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Insiemi e operazioni tra insiemi
Non intendiamo qui dare un'assiomatica della teoria degli insiemi (cosa che
esula dalle finalità di questo corso e demandata ad altri eventuali corsi
successivi), ma soltanto elencare alcune delle proprietà e delle costruzioni
che permettono di confrontare insiemi e costruire nuovi insiemi a partire da
altri, facendo eventualmente notare la necessità di assiomatizzare tali
cosatruzioni.
Per noi un insieme sarà soltanto una collezione di oggetti detti i suoi elementi. La proprietà fondamentale che si richiede affinché un oggetto
sia un insieme è che si possa sempre stabilire senza ambiguità se qualche
cosa è un suo elemento oppure no. In simboli, se
è un insieme allora per
ogni
si ha che
(
appartiene ad
) oppure
(
non appartiene ad
). Questa che può sembrare una richiesta ovvia
in realtà non lo è. Si consideri l'oggetto definito da:
e si provi a stabilire se
oppure no.
- Se
, allora, dalla definizione di
segue che
- Se
allora, per definizione di
,
Quindi
non può essere un insieme, in quanto non possiamo decidere se
oppure no. Questo esempio è noto come il paradosso di Russel.
Il criterio per stabilire quando due insiemi sono uguali, è fornito dal
seguente
Assioma 1.1 (estensionalità)
Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi. In simboli
Definizione 1.2
Siano
![$X$](img17.gif)
e
![$Y$](img18.gif)
due insiemi, si dice che
![$X$](img17.gif)
è
contenuto in
![$Y$](img18.gif)
(o
anche
![$X$](img17.gif)
è
sottinsieme di
![$Y$](img18.gif)
), e si denota con
![$X\subseteq Y$](img19.gif)
se
ogni elemento di
![$X$](img17.gif)
è elemento di
![$Y$](img18.gif)
, in simboli,
![$\forall x (x\in X
\Rightarrow x\in Y)$](img20.gif)
.
Si dice che
è contenuto strettamente in
(o anche che è un
sottinsieme proprio di
) e si denota con
, se
e
.
Un modo di definire degli insiemi è quello di usare una ``proprietà'' che ne
caratterizzi gli elementi. Ossia se
è una, formula della teoria
degli insiemi, per intenderci una proprietà esprimibile in
termini del simbolo di appartenenza e di uguaglianza, dei quantificatori e dei
connettivi logici, (e, o,
, non) allora con
, si
intende la collezzione di tutti gli
che soddisfano la proprietà
. Il
paradosso di Russel mostra che in generale un tale oggetto può non essere un
insieme. Si dà però il seguente
Assioma 1.3 (separazione)
Se
![$X$](img17.gif)
è un insieme e
![$P$](img23.gif)
è una proprietà esprimibile in termini del
linguaggio della teoria degli insiemi, allora la collezione
è un insieme. Si userà spesso anche la notazione
![$\{x\in X\mid P(x)\}$](img27.gif)
, per
indicare questo insieme.
Definizione 1.4
Se
![$X$](img17.gif)
e
![$Y$](img18.gif)
sono insiemi si costruiscono altri insiemi:
Se
![$I$](img39.gif)
è un insieme e per ogni
![$i\in I$](img40.gif)
è dato un insieme
![$X_i$](img41.gif)
, si
definiscono
- intersezione
- unione
Osservazione 1.5
Quelle che abbiamo appena dato come definizioni, sono solo in parte tali. Se
infatti gli insiemi intersezione, differenza e complemento sono effettivamente
definibili a usando l'
assioma di separazione, per gli altri tale assioma non è più sufficiente
(non si separano degli elementi da un insieme, ma si costruiscono, insiemi
``più grandi'') e quindi tali costruzioni devono essere opportunamente
assiomatizzate, cosa che però noi non facciamo.
Esercizio 1.2
Siano
![$X$](img17.gif)
e
![$Y$](img18.gif)
insiemi, si provi che
![$X\subseteq Y \iff X\cap Y = X \iff
X\cup Y = Y$](img50.gif)
.
Soluzione
Esercizio 1.3
Siano
![$X$](img17.gif)
,
![$Y$](img18.gif)
,
![$Z$](img51.gif)
insiemi, si provino le seguenti:
- proprietà associativa dell'intersezione e dell'unione
- proprietà commutativa
- proprietà di assorbimento
- proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione e
dell'unione rispetto all'intersezione
- leggi di de Morgan
-
- se
allora
.
Soluzione
Esercizio 1.4
Siano
![$X$](img17.gif)
,
![$Y$](img18.gif)
,
![$Z$](img51.gif)
insiemi, si provino le seguenti:
-
-
Soluzione
Relazioni, funzioni parziali e funzioni totali
Definizione 1.6
Siano
![$X$](img17.gif)
e
![$Y$](img18.gif)
insiemi si dice
relazione tra
![$X$](img17.gif)
e
![$Y$](img18.gif)
, un sottinsieme
![${\cal R}\subseteq X\times Y$](img61.gif)
. Se
![$\cal R$](img62.gif)
è una relazione si scriverà anche
![$x{\cal R}y$](img63.gif)
come sinonimo di
![$(x,y)\in {\cal R}$](img64.gif)
.
Una relazione tra
e se stesso, si dirà anche una relazione binaria
su
.
