A$ è una sotto $\Omega$-algebra se

$$\forall n\in\mathbb N, \forall\omega\in\Omega_n, \forall b_1,\dots,b_n\in B \quad b_1\dots b_n\omega \in B$$

Detto in altri termini B è chiuso rispetto a tutte le operazioni di A. Anche questa definizione chiaramente ingloba tutte le definizioni di sottostruttura che abbiamo dato.

Definizione di quoziente

Definizione 27.8   Sia A una $\Omega$-algebra, diremo che una relazione d'equivalenza ${\cal R}$ su A è una $\Omega$-congruenza (brevemente una congruenza) se per ogni $n\in\mathbb N$, per ogni $\omega\in\Omega_n$ e per ogni $a_1,\dots, a_n$, $b_1,\dots,b_n\in A$

$$a_i {\cal R}b_i \forall i \Rightarrow a_1\dots a_n\omega {\cal R}b_1\dots b_n \omega.$$

Si osservi che questa che abbiamo dato come definizione è esattamente la proprietà che ci è servita nel caso dei gruppi e degli anelli per definire una struttura di gruppo e di anello sul quoziente in modo che la proiezione a quoziente sia un morfismo. Usando esattamente la stessa dimostrazione fatta in questi due casi, si prova allora il seguente teorema:

Teorema 27.9   Sia A una $\Omega$-algebra e sia ${\cal R}$ una $\Omega$-congruenza su A, allora esiste una unica struttura di $\Omega$-algebra su $A\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}{\cal R}}} {{}_{\!\textstyle {}{\cal R}}} {{}_{\!\scriptstyle {}{\cal R}}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}{\cal R}}}$ che rende la proiezione a quoziente un morfismo.

Tale struttura è definita ponendo per ogni $n\in\mathbb N$, $\omega\in\Omega_n$ e $a_1,\dots,a_n\in A$:

$$\left[a_1\right]_{\cal R}\dots \left[a_n\right]_{\cal R}\omega = \left[a_1\dots a_n\omega\right]_{\cal R}.$$

Esercizio 27.1    Descrivere in termini di $\Omega$-algebre le strutture di anello, reticolo, algebra di Boole.
Soluzione

Esercizio 27.2    Siano A e B due $\Omega$ algebre e sia $\varphi:A\to B$ un morfismo. Si consideri la relazione d'equivalenza $\stackrel{\varphi}{\sim}$ indotta su A da f. Si provi che $\stackrel{\varphi}{\sim}$ è una congruenza. Si provi inoltre che esiste un unico morfismo di $\Omega$-algebre $\widetilde{\varphi}:A\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}\stackrel{\varphi... ...l{\varphi}{\sim}}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}\stackrel{\varphi}{\sim}}}\to B$ tale che $\varphi=\widetilde{\varphi}\circ\pi$.

Si ha inoltre che:

1.

$\widetilde{\varphi{}}$ è iniettiva;

2.

$\widetilde{\varphi{}}$ è surgettiva se e solo se $\varphi$ è surgettiva.

Soluzione