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Rispondere, giustificando brevemente la risposta, ad almeno due delle
prime quattro domande e risolvere il maggior numero degli esercizi seguenti.
Domande.
- Dire se è vera la seguente affermazione.
Se sono tre vettori linearmente indipendenti di uno
spazio vettoriale anche
sono linearmente indipendenti.
- Sia un vettore non nullo. Determinare la dimensione del
sottospazio
.
- Siano un piano in , e due rette distinte
perpendicolari a . Quale delle seguenti affermazioni
è vera:
1) Le rette e sono incidenti.
2) Le rette e sono parallele.
3) Le rette e sono sghembe.
4) Possono verificarsi tutti e tre i casi.
- Siano
,
applicazioni lineari. Risulta sempre vero che
?
Esercizi.
1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del
parametro reale :
2) Discutere la diagonalizzabilità della seguente matrice
e trovare, se possibile, una base di autovettori.
3) Sia il piano perpendicolare alla retta
e passante per il punto
.
Sia il piano passante per i punti
e sia la retta
di intersezione tra e .
Sia la retta di equazioni
Si studi la posizione reciproca di e .
4) Data la funzione
definita da
scrivere la matrice associata ad rispetto alla base canonica di . Determinare
i sottospazi e e stabilire se l'applicazione è iniettiva.
Determinare la controimmagine di .
Soluzione
Domande
- La risposta è sì. Infatti il determinante della matrice
è diverso da zero.
- La dimensione del sottospazio è . Infatti
se e solo se
. Poichè è non nullo si ha che
.
- Le rette e sono parallele, avendo entrambe direzione ortogonale al
piano.
- La risposta è no. Per esempio se è l'identità in e è
l'applicazione nulla riesce
e
.
Esercizio 1.
La matrice associata al sistema è la matrice:
Riducendo a gradino la matrice
si ottiene:
Per non esistono soluzioni del sistema.
Per il sistema dato è equivalente al
sistema
che ammette infinite soluzioni:
Se
esiste una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione è
Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :
dumque gli autovalori sono
con molteplicità algebrica e
con molteplicità algebrica .
L'autospazio relativo all'autovalore è
che si determina risolvendo il sistema
Risulta allora
Ne deduciamo che la matrice non è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore è
e si determina risolvendo il sistema
Risulta allora
Esercizio 3.
Il vettore direttore di è:
dunque il piano ha equazione cartesiana
Il piano ha equazione cartesiana
pertanto la retta ha equazioni cartesiane
Le equazioni cartesiane di si ottengono eliminando il parametro e si ha:
Per determinare la posizione reciproca delle rette e risolviamo il sistema
La matrice completa associata al sistema è:
Riducendo a gradino si ottiene che la matrice completa ha rango mentre la matrice dei
coefficienti ha rango . Pertanto le rette sono sghembe.
Esercizio 4.
La matrice della applicazione rispetto alla base canonica è:
Il nucleo dell'applicazione si trova come insieme delle soluzioni del sistema omogeneo di
matrice .
Riducendo si trova il sistema:
Ne segue che
L'immagine della applicazione invece è generata dalle colonne linearmente
indipendenti della matrice . Risulta:
Infine la controimmagine di si determina risolvendo il sistema
Le soluzioni sono:
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Andreatta Marco
2000-09-18