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Geometria 2 marzo 1999. Tema B.

Rispondere, giustificando brevemente la risposta, ad almeno due delle prime quattro domande e risolvere il maggior numero degli esercizi seguenti.

Domande.
  1. Dire se è vera la seguente affermazione.
    Se $ u,v, w$ sono tre vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale $ V$ anche $ u+v, u-v, u+w$ sono linearmente indipendenti.

  2. Sia $ w \in R^3$ un vettore non nullo. Determinare la dimensione del sottospazio $ \{ v \in R^3\;\vert\; v \wedge w=0 \}$.

  3. Siano $ \pi$ un piano in $ R^3$, $ r$ e $ s$ due rette distinte perpendicolari a $ \pi$. Quale delle seguenti affermazioni è vera:
    1) Le rette $ r$ e $ t$ sono incidenti.
    2) Le rette $ r$ e $ t$ sono parallele.
    3) Le rette $ r$ e $ t$ sono sghembe.
    4) Possono verificarsi tutti e tre i casi.
  4. Siano $ f: R^4 \rightarrow R^3$, $ g: R^3 \rightarrow R^3$ applicazioni lineari. Risulta sempre vero che $ \imm(g) \subseteq
\imm(g \circ f)$?


Esercizi.
1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del parametro reale $ k$:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
4x+ky +6z = k \\
2x+4y +kz = 5 \\
2x +y +z = 0 \\
\end{cases}\end{displaymath}




2) Discutere la diagonalizzabilità della seguente matrice

$\displaystyle \left(
\begin{matrix}
5&2&-2\\
1&6&-5\\
3&-3&4
\end{matrix} \right )
$

e trovare, se possibile, una base di autovettori.




3) Sia $ \pi$ il piano perpendicolare alla retta

$\displaystyle r: \;\begin{cases}
x+2y-z=3\\
2x-y=-1
\end{cases}$

e passante per il punto $ P=(2,-1,1)$.
Sia $ \pi'$ il piano passante per i punti $ (0,1,1),(0,0,1),(1,2,0)$ e sia $ s$ la retta di intersezione tra $ \pi$ e $ \pi'$.
Sia $ t$ la retta di equazioni

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x=2+2 \lambda\\
y=2+ \lambda\\
z=1- \lambda.
\end{cases}\end{displaymath}

Si studi la posizione reciproca di $ s$ e $ t$.





4) Data la funzione $ f:\;R^3 \rightarrow R^3$ definita da

$\displaystyle f(x,y,z)=(-x+2z,2x+y+4z,3x+y+2z)
$

scrivere la matrice associata ad $ f$ rispetto alla base canonica di $ R^3$. Determinare i sottospazi $ \kker f$ e $ \imm f$ e stabilire se l'applicazione $ f$ è iniettiva. Determinare la controimmagine di $ (1,7,6)$.
Soluzione
Domande
  1. La risposta è sì. Infatti il determinante della matrice

    $\displaystyle \left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{matrix}\right)
$

    è diverso da zero.

  2. La dimensione del sottospazio è $ 1$. Infatti $ v \wedge w=0$ se e solo se $ v \in L(W)$. Poichè $ v$ è non nullo si ha che $ \dim L(W)=1$.

  3. Le rette $ r$ e $ t$ sono parallele, avendo entrambe direzione ortogonale al piano.
  4. La risposta è no. Per esempio se $ g$ è l'identità in $ R^3$ e $ f$ è l'applicazione nulla riesce $ \imm g = R^3$ e $ \imm (f \circ g)=\{0\}$.
Esercizio 1.
La matrice associata al sistema è la matrice:

$\displaystyle (A \vert B)=\left(
\begin{matrix}
4 & k & 6 & k\\
2& 4 & k &5\\
2& 1 & 1 & 0
\end{matrix}\right)
$

Riducendo a gradino la matrice $ (A \vert B)$ si ottiene:

$\displaystyle \left(
\begin{matrix}
2 & 1 & 1 & 0\\
0& 3 & k-1 & 5\\
0& 0 & (k-5)(k+2) & 2(k-5)
\end{matrix}\right)
$

Per $ k=-2$ non esistono soluzioni del sistema.
Per $ k=5$ il sistema dato è equivalente al sistema

\begin{displaymath}
\begin{cases}
2x+y+z=0 \\
3y+4z=5
\end{cases}\end{displaymath}

che ammette infinite soluzioni:

