Geometria affine e metrica

Esercizio 54   Determinare un'equazione parametrica e un'equazione cartesiana delle seguenti rette:
$r$: passante per i punti $P_1 = (1,0,2)$ e $P_2 = (-1,2,0)$,
$s$: parallela alla retta $r$ e passante per il punto $O = (0,0,0)$.

Dimostrazione. Se $P=(p_1,p_2,p_3)$ e $Q=(q_1,q_2,q_3)$ sono due punti distinti dello spazio, le equazioni:

$$\begin{cases} x&=p_1+t(q_1-p_1)\\ y&=p_2+t(q_2-p_2)\\ z&=p_3+t(q_3-p_3), \quad t \in R, \end{cases}$$

sono equazioni parametriche della retta passante per $P$ e $Q$.

Nel nostro caso diventano

$$r: \begin{cases} x&=1-2t\\ y&=2t\\ z&=2-2t, \quad t \in R. \end{cases}$$

Una retta dello spazio ammette rappresentazione cartesiana come intersezione di due piani. Le equazioni cartesiane si ottengono da quelle parametriche eliminando il parametro.

Nel caso considerato sostituendo l'equazione $2t=y$ in $x=1-2t$ e $z=2-2t$ si ottiene:

$$r: \begin{cases} x+y=1\\ y+z=2. \end{cases}$$

La retta $s$ è parallela al vettore $P_1P_2=(-2,2,-2)$ e passa per l'origine.

L'equazione

$$P=O+ \lambda P_1P_2$$

dove $P=(x,y,z)$ è un generico punto della retta $s$ e $\lambda \in R$, è una rappresentazione parametrica vettoriale di $s$.

L'equazione vettoriale equivale alle equazioni parametriche scalari

$$s: \begin{cases} x&=-2 \lambda\\ y&=2 \lambda\\ z&=-2 \lambda , \quad \lambda \in R. \end{cases}$$

Eliminando il parametro si trovano le equazioni cartesiane di $s$:

$$s: \begin{cases} x+y=0\\ y+z=0. \end{cases}$$

$\qedsymbol$

Esercizio 55   Determinare un'equazione parametrica della retta di equazioni cartesiane:

$$\begin{cases} 2x-z+4=0 \\ x- y+2z-1=0 \end{cases}$$

Dimostrazione. Data una retta con equazioni cartesiane

$$r: \begin{cases} a_1x+a_2y+a_3z=c_1\\ b_1x+b_2y+b_3z=c_2 \end{cases}$$

siano

$$l= \dete \left [ \begin{matrix} a_2&a_3\\ b_2&b_3 \end{matrix}\... ...uad n= \dete \left [ \begin{matrix} a_1&a_2\\ b_1&b_2 \end{matrix}\right ].$$

Il vettore $(l,m,n)$ è allora un vettore direttore della retta $r$.

Nel nostro caso risulta $(l,m,n)=(-1,-5,-2)$. Inoltre le equazioni cartesiane di $r$ si possono riscrivere come

$$\begin{cases} z&=2x+4 \\ y&=x+2z-1= 5x+7, \end{cases}$$

sicchè attribuendo un valore arbitrario ad $x$, ad esempio 0, si ottengono le coordinate di un punto della retta. Con la scelta fatta si trova $(0,7,4)$.

Infine le equazioni

$$\begin{cases} x&=-t\\ y&=7-5t\\ z&=4-2t, \quad t \in R, \end{cases}$$

sono equazioni parametriche della retta $r$. $\qedsymbol$

Esercizio 56   Determinare un'equazione parametrica e un'equazione cartesiana della retta passante per il punto $P = (0,1,2)$ e di vettore direttore $v=(2,2,-1)$.

Dimostrazione. Una rappresentazione parametrica della retta per $P$ avente vettore direttore $v$ è:

$$\begin{cases} x&=2t\\ y&=1+2t\\ z&=2-t, \quad t \in R. \end{cases}$$

Eliminando il parametro otteniamo le equazioni cartesiane:

$$\begin{cases} x+2z=4 \\ y+2z=5. \end{cases}$$

$\qedsymbol$

Esercizio 57   Determinare un'equazione (parametrica o cartesiana ) del piano passante per i tre punti $P_1 = (0,1,0)$, $P_2 = (-1, 1, 0)$ e $P_3 =(0,0,2)$.

