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Rispondere, giustificando brevemente la risposta, ad almeno due delle
prime quattro domande e risolvere il maggior numero degli esercizi seguenti.
Domande.
- Dire se è vera la seguente affermazione.
Se
e
sono due soluzioni di
un sistema lineare omogeneo a tre incognite, allora anche
(5,1,2) è una soluzione dello stesso sistema.
- Siano
due matrici quadrate. Da
segue
?
- Siano
tre rette in
tali che
ed
sono complanari e
e
sono complanari. Allora:
1) Le rette
e
sono complanari.
2) Le rette
e
sono parallele.
3) Le rette
e
sono sghembe.
4) Possono verificarsi tutti e tre i casi.
- Sia data un'applicazione lineare
, diversa
dalla funzione nulla. È sempre vero che
?
Esercizi.
1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del
parametro reale
:
2) Discutere la diagonalizzabilità della seguente matrice
e trovare, se possibile, una base di autovettori.
3) Sia
il piano che contiene la retta
e passante per il punto
.
Siano
la retta perpendicolare a
passante per
e
la retta parallela ad
passante per
.
Si dica se
,
e
sono a due a due complanari, motivando la risposta.
4) Siano
le matrici che rappresentano rispettivamente le applicazioni lineari
e
, con
.
Determinare, se esistono, i valori di
per i quali
.
Per
scrivere la matrice di
e dire se tale applicazione
è iniettiva o suriettiva.
Soluzione
Domande
- La risposta è sì. Infatti la somma di soluzioni di un sistema
omogeneo è ancora soluzione.
- La risposta è no. Per esempio se
allora
ma
non è la matrice identità.
- Possono verificarsi tutti e tre i casi.
- La risposta è sì. Infatti se la applicazione
è suriettiva,
pertanto
.
Esercizio 1.
La matrice associata al sistema è la matrice:
Una possibile riduzione a gradino è
Per
non esistono soluzioni del sistema.
Per
il sistema dato è equivalente al
sistema
che ammette infinite soluzioni:
Se
esiste una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione è
Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :
dunque gli autovalori sono
con molteplicità algebrica
e
con molteplicità algebrica
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
L'autospazio relativo all'autovalore
è
Concludiamo che la matrice è diagonalizzabile e una base di autovettori è data
Esercizio 3.
Il punto
appartiene al piano
pertanto questa è
l'equazione cartesiana di
.
La retta
ha parametri direttori:
e passa per il punto
. Le sue equazioni parametriche sono:
Le sue equazioni cartesiane si ottengono eliminando il parametro. Risulta:
La retta
è parallela alla retta
e passa per il punto
pertanto ha equazioni parametriche
Le sue equazioni cartesiane si ootengono eliminando il parametro e risulta:
Le rette
e
sono parallele e dunque complanari. Le rette
e
sono
sghembe così come le rette
e
. Infatti le matrici:
hanno entrambe rango quattro.
Esercizio 4.
Il nucleo della applicazione
si determina risolvendo il sistema
Si ottiene che l'applicazione
è iniettiva per
,
mentre per
risulta
Il nucleo della applicazione
si determina risolvendo il sistema
Si ottiene che l'applicazione
è iniettiva per
,
mentre per
risulta
Ne segue che
per
.
Per
la applicazione
non è iniettiva. Sia allora
,
risulta
pertanto l'applicazione
non è iniettiva e dunque, essendo un
endomorfismo, non è neanche
suriettiva. Infine la matrice di
è :
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Andreatta Marco
2000-09-18