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Rispondere, giustificando brevemente la risposta, ad almeno due delle
prime quattro domande e risolvere il maggior numero degli esercizi seguenti.
Domande.
- Dire se è vera la seguente affermazione.
Se
sono tre vettori linearmente indipendenti di uno
spazio vettoriale
anche
sono linearmente indipendenti.
- Sia
un vettore non nullo. Determinare la dimensione del
sottospazio
.
- Siano
un piano in
,
e
due rette distinte
perpendicolari a
. Quale delle seguenti affermazioni
è vera:
1) Le rette
e
sono incidenti.
2) Le rette
e
sono parallele.
3) Le rette
e
sono sghembe.
4) Possono verificarsi tutti e tre i casi.
- Siano
,
applicazioni lineari. Risulta sempre vero che
?
Esercizi.
1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del
parametro reale
:
2) Discutere la diagonalizzabilità della seguente matrice
e trovare, se possibile, una base di autovettori.
3) Sia
il piano perpendicolare alla retta
e passante per il punto
.
Sia
il piano passante per i punti
e sia
la retta
di intersezione tra
e
.
Sia
la retta di equazioni
Si studi la posizione reciproca di
e
.
4) Data la funzione
definita da
scrivere la matrice associata ad
rispetto alla base canonica di
. Determinare
i sottospazi
e
e stabilire se l'applicazione
è iniettiva.
Determinare la controimmagine di
.
Soluzione
Domande
- La risposta è sì. Infatti il determinante della matrice
è diverso da zero.
- La dimensione del sottospazio è
. Infatti
se e solo se
. Poichè
è non nullo si ha che
.
- Le rette
e
sono parallele, avendo entrambe direzione ortogonale al
piano.
- La risposta è no. Per esempio se
è l'identità in
e
è
l'applicazione nulla riesce
e
.
Esercizio 1.
La matrice associata al sistema è la matrice:
Riducendo a gradino la matrice
si ottiene:
Per
non esistono soluzioni del sistema.
Per
il sistema dato è equivalente al
sistema
che ammette infinite soluzioni:
Se
esiste una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione è
Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :
dumque gli autovalori sono
con molteplicità algebrica
e
con molteplicità algebrica
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
che si determina risolvendo il sistema
Risulta allora
Ne deduciamo che la matrice non è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
e si determina risolvendo il sistema
Risulta allora
Esercizio 3.
Il vettore direttore di
è:
dunque il piano
ha equazione cartesiana
Il piano
ha equazione cartesiana
pertanto la retta
ha equazioni cartesiane
Le equazioni cartesiane di
si ottengono eliminando il parametro e si ha:
Per determinare la posizione reciproca delle rette
e
risolviamo il sistema
La matrice completa associata al sistema è:
Riducendo a gradino si ottiene che la matrice completa ha rango
mentre la matrice dei
coefficienti ha rango
. Pertanto le rette sono sghembe.
Esercizio 4.
La matrice della applicazione
rispetto alla base canonica è:
Il nucleo dell'applicazione si trova come insieme delle soluzioni del sistema omogeneo di
matrice
.
Riducendo si trova il sistema:
Ne segue che
L'immagine della applicazione
invece è generata dalle colonne linearmente
indipendenti della matrice
. Risulta:
Infine la controimmagine di
si determina risolvendo il sistema
Le soluzioni sono:
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Andreatta Marco
2000-09-18