Dimostrazione. Le equazioni parametriche del piano pasante per i tre punti $P=(p_1,p_2,p_3)$, $Q=(q_1,q_2,q_3)$ e $R=(r_1,r_2,r_3)$ sono

$$\begin{cases} x&=p_1+t(q_1-p_1)+s(r_1-p_1)\\ y&=p_2+t(q_2-... ...\\ z&=p_3+t(q_3-p_3)+s(r_3-p_3), \quad t,s \in R. \end{cases}$$

Nel nostro caso diventano

$$\begin{cases} x&=-t\\ y&=1-s\\ z&=2s, \quad t,s \in R. \end{cases}$$

Eliminando i parametri si ottiene una equazione cartesiana del piano:

$$2y+z=2.$$

$\qedsymbol$

Esercizio 58   Determinare un'equazione parametrica e un'equazione cartesiana dei seguenti piani:

$\pi_1$: passante per $P_1 = (1,1,1)$ e contenente la retta

$$r: \begin{cases} x = 1+2t \\ y = -1 +t \\ z = -t \end{cases}$$

$\pi_2$: passante per i tre punti $P_1 = (1,0,0)$, $P_2 = (2, -1, -3)$ e $P_3 =(0,2,1)$.

Dimostrazione. Per determinare un'equazione cartesiana dal piano $\pi_1$ consideriamo il fascio di piani di centro la retta $r$ e imponiamo il passaggio per il punto $P_1$.

La retta $r$ ha equazioni cartesiane:

$$\begin{cases} x+2z-1=0\\ y+z+1=0, \end{cases}$$

e il generico piano del fascio di centro $r$ ha equazione

$$a(x+2z-1)+b(y+z+1)=0$$

con $a$ e $b$ in $R$ non entrambi nulli.

Affinchè un piano del fascio passi per $P_1$ deve essere

$$2a+3b=0$$

da cui

$$a=-3 \quad b=2.$$

L'equazione cartesiana del piano $\pi_1$ è allora

$$\pi_1: 3x-2y+4z=5.$$

Per determinare una equazione parametrica di $\pi_1$ calcoliamo le coordinate di due punti distinti della retta $r$. Per $t=0$ troviamo il punto $P_2=(1,-1,0)$ e per $t=-1$ il punto $P_3=(-1,-2,1)$.

Allora $\pi_1$ è determinato dal passaggio per $P_1$, $P_2$ e $P_3$ e quindi:

$$\begin{cases} x&=1- 2 \mu \\ y&=1-2 \lambda -3 \mu\\ z&=1- \lambda, \quad \lambda, \mu \in R. \end{cases}$$

Un'equazione parametrica di $\pi_2$ è

$$\pi_2: \begin{cases} x&=1+t-s\\ y&=-t+2s\\ z&=-3t+s, \quad s,t \in R. \end{cases}$$

Dalle prime due equazioni si ottiene

$$\begin{cases} t=y+2x-2\\ s=x+y-1 \end{cases}$$

che, sostituite nella terza, forniscono

$$\pi_2: 5x+2y+z=5.$$

$\qedsymbol$

Esercizio 59   Determinare i valori del parametro reale $k$ per i quali le rette

$$r: x+ky-2=0$$

$$s: 2x-ky+k=0$$

sono incidenti, parallele o coincidenti.

Dimostrazione. Studiamo le soluzioni del sistema

$$\begin{cases} x+ky=2\\ 2x-ky=-k. \end{cases}$$

La matrice dei coefficienti ha determinante $-3k$ dunque per $k \neq 0$ il sistema ammette una e una sola soluzione. Segue che in questo caso le due rette sono incidenti.

