Se è primo tutti gli elementi non nulli sono
invertibili, e quindi se
in
allora
in
implica che
(in
), in particolare
in
implica che
o
.
Se è una soluzione della congruenza, allora, detto
,
l'insieme delle soluzioni è dato da:
Dimostrazione.
Se
allora
quindi esiste
tale che
ossia
e quindi
.
Viceversa supponiamo che
. Siano
tali che
, e sia
tale che
allora
e quindi
, ossia
è una soluzione della congruenza.
Proviamo ora che l'insieme delle soluzioni è proprio
. Proviamo innanzitutto che se
allora
è una soluzione della congruenza, infatti
quindi
da cui
ma allora, dato che
,
è un multiplo di
, ovvero
Viceversa se
allora
da cui si ricava
che
, ovvero
. Ma allora, dato
che
, anche
, essendo
. Ma
allora, dato che per la proposizione 9.12
, usando la
proposizione 10.1,
. Questo conclude la dimostrazione.
Dimostrazione.
La congruenza ha soluzioni per quanto visto sopra. Passando alle classi di congruenza, si
ha che se è una soluzione, allora
e
dato che
è invertibile, questo implica, moltiplicando entrambi membri
per
, che
, da cui la
tesi.
Dimostrazione.
.
Dato un numnero naturale si indica con
il numero di naturali
minori o uguali a
e coprimi con
. La funzione
si chiama
funzione
di Eulero. La seguente proposizione è una conseguenza
immediata di proposizione 12.3 e di proposizione 11.13.
Dimostrazione.
Sia , e siano
tutti gli elementi di
, dato
che l'applicazione
è bigettiva, allora
sono
ancora tutti gli elementi di
, ma allora, per la commutatività del
prodotto,
e quindi
Dimostrazione.
Segue immediatamente dal teorema precedente, osservando che se è primo,
allora tutti i numeri più piccoli di
sono coprimi con
, e quindi
.
Dimostrazione.
Se è coprimo con
allora esiste un
come nell'enunciato, ossia
tale che
, ma allora
e quindi, usando
la proposizione dimostrata precedentemente, per ogni
si ha
La proposizione appena dimostrarta è alla base del metodo RSA di
crittografia a chiave pubblica. Supponiamo cha debba trasmettere un
messaggio riservato a
, allora
rende noti due numeri
e
(detti
rispettivamente il modulo e la chiave di codifica), che hanno la proprietà
. L'alfabeto della trasmissione sarà allora costituito da
e la codifica sarà costituita da sostituire la lettera
con
(modulo
).
Il fatto che , garantisce che si può determinare un numero
tale che
, ossia tale che
. Per
decodificare il messagio è allora sufficiente elevare alla potenza
, in
quanto