Dimostrazione del teorema di Clausius per una macchina reale a due sole sorgenti
Secondo il teorema di Carnot, il rendimento hdi una macchina reale di rendimento, che lavora tra due sole sorgenti è inferiore al rendimento hC di una macchina di Carnot che utilizza due sorgenti aventi le stesse temperature delle sorgenti della macchina reale.
h < hC
Ricordiamo che, per definizione
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dove q1 e q2 sono le quantità di calore scambiate dalle due sorgenti con la sostaza di lavoro (le lettere minuscole rappresentano i moduli delle quantità di calore) (Fig. 1). Inoltre, hC = 1- T2/T1, dove T1 e T2 rappresentano le temperature delle sorgenti calda e fredda rispettivamente. Dalla relazione h < hC si ha che:
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(2) |
Fig. 1
Dall'eq. 2 si ricava che:
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(3) |
Ricorriamo alle lettere maiuscole per esprimere la quantità di calore, comprensiva di segno, scambiata dalla sostanza termodinamica. Poichè q1 è il modulo della quantità di calore assorbita dalla sostanza termodinamica, si ha Q1 = q1 ; inoltre dato che q2 è il modulo della quantità di calore ceduta dalla sostanza termodinamica, si ha Q2 = -q2 . Sostituendo q1 e q2 nell'eq. 3, si ricava:
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(4) |
che equivale alla relazione:
come volevasi dimostrare. Lo stesso risultato vale per un frigorifero irreversibile operante fra due sorgenti.
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