Sebbene non abbiamo dato la definizione di cardinalità di un insieme, (abbiamo dato significato al simbolo solo nel caso finito), con una serie di esercizi, vediamo come si possano ugualmente definire delle operazioni tra cardinalità.
L'esercizio precedente permette di dare la seguente
Lasciamo come esercizio la dimostrazione del fatto che queste operazioni verificano tutte le propruietà delle usuali operazioni tra numeri naturali.
Dimostrazione.
Supponiamo che l'insieme
non abbia minimo e proviamo che
allora
.
Chiamiamo B il suo complementare
(
)
e dimostriamo per induzione che
Supponiamo che , allora e quindi , altrimenti ne sarebbe il minimo, ma allora e pertanto .
Ma allora e quindi .
Dimostrazione. Sia , e supponiamo per assurdo che . Allora per la proprietà di buon ordinamento A ha minimo n. Chiaramente in quanto P(0) è vera. Inoltre se k<n allora in quanto , ma allora dalla (2) segue che P(n) è vera e quindi , contraddicendo il fatto che .
Dimostrazione. Esistenza. Supponiamo dapprima che
,
ed usiamo il principio di
induzione nella seconda forma su n. Se n=0 basta prendere q=0 e r=0.
Supponiamo n>0 e che la tesi sia vera per ogni k<n. Se n<m basta prendere
q=0 e r=n, altrimenti sia k=n-m, dato che
,
quindi per
ipotesi di induzione esistono
tali che
Supponiamo ora n<0 e m>0. Allora -n>0 e quindi per il caso precedente si ha che esistono tali che -n=mq+r e . E quindi n=m(-q)-r. Se r=0 abbiamo finito, se invece 0<r<m allora e n=m(-q)-r=m(-q)-m+m-r=m(-1-q)+(m-r).
Sia infine m<0 allora -m>0, quindi per i due casi precedenti esistono tali che n=(-m)q+=m(-q)+r con .
Unicità. Supponiamo che n= mq + r e n=mq'+r' con . Supponiamo che , allora m(q-q')=r'-r e quindi passando ai moduli si ha ,da cui e quindi ovvero q=q'. Ma allora da mq+r=mq'+r' segue che anche r=r'.