Per $k=0$ le rette hanno equazione:

$$r: x=2$$

$$s: x=0$$

da cui si vede facilmente che le due rette sono parallele (e distinte). $\qedsymbol$

Esercizio 60   Dati i tre punti $P_1 = (1,0,2)$, $P_2 = (2,1,-1)$ e $P_3 = (0,1,1)$ e la retta

$$r: \begin{cases} x+y-z =2 \\ 2x +3y = 7 \end{cases}$$

Determinare:

1. un'equazione cartesiana e l'equazione parametrica del piano $\pi$ passante per $P_1$, $P_2$ e $P_3$.
2. se $r$ e $\pi$ sono incidenti, e in tale caso trovare il loro punto di intersezione.

Dimostrazione. Il piano $\pi$ ha equazione parametrica

$$\begin{cases} x&=1+t-s\\ y&=t+s\\ z&=2-3t-s, \quad s,t \in R, \end{cases}$$

e equazione cartesiana

$$\pi: x+2y+z=3.$$

Per determinare se $\pi$ ed $r$ sono incidenti guardiamo alle soluzioni del sistema

$$\begin{cases} x+2y+z=3\\ x+y-z =2 \\ 2x +3y = 7. \end{cases}$$

La matrice completa associata al sistema è:

$$\left( \begin{matrix} 1&2&1&3\\ 1&1&-1&2\\ 2&3&0&7 \end{matrix}\right)$$

che, ridotta a gradino, diventa

$$\left( \begin{matrix} 1&2&1&3\\ 0&1&2&1\\ 0&0&0&2 \end{matrix}\right).$$

Segue che il sistema non ha soluzioni dunque la retta è parallela al piano e non è contenuta in esso. $\qedsymbol$

Esercizio 61   Dato il piano $\pi: -y+z+3=0$ determinare la retta parallela all'asse $x$ e giacente su $\pi$.

Dimostrazione. L'asse delle $x$ ha equazione cartesiana

$$\begin{cases} y=0\\ z=0. \end{cases}$$

Il fascio di piani per l'asse delle $x$ ha equazione

$$ay+bz=0$$

per $a$ e $b$ in $R$ non entrambi nulli.

La retta cercata si determina come intersezione tra il piano $\pi$ e il piano del fascio ortogonale a $\pi$. Quest'ultimo è determinato dalla condizione

$$b-a=0 \quad \textrm{ovvero} \quad a=b,$$

dunque ha equazione

$$y+z=0.$$

La retta cercata è allora

$$\begin{cases} y+z=0\\ -y+z+3=0. \end{cases}$$

$\qedsymbol$

Esercizio 62   Determinare i valori del parametro reale $k$ per i quali la retta $r$ di equazioni:

$$r: \begin{cases} x = kt \\ y = -kt+2 \\ z = 0 \end{cases}$$

è ortogonale o parallela al piano, $\pi$, di equazione

$$\pi:\; 3x-y+z+1=0.$$

Dimostrazione. La retta $r$ ha vettore direttore il vettore $(k,-k,0)$ dunque è ortogonale al piano $\pi$ se e solo se $(k,-k,0)$ è un multiplo non nullo del vettore $(3,-1,1)$.

D'altra parte $(-k,k,0)= \rho (3,-1,1)$ se e solo se $\rho=0$ quindi non esiste alcun valore di $k$ per il quale $r$ è ortogonale a $\pi$.

La retta $r$ è invece parallela a $\pi$ se e solo se

$$(k,-k,0) \cdot (3,-1,1)=4k=0$$

ovvero se e solo se $k=0$. D'altra parte per $k=0$ l'equazione di $r$ si riduce ad un punto sicchè questo valore non è accettabile. $\qedsymbol$

Esercizio 63   Determinare la proiezione ortogonale $s$ della retta di equazioni

$$r: \begin{cases} -x-y+z+1 =0 \\ 2x -z-2 = 0 \end{cases}$$

sul piano $\pi$ di equazione $3x+y-z-1=0$.