$\displaystyle x$ $\displaystyle =- \frac{5}{6}+\frac{t}{6}$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =\frac{5}{3}- \frac{4t}{3}$    
$\displaystyle z$ $\displaystyle =t \quad t \in R.$    

Se $ k \neq -2,5$ esiste una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione è

$\displaystyle x = - \frac{5}{3}- \frac{8-2k)}{3(k+2)} \quad
y= \frac{5}{3}+\frac{2(1-k)}{3(k+2)}\quad
z= \frac{2}{k+2}
$

Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :

$\displaystyle p(\lambda)= (1-\lambda) (\lambda-7)^2
$

dumque gli autovalori sono $ \lambda_1=7$ con molteplicità algebrica $ 2$ e $ \lambda_2=1$ con molteplicità algebrica $ 1$.
L'autospazio relativo all'autovalore $ 7$ è

$\displaystyle V_7= \kker (A-7I)
$

che si determina risolvendo il sistema

\begin{displaymath}
\begin{cases}
-x+y-z=0\\
x-y-5z=0\\
x-y-z=0\\
\end{cases}\end{displaymath}

Risulta allora

$\displaystyle V_7= \sppan \left \{
\left(
\begin{matrix}
1 \\
1 \\
0
\end{matrix}\right)
\right \}
$

Ne deduciamo che la matrice non è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore $ 1$ è

$\displaystyle V_{1}= \kker (A-I)
$

e si determina risolvendo il sistema

\begin{displaymath}
\begin{cases}
4x+2y-2z=0\\
3x-3y+3z=0
\end{cases}\end{displaymath}

Risulta allora

$\displaystyle V_1= \sppan \left \{
\left(
\begin{matrix}
0 \\
1 \\
1
\end{matrix}\right)
\right \}
$

Esercizio 3.
Il vettore direttore di $ r$ è:

$\displaystyle (1,2,5)
$

dunque il piano $ \pi$ ha equazione cartesiana

$\displaystyle x+2y+5z=5.
$

Il piano $ \pi'$ ha equazione cartesiana

$\displaystyle x+z-1=0
$

pertanto la retta $ s$ ha equazioni cartesiane

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x+2y+5z=5\\
x+z-1=0
\end{cases}\end{displaymath}

Le equazioni cartesiane di $ t$ si ottengono eliminando il parametro e si ha:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x+2z=3\\
y+z=3
\end{cases}\end{displaymath}

Per determinare la posizione reciproca delle rette $ s$ e $ t$ risolviamo il sistema

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x+2y+5z=5\\
x+z-1=0\\
x+2z=3\\
y+z=3
\end{cases}\end{displaymath}

La matrice completa associata al sistema è:

$\displaystyle \left(
\begin{matrix}
1& 2& 5& 5\\
1& 0& 1& 1\\
1& 0& 2& 3\\
0& 1& 1& 3
\end{matrix}\right)
$

Riducendo a gradino si ottiene che la matrice completa ha rango $ 4$ mentre la matrice dei coefficienti ha rango $ 3$. Pertanto le rette sono sghembe.
Esercizio 4.
La matrice della applicazione $ f$ rispetto alla base canonica è:

$\displaystyle M(f)=\left(
\begin{matrix}
-1& 0 &2 \\
2& 1 & 4 \\
3& 1 & 2
\end{matrix}\right).
$

Il nucleo dell'applicazione si trova come insieme delle soluzioni del sistema omogeneo di matrice $ M(f)$.
Riducendo si trova il sistema:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
-x+2z=0\\
y+8z=0
\end{cases}\end{displaymath}

Ne segue che

$\displaystyle \kker f = \sppan
\left\{
\left(
\begin{matrix}
2\\
-8\\
1
\end{matrix}\right)
\right \}
$

L'immagine della applicazione $ f$ invece è generata dalle colonne linearmente indipendenti della matrice $ M(f)$. Risulta:

$\displaystyle \imm f = \sppan
\left\{
\left(
\begin{matrix}
0\\
1\\
1
\end{...
...}\right),\;
\left(
\begin{matrix}
-1\\
2\\
3
\end{matrix}\right)
\right \}
$

Infine la controimmagine di $ (1,7,6)$ si determina risolvendo il sistema

\begin{displaymath}
\begin{cases}
-x+2z=1\\
2x+y+4z=7\\
3x+y+2z=6
\end{cases}\end{displaymath}

Le soluzioni sono:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x=1+2t\\
y=1-8t\\
z=1+t
\end{cases}\end{displaymath}


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Andreatta Marco
2000-09-18