Geometria 2 marzo 1999. Tema A.

Rispondere, giustificando brevemente la risposta, ad almeno due delle prime quattro domande e risolvere il maggior numero degli esercizi seguenti.

Domande.

1. Dire se è vera la seguente affermazione.
   Se $u,v, w$ sono tre vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale $V$ anche $u+v, v-w, u+w$ sono linearmente indipendenti.
2. Dire se è vera la seguente affermazione.
   Siano $v_1,v_2 \in R^3$ e $W$ il sottospazio dei vettori perpendicolari a $v_1$ e $v_2$ . Si ha necessariamente $\dimm W=1$.
3. Dati in $R^3$ una retta e due punti dire quale delle seguenti affermazioni è vera:
   1) Esiste sempre un piano che li contiene.
   2) Non esiste mai.
   3) Se esiste è unico.
   4) Ne possono esistere infiniti.
4. Siano $f: R^6 \rightarrow R^5$, $g: R^7 \rightarrow R^6$ applicazioni lineari. Risulta sempre vero che $Ker(g) \subseteq Ker(f \circ g)$?

Esercizi.

1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del parametro reale $k$:

$$\begin{cases} x+2y +kz = -k \\ 2x+ky +3z = 2 \\ 2x +y +z = 2 \\ \end{cases}$$

2) Discutere la diagonalizzabilità della seguente matrice

$$\left( \begin{matrix} -3&-2&1\\ 6&4&-2\\ -5&-2&3 \end{matrix} \right )$$

e trovare, se possibile, una base di autovettori.

3) Sia $\pi$ il piano perpendicolare alla retta

$$r: \;\begin{cases} 2x-y+z=3\\ x-2z=1 \end{cases}$$

e passante per il punto $P=(-1,1,2)$.
Sia $\pi'$ il piano passante per i punti $(1,1,0),(0,1,0),(2,0,1)$ e sia $s$ la retta di intersezione tra $\pi$ e $\pi'$.
Sia $t$ la retta di equazioni

$$\begin{cases} x=2+t\\ y=1-t\\ z=1+2t. \end{cases}$$

Si studi la posizione reciproca di $s$ e $t$.

4) Data la funzione $f:\;R^3 \rightarrow R^3$ definita da

$$f(x,y,z)=(-2x+y+z,y+2z,2x+z)$$

scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica di $R^3$. Determinare i sottospazi $\kker f$ e $\imm f$ e stabilire se l'applicazione $f$ è iniettiva. Determinare la controimmagine di $(-1,2,3)$.

Soluzione

Domande

1. La risposta è no. Infatti il determinante della matrice
   $$\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ \end{matrix}\right)$$
   è uguale a zero.

2. La risposta è no. Infatti $v_1$ e $v_2$ sono proporzionali il sottospazio dei vettori ortogonali a $v_1$ e $v_2$ ha dimensione $2$.

3. Ne possono esistere infiniti.
4. La risposta è sì. Infatti se $x \in \kker(g)$ allora
   $$(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(0)=0.$$

Esercizio 1.
La matrice associata al sistema è la matrice:

$$(A \vert B)=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & k & -k\\ 2& k & 3 &2\\ 2& 1 & 1 & 2 \end{matrix}\right)$$

Una possibile riduzione a gradino è

$$\left( \begin{matrix}1 & 2 & k & -k\\ 2& k & 3 &2\\ 2& 1 & 1 & 2 ... ... 1 & 1 & 2\\ 0& -3 & 1-2k & 2+2k\\ 0& k-1 & 2 & 0 \end{matrix} \right) \leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 2\\ 0& -3 & 1-2k & 2+2k\\ 0& 0 & 2k^2-3k-5 & 2-2k^2 \end{matrix} \right)$$

