Enunciato del Teorema di Clausius
Il teorema di Clausius stabilisce un legame tra le quantità di calore scambiate da un sistema durante un ciclo e le temperature delle sorgenti che scambiano tale calore. Esso afferma che:
In una macchina termica qualsiasi costituita da una serie infinita di sorgenti, indicando con dQ la quantità di calore che la sostanza termodinamica scambia con la sorgente a temperatura T, si ha che: |
dove, il simbolo dell' integrale ciclico indica che l'integrale è esteso all'intero ciclo descritto dalla macchina. Luguaglianza è valida nel caso in cui la macchina è reversibile.
Per una comprensione piena dell'enunciato potrebbe essere utile, rivederlo per macchine costituite da un numero finito di sorgenti, cominciando dalla macchina di Carnot, che ha il merito di aver suggerito l'idea di base del teorema.
Per convenzione indicheremo con lettera minuscola il valore assoluto della quantità di calore, e con lettera maiuscola la quantità di calore comprensiva di segno; per esempio se una sorgente assorbe Qi calorie, vuol dire che Qi = qi = ½Qi½, se invece cede Qi calorie: Qi = - qi = -½Qi½.
Enunciato del teorema di Clausius per una macchina di Carnot |
Fig. 1
Indicando con Qi il calore che fluisce tra sorgenti e fluido di lavoro di una macchina di Carnot, per uno o più cicli completi, si ha che:
dove Ti rappresenta la tempetatura delle rispettive sorgenti (Fig. 1).
Enunciato del teorema di Clausius per una macchina reale costituita da due sorgenti |
Indicando con Qi il calore che fluisce tra sorgenti e sostanza termodinamica in una macchina reale che utilizza due sorgenti (Fig. 2), per un numero intero di cicli, si ha che:
Fig. 2 Macchina Irreversibile a due sorgenti
dove Ti rappresenta la temperatura della sorgente che scambia la quantità di calore Qi.
Enunciato del teorema di Clausius per una macchina reale costituita da un numero finito N sorgenti (N > 2) |
In una macchina che utilizza N sorgenti, indicando con Qi il calore che fluisce tra sorgenti e fluido di lavoro in un numero intero di cicli, alla temperatura Ti delle sorgenti, si ha che:
Fig. 3
dove, luguaglianza è valida se la macchina è reversibile.
Si perviene all'enunciato generale espresso all'inizio, relativo ad infinite sorgenti, N ® ¥, (Fig. 4), indicando :
Qi ® dQ, Ti ® T
®
si ha allora:
®
Fig. 4
Teorema di Clausius nel caso di infinite sorgenti