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Rispondere, giustificando brevemente la risposta, ad almeno due delle
prime quattro domande e risolvere il maggior numero degli esercizi seguenti.
Domande.
- Siano
e
due matrici quadrate . Dimostrare o trovare un
controesempio alla seguente identità:
- Dire se è vera la seguente affermazione.
Una matrice quadrata di ordine tre il cui polinomio caratteristico è:
è necessariamente diagonalizzabile?
- Siano
un piano in
,
e
due rette tali che
. Quale delle
seguenti affermazioni è vera:
- Le rette
e
sono incidenti.
- Le rette
e
sono parallele.
- Le rette
e
sono sghembe.
- Possono verificarsi tutti e tre i casi.
- Siano
,
applicazioni lineari da
in
. Risulta sempre vero che
?
È vero se
è l'applicazione nulla?
Esercizi.
1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del
parametro reale
:
2) Discutere la diagonalizzabilità della seguente matrice
e trovare, se possibile, una base di autovettori.
3) Siano
il piano che contiene la retta
ed è ortogonale alla retta:
e
. Si trovi il punto
simmetrico di
rispetto a
.
4) Scrivere la matrice rispetto alle basi canoniche di
e
dell'applicazione lineare
tale che
dove
è un parametro reale.
Determinare
i sottospazi
e
e le loro dimensioni al variare di
.
Soluzione
Domande
- La affermazione è falsa. Si ha per esempio
mentre
- La affermazione è vera. Infatti in questo caso la matrice ha tre
autovalori distinti: 0,
,
.
- Possono verificarsi tutti e tre i casi.
- La risposta è no. Per esempio se
e
si ha
mentre
.
Se
è l'applicazione nulla allora
perchè per ogni
applicazione lineare
risulta
.
Esercizio 1.
La matrice dei coefficienti del sistema è la matrice:
Il determinante della matrice
è
pertanto per
il sistema ammette una unica soluzione.
La soluzione è
Per
esistono infinite soluzioni :
Per
il sistema ammette di nuovo infinite soluzioni :
Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :
dunque gli autovalori sono
con molteplicità algebrica
e
con molteplicità algebrica
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
che si determina risolvendo il l'equazione
Risulta allora
Ne deduciamo che la matrice è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
e si determina risolvendo il sistema
Risulta allora
Esercizio 3.
Il piano
deve essere ortogonale alla retta
che ha vettore direttore
.
Dunque la sua equazione cartesiana sarà della forma
Il piano contiene la retta
e dunque passa per il punto
, pertanto deve essere
da cui
.
Il punto
ha coordinate
Esercizio 4.
Risulta
La matrice della applicazione
rispetto alle basi canoniche è:
Per
si ha che la dimensione dell'immagine di
è uguale al rango di
ed
è uguale
. Il nucleo di
è il sottospazio:
Per
risulta
e
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Andreatta Marco
2000-09-18