Per $k=\frac{5}{2}$ non esistono soluzioni del sistema.
Per $k=-1$ il sistema dato è equivalente al sistema

$$\begin{cases} 2x+y+z=2 \\ y-z=0 \end{cases}$$

che ammette infinite soluzioni:

$$x =1-t$$

$$y =t$$

$$z =t \quad t \in R.$$

Se $k \neq -1,\frac{5}{2}$ esiste una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione è

$$x = \frac{3k-8}{2k-5} \quad y= \frac{4}{2k-5} \quad z= \frac{2(1-k)}{2k-5}$$

Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :

$$p(\lambda)= \lambda (\lambda-2)^2$$

dumque gli autovalori sono $\lambda_1=2$ con molteplicità algebrica $2$ e $\lambda_2=0$ con molteplicità algebrica $1$.
L'autospazio relativo all'autovalore $2$ è

$$V_2= \kker (A-2I)$$

che si determina risolvendo il sistema

$$\begin{cases} -5x-2y+z=0\\ 6x+2y-2z=0 \end{cases}$$

Risulta allora

$$V_2= \sppan \left \{ \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\right) \right \}$$

Ne deduciamo che la matrice non è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore 0 è

$$V_{0}= \kker (A)$$

e si determina risolvendo il sistema

$$\begin{cases} 3x+2y-z=0\\ 5x+2y+3z=0 \end{cases}$$

Risulta allora

$$V_0= \sppan \left \{ \left( \begin{matrix} -4 \\ 7 \\ 2 \end{matrix}\right) \right \}$$

Esercizio 3.
Il vettore direttore di $r$ è:

$$(2,5,1)$$

dunque il piano $\pi$ ha equazione cartesiana

$$2x+5y+z=5.$$

Il piano $\pi'$ ha equazione cartesiana

$$y+z-1=0$$

pertanto la retta $s$ ha equazioni cartesiane

$$\begin{cases} 2x+5y+z=5\\ y+z-1=0 \end{cases}$$

Le equazioni cartesiane di $t$ si ottengono eliminando il parametro e si ha:

$$\begin{cases} x+y=3\\ 2y+z=3 \end{cases}$$

Per determinare la posizione reciproca delle rette $s$ e $t$ risolviamo il sistema

$$\begin{cases} 2x+5y+z=5\\ y+z-1=0\\ x+y=3\\ 2y+z=3 \end{cases}$$

La matrice completa associata al sistema è:

$$\left( \begin{matrix} 2&5&1&5\\ 0& 1&1&1\\ 1& 1&0&3\\ 0& 2&1&3 \end{matrix}\right)$$

Riducendo a gradino si ottiene che la matrice completa ha rango $4$ mentre la matrice dei coefficienti ha rango $3$. Pertanto le rette sono sghembe.
Esercizio 4.
La matrice della applicazione $f$ rispetto alla base canonica è:

$$M(f)=\left( \begin{matrix} -2& 1 &1 \\ 0& 1 & 2 \\ 2& 0 & 1 \end{matrix}\right).$$

Il nucleo dell'applicazione si trova come insieme delle soluzioni del sistema omogeneo di matrice $M(f)$.
Riducendo si trova il sistema:

$$\begin{cases} -2x+y+z=0\\ y+2z=0 \end{cases}$$

Ne segue che

$$\kker f = \sppan \left\{ \left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ -2 \end{matrix}\right) \right \}$$

L'immagine della applicazione $f$ invece è generata dalle colonne linearmente indipendenti della matrice $M(f)$. Risulta:

$$\imm f = \sppan \left\{ \left( \begin{matrix} -2\\ 0\\ 2 \end... ...x}\right),\; \left( \begin{matrix} 1\\ 1\\ 0 \end{matrix}\right) \right \}$$

Infine la controimmagine di $(-1,2,3)$ si determina risolvendo il sistema

$$\begin{cases} -2x+y+z=-1\\ y+2z=2\\ 2x+z=3 \end{cases}$$

Le soluzioni sono:

$$\begin{cases} x=\frac{1}{2}+t\\ y=2+4t\\ z=-2t \end{cases}$$