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Subsections
Le operazioni sui naturali
Il teorema di ricorsione permette di definire la somma il prodotto di numeri
naturali.
Definizione 3.1
Dato
![$n\in\mathbb{N}$](img157.gif)
si definisce ;la funzione
![$m\mapsto n+m$](img228.gif)
ricorsivamente nel
seguente modo:
ed analogamente si definisce il prodotto
![$m\mapsto nm$](img230.gif)
:
Osservazione 3.2
Se si chiamo
![$1=succ(0)$](img232.gif)
, allora per ogni
![$n\in\mathbb{N}$](img157.gif)
si ha che
![$\mathop{\rm succ}\nolimits (n)=n+1$](img233.gif)
,
infatti dalla definizione di
![$+$](img234.gif)
si ha che
D'ora in poi non scriveremo più
![$\mathop{\rm succ}\nolimits (n)$](img236.gif)
ma
![$n+1$](img237.gif)
.
Esercizio 3.1
Si provi che per ogni
![$n\in\mathbb{N}$](img157.gif)
si ha
![$0+n=n$](img238.gif)
e
![$1+n=n+1$](img239.gif)
ossia
![$1+n=\mathop{\rm succ}\nolimits (n)$](img240.gif)
.
Soluzione
Esercizio 3.2
Si provino le usuali proprietà (i.e. associativa, commutativa, distributiva)
della somma e del prodotto di numeri naturali.
Soluzione
L'ordinamento dei naturali
Con la somma si può definire la nozione di ordinamento dei numeri naturali.
Osservazione 3.4
Si può vedere
![$\le$](img245.gif)
come un sottinsieme di
![$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$](img246.gif)
e precisamente
![$\le = \{(n,m)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}\mid \exists k\in\mathbb{N}:n+k = m\}$](img247.gif)
. E quindi
![$\le$](img245.gif)
è una
relazione sui
naturali e quello che abbiamo definito come significato di
![$n \le m$](img242.gif)
è
effettivamente lo stesso che dire
![$(n,m)\in\le$](img248.gif)
.
Si può dimostrare la seguente
Dimostrazione.
La dimostrazione è lasciata per esercizio agli studenti volonterosi. I punti
che richiedono maggiore attenzione sono il secondo e il quarto.
Insiemi ordinati
Definizione 3.6
Sia
![$X$](img17.gif)
un insieme e
![$\cal R$](img62.gif)
una relazione binaria su
![$X$](img17.gif)
,
![$\cal R$](img62.gif)
si dice
un
ordinamento parziale o anche una
relazione d'ordine parziale
se valgono le seguenti proprietà:
- proprietà riflessiva:
.
- proprietà antisimmetrica:
- proprietà transitiva:
Un ordinamento parziale si dice un
ordinamento totale se in più vale
la
- tricotomia:
.
Una coppia
![$(X,{\cal R})$](img263.gif)
in cui
![${\cal R}$](img264.gif)
è un ordinamento (parziale o totale) si
dice un
insieme (parzialmente o totalmente) ordinato.
Osservazione 3.7
In genere le relazioni d'ordine si indicano con simboli del tipo
![$\le$](img245.gif)
o
![$\preceq$](img265.gif)
, in tal caso quando si scriverà
![$x \succeq y$](img266.gif)
si intenderà
![$y
\preceq x$](img267.gif)
, e quando si scriverà
![$x \prec y $](img268.gif)
si intenderà il cosiddetto
ordinamento stretto ovvero
![$x\preceq y$](img269.gif)
e
![$x\ne y$](img270.gif)
. In termini
dell'ordinamento stretto la proprietà di tricotomia per l'ordinamento
![$\preceq$](img265.gif)
si può rioenunciare dicendo:
-
vale una e una sola delle tre seguenti:
,
,
.
Osservazione 3.8
In termini di questo nuovo linguaggio
![$(\mathbb{N},\le)$](img274.gif)
risulta quindi essere un
insieme totalmente ordinato.
Si possono dimostrare anche le ulteriori proprietche legano l'ordinamento con
le operazioni:
Dimostrazione.
Esercizio per lo studente volenteroso.
Insiemi finiti: il Lemma dei cassetti
Dato un numero naturale
denotiamo con
l'insieme
.
Definizione 3.10
Diremo che un insieme è
finito se esiste
![$n\in\mathbb{N}$](img157.gif)
tale che
![$\left\vert X\right\vert=\left\vert I_n\right\vert$](img283.gif)
. Un insieme è detto
infinito se non è finito
Teorema 3.11 (Lemma dei cassetti)
Siano
![$X$](img17.gif)
e
![$Y$](img18.gif)
due insiemi aventi rispettivamente
![$\left\vert X\right\vert=\left\vert I_n\right\vert$](img283.gif)
e
![$\left\vert Y\right\vert=\left\vert I_m\right\vert$](img284.gif)
con
![$n < m $](img285.gif)
allora ogni applicazione
![$f:Y \to X$](img286.gif)
non è
iniettiva.
Dimostrazione.
Procediamo per induzione su
. Se
allora
e
,
quindi l'insieme
delle applicazioni
è vuoto, e quindi non c'è
nulla da dimostrare (dal falso segue ogni cosa).
Supponiamo che la tesi sia vera per
e proviamola per
. Sia
e sia,
con
e supponiamo per
assurdo che l'applicazione
sia iniettiva. Per definizione esiste una
bigezione
; poniamo
e
. Chiaramente
è in bigezione con
. Si hanno due casi:
-
(i.e.
)
-
(i.e.
)
Nel primo caso,
e quindi
sarebbe un'applicazione
iniettiva da un insieme equipotente a
in un insieme equipotente a
;
dato che
questo è assurdo per ipotesi di induzione.
Nel secondo caso, sia
tale che
e sia
. Dato che
è iniettiva,
e quindi,
è una applicazione iniettiva. Dato che
,
e
, ciò è assurdo per ipotesi di induzione.
Osservazione 3.12
Il nome lemma dei cassetti deriva dal seguente modo naif di enunciare il
teorema precedente: se ho un certo numero di oggetti da sistemare in dei
cassetti, e il numero di oggetti è superiore a quello dei cassetti, almeno
un cassetto conterrà più di un oggetto.
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Luminati Domenico
2002-06-07