Dimostrazione. Il fascio di piani per $r$ ha equazione

$$a(-x-y+z+1)+b(2x -z-2)=0, \qquad a,b \in R,$$

ovvero

$$(2b-a)x-ay+(a-b)z+a-2b=0, \qquad a,b \in R.$$

Il piano $\pi_1$ del fascio ortogonale a $\pi$ si determina tramite la condizione

$$(2b-a,-a,a-b) \cdot (3,1,-1)=0.$$

Si ottiene allora

$$7b-5a=0 \quad \textrm{cio\\lq e} \quad a=7, \; b=5.$$

Il piano $\pi_1$ ha dunque equazione

$$3x-7y+2z=3.$$

La proiezione ortogonale $s$ di $r$ su $\pi$ si ottiene come intersezione dei piani $\pi$ e $\pi_1$:

$$\begin{cases} 3x+y-z-1=0\\ 3x-7y+2z=3. \end{cases}$$

$\qedsymbol$

Esercizio 64   Fra tutti i piani passanti per la retta $r$ di equazioni:

$$r: \begin{cases} x-y+1 =0 \\ x+y -z = 0 \end{cases}$$

determinare quelli ortogonali al piano $\gamma:\; x+y+z-4=0$ e quelli ortogonali all'asse $y$.

Dimostrazione. Il fascio di piani per $r$ ha equazione

$$a(x-y+1)+b(x+y -z)=0, \qquad a,b \in R,$$

ovvero

$$(a+b)x+(b-a)y-bz+a=0, \qquad a,b \in R.$$

Un piano del fascio è ortogonale a $\gamma$ se e solo se

$$(a+b,b-a,-b) \cdot (1,1,1)=0.$$

Si ottiene allora che $b=0$ e dunque il piano

$$\pi: x-y+1=0$$

è ortogonale a $\gamma$.

Inoltre un piano del fascio per $r$ è ortogonale all'asse delle $y$ se e solo se il vettore $(a+b,b-a,-b)$ è un multiplo non nullo del vettore $(0,1,0)$. D'altra parte

$$(a+b,b-a,-b)= \rho (0,1,0)$$

se e solo se $\rho=0=a=b$ dunque nessun piano del fascio è ortogonale all'asse $y$. $\qedsymbol$

Esercizio 65   Determinare gli angoli formati dalle rette di equazioni parametriche:

$$r: \begin{cases} x = -3t \\ y = -t-1 \\ z = t+1 \end{cases} \qquad r': \begin{cases} x = 2 \\ y = 2s-2 \\ z = s+1. \end{cases}$$

Dimostrazione. La retta $r$ ha vettore direttore $(-3,-1,1)$ mentre la retta $s$ ha vettore direttore $(0,2,1)$.

Il coseno dell'angolo formato dalle due rette è

$$\cos \widehat{rs}= \frac{(-3,-1,1) \cdot (0,2,1)}{ \vert\vert (-3,-1,1)\vert\vert \cdot \vert\vert(0,2,1)\vert\vert} = - \frac{1}{\sqrt{55}}.$$

Segue che

$$\widehat{rs}= \arccos (- \frac{1}{\sqrt{55}}).$$

$\qedsymbol$

Esercizio 66   Determinare, al variare del parametro reale $k$, la posizione reciproca delle rette:

$$r: \begin{cases} x +ky-2z=0 \\ x+ y+z-k = 0 \end{cases} \qquad r': \begin{cases} x+y-2z=0 \\ -x+ky-2 =0. \end{cases}$$

Dimostrazione. Si tratta di risolvere il sistema

$$\begin{cases} x +ky-2z=0 \\ x+ y+z-k = 0 \\ x+y-2z=0 \\ -x+ky-2 =0. \end{cases}$$

La matrice completa associata al sistema è la matrice

$$\left( \begin{matrix} 1&1&-2&0\\ 1&1&1&k\\ -1&k&0&2\\ 1&k&-2&0 \end{matrix}\right).$$

Riducendola, parzialmente a gradino si trova

$$\left( \begin{matrix} 1&1&-2&0\\ 1&1&1&k\\ -1&k&0&2\\ 1&k&-... ...matrix} 1&1&-2&0\\ 0&k+1&-2&2\\ 0&k-1&0&0\\ 0&0&3&k \end{matrix}\right).$$

Per $k=1$ otteniamo

$$\left( \begin{matrix} 1&1&-2&0\\ 0&2&-2&2\\ 0&0&0&0\\ 0&0&3&1 \end{matrix}\right),$$

e, poichè le matrici incompleta e completa hanno entrambe rango $3$, il sistema ammette una e una sola soluzione. Segue che in questo caso le rette sono incidenti.