Definizione 1.7
Una relazione
![$f\subseteq X\times Y$](img65.gif)
si dice una
funzione parziale se
per ogni
![$x\in X$](img66.gif)
esiste al più un
![$y\in Y$](img67.gif)
tale che
![$(x,y)\in f$](img68.gif)
. In
simboli:
Si scriverà
![$f:X\rightharpoonup Y$](img70.gif)
per dire che
![$f$](img71.gif)
è una funzione parziale da
![$X$](img17.gif)
a
![$Y$](img18.gif)
e in tal caso si scriverà anche
![$y=f(x)$](img72.gif)
come sinonimo di
![$(x,y)\in f$](img68.gif)
.
L'insieme
è detto il dominio di
e si denota con
.
L'insieme
è detto
l'immagine di
e si denota con
.
Una funzione parziale
si dice funzione totale o
semplicemente funzione se
, in tal caso si scrive
.
Si denota
l'insieme di tutte le funzioni (totali) da
a
, ossia
.
Osservazione 1.8
Una funzione parziale può essere pensata come ``una legge'' che ad
ogni elemento
![$x\in\mathop{\rm dom}\nolimits (f)$](img81.gif)
associa l'unico elemento
![$y\in Y$](img67.gif)
tale che
![$(x,y)\in f$](img68.gif)
, questo elemento si denota con
![$f(x)$](img82.gif)
. Con questa
interpretazione, dà senso proprio all'uguale contenuto nella scrittura
![$y=f(x)$](img72.gif)
. In questa accezione (legge che associa ad un elemento un altro
elemento) verranno generalmente usate le funzioni.
Esempio 1.9
Se
![$X$](img17.gif)
è un insieme
![${\rm id}_X=\{(x_1,x_2)\in X\times X\mid x_1=x_2\}$](img83.gif)
è una
funzione, che viene chiamata l'
identità di
![$X$](img17.gif)
. In altri termini
![${\rm id}_X(x)=x$](img84.gif)
per ogni
![$x\in X$](img66.gif)
.
Definizione 1.10
Siano
![$f:X\rightharpoonup Y$](img70.gif)
e
![$g:Y\rightharpoonup Z$](img85.gif)
si chiama
composizione di
![$f$](img71.gif)
e
![$g$](img86.gif)
la
relazione tra
![$X$](img17.gif)
e
![$Z$](img51.gif)
definita da
Proposizione 1.11
Se
![$f:X\rightharpoonup Y$](img70.gif)
e
![$g:Y\rightharpoonup Z$](img85.gif)
allora
![$g\circ f:X\rightharpoonup Z$](img88.gif)
. Se
![$f:X\to Y$](img78.gif)
e
![$g:y\to Z$](img89.gif)
allora
![$g\circ f:X\to Z$](img90.gif)
.
Dimostrazione.
Per provare il primo punto, dobbiamo mostrare che se
allora
. Per definizione di
esiste
tale che
e
ed esiste un
tale che
e
. Ma allora, dato
che
è una funzione parziali,
, e quindi, dato che anche
è una
funzione parziale
.
Se
e
sono funzioni totali, sono in particolare delle funzioni parziali e
quindi, per quanto appena mostrato,
è una funzione
parziale. Dobbiamo provare che per ogni
esiste uno
tale che
. Sia
, dato che
`e una funzione totale, esiste
tale che
, dato che anche
è totale esiste allora
tale
che
, ma questo significa che
, ovvero
.
Osservazione 1.12
Con l'interpretazione data nell'osservazione
1.8 si ha allora che
![$g\circ f(x)=g(f(x))$](img104.gif)
.
Definizione 1.13
Sia
![$f:X\to Y$](img78.gif)
ed
![$A\subseteq Y$](img105.gif)
, si chiamo
immagine inversa di
![$A$](img9.gif)
tramite
![$f$](img71.gif)
l'insieme:
Proposizione 1.15
Sia
![$f:X\to Y$](img78.gif)
una bigezione, allora esiste una unica funzione
![$g:Y\to X$](img110.gif)
tale che
![$f\circ g= {\rm id}_Y$](img111.gif)
e
![$g\circ f= {\rm id}_X$](img112.gif)
. Tale funzione si chiama
inversa di
![$f$](img71.gif)
e si denota con
![$f^{-1}$](img113.gif)
.
Dimostrazione.
Dato
esiste un unico
tale che
(esiste perché
è surgettiva, è unico perché è iniettiva); chiamiamo
tale
elemento. È allora evidente che
per ogni
. D'altra parte
per ogni
(applico la relazione precedente con
), e quindi per l'iniettività di
si ha che
. È chiaro
che tale funzione è l'unica possibile con le proprietà richieste.
Il seguente esercizio inverte il risultato della proposizione precedente.
Esercizio 1.5
Sia
![$f:X\to Y$](img78.gif)
e si supponga che esista una funzione
![$g:Y\to X$](img110.gif)
tale che
![$g\circ f= {\rm id}_X$](img112.gif)
e
![$f\circ g= {\rm id}_Y$](img111.gif)
. Si provi che allora
![$f$](img71.gif)
è bigettiva.
Soluzione
Esercizio 1.6
Perché se
![$X$](img17.gif)
e
![$Y$](img18.gif)
sono insiemi allora anche
![$Y^X$](img79.gif)
è un insieme?
Soluzione
Esercizio 1.7
Siano
![$f:X\rightharpoonup Y$](img70.gif)
e
![$g:Y\rightharpoonup Z$](img85.gif)
, si determini
![$\mathop{\rm dom}\nolimits (g\circ f)$](img120.gif)
.
Soluzione
Esercizio 1.9
Siano
![$X,Y,I$](img122.gif)
insiemi,
![$f:X\to Y$](img78.gif)
e
![$A_i\subseteq Y$](img123.gif)
per ogni
![$i\in I$](img40.gif)
. Si
provi che
Soluzione
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Luminati Domenico
2002-06-07