Per $k \neq 1$ possiamo ultimare la riduzione a gradino

$$\left( \begin{matrix}1&1&-2&0\\ 0&k-1&0&0\\ 0&k+1&-2&2\\ 0&0&3&k ... ...{matrix}1&1&-2&0\\ 0&1&0&0\\ 0&k+1&-2&2\\ 0&0&3&k \end{matrix} \right) \leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}1&1&-2&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&3&k \end... ...begin{matrix}1&1&-2&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-2&2 \\ 0&0&0&k+3\\ \end{matrix} \right).$$

Per $k \neq -3$ la matrice completa ha rango $4$ e le due rette sono sghembe.

Per $k=-3$ la matrice completa diventa

$$\left( \begin{matrix} 1&1&-2&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&0&0 \end{matrix}\right),$$

e, di nuovo, le rette sono incidenti. $\qedsymbol$

Esercizio 67   Date le rette

$$r: \begin{cases} x +2y+5z=5 \\ x+z-1 = 0 \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x+2z=3 \\ y+z =3. \end{cases}$$

calcolare la distanza tra $r$ ed $s$.

Dimostrazione. L'equazione di $r$ si può riscrivere come

$$\begin{cases} x&=1-z\\ y&=2-2z, \end{cases}$$

da cui, scegliendo per esempio $z=0$, si trova che il punto $P=(1,2,0)$ appartiene ad $r$.

Consideriamo ora il fascio di piani per $s$:

$$a(x+2z-3)+b(y+z-3)=0, \qquad a,b \in R,$$

ovvero

$$ax+by+(2a+b)z-3a-3b=0, \qquad a,b \in R.$$

Determiniamo il piano del fascio parallelo ad $r$. La retta $r$ ha vettore direttore $(2,4,-2)$ dunque imponiamo la condizione

$$(a,b,2a+b) \cdot (2,4,-2)=0.$$

Si ottiene che deve essere $a=b$ e dunque il piano

$$\pi: x+y+3z=6$$

contiene $s$ ed è parallelo ad $r$.

Allora

$$d(r,s)=d(P, \pi)= \frac{ \vert 1+2-6\vert}{\sqrt{9+1+1}}= \frac{3}{\sqrt{11}}.$$

$\qedsymbol$

Esercizio 68   In $R^2$ siano $y=(y_1,y_2)$ e $x=(x_1,x_2)$. Verificare se l'applicazione

$$\cdot : R^2 \times R^2 \rightarrow R$$

definita da

$$y \cdot x=2x_1y_1+3x_2y_2$$

è un prodotto scalare.

Dimostrazione. Risulta

$$(a_1,a_2) \cdot (b_1,b_2)=2a_1b_1+3a_2b_2=(b_1,b_2)\cdot(a_1,a_2),$$

$$(a_1,a_2) \cdot (a_1,a_2)=2a^2_1+3a^2_2 \geq 0,$$

$$(a_1,a_2) \cdot (a_1,a_2)=0 \iff 2a^2_1+3a^2_2=0 \iff a_1=0, a_2=0$$

e

$$( \lambda (a_1,a_2)+(b_1,b_2)) \cdot (c_1,c_2) = 2(\lambda a_1+b_1)c_1+ 3(\lambda a_2+b_2)c_2$$

$$=\lambda (2a_1c_1+ 3a_2c_2)+2b_1c_1+ 3b_2c_2$$

$$=\lambda(a_1,a_2)\cdot (c_1,c_2) + (b_1,b_2)\cdot (c_1,c_2),$$

per ogni $(a_1,a_2), (b_1,b_2)$ e $(c_1,c_2)$ in $R^2$ e per ogni $\lambda \in R$. $\qedsymbol$