Geometria 20 giugno 2000.

Domande.

1. Siano $A$, $B$, $C$ matrici $n \times n$ a coefficienti reali. L'uguaglianza
   $$A \cdot B=A\cdot C$$
   implica
   $$\boxtimes \; B=C\; \textrm{se}\; \dete(A) \neq 0 \qquad \square \; B=C \qquad \square \dete(B)= \dete(C)$$

2. Sia $A$ una matrice $n \times n$ con $\dete(A)=0$.
   Il sistema
   $$AX=0$$
   ammette
   $$\boxtimes \; \textrm{infinite soluzioni} \qquad \square \; \textrm{nessuna soluzione}\qquad \square \;\textrm{una soluzione}$$

3. Siano $\mathcal{B}=\{ v_1,v_2,v_3\}$ una base di $R^3$. L'insieme:
   $$\mathcal{E}=\{ v_1+v_2, v_1+2v_3,v_3-v_2 \}$$

   $$\boxtimes \; \textrm{\\lq e una base di $R^3$} \qquad \square \;\textrm{non \\lq e una base di $R^3$\ ma genera $R^3$}$$

   $$\square \;\textrm{genera un sottospazio proprio di $R^3$}$$

   
   

4. Sia $A$ una matrice $m \times n$ a coefficienti reali. Le soluzioni del sistema lineare:
   $$AX=0$$

   $$\boxtimes \; \textrm{sono un sottospazio di $R^n$} \quad \square \; \textrm{non sono un sottospazio di $R^n$}$$

   $$\square \;\textrm{sono un sottospazio di $R^m$}$$

   
   

5. Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali con $\dim(V)=1$. Sia $f: W \rightarrow V$ una applicazione lineare non nulla. Allora
   $$\boxtimes \; f\;\textrm{\\lq e suriettiva} \qquad \square \; f\;\textrm{\\lq e iniettiva} \qquad \square \; f\;\textrm{\\lq e iniettiva e suriettiva}$$

6. Siano $U$ e $W$ i sottospazi di $R^4$ generati da:
   $$U= \langle (-1,0,2,0), (0,3,0,1) \rangle \quad W= \langle (0,0,1,0), (2,3,-4,1) \rangle.$$
   La dimensione di $U+W$ è :
   $$\boxtimes \; \textrm{tre}\qquad \square \; \textrm{quattro} \qquad \square \; \textrm{due}$$

7. Per quali valori del parametro reale $k$ la matrice
   $$A= \left( \begin{matrix} 2k & 3 & 5\\ 0 & k&7\\ 0 & 0&3k \end{matrix}\right)$$
   è diagonalizzabile?
   $$\boxtimes \; k \neq 0 \qquad \square \; \textrm{per ogni valore di $k$} \qquad \square \; k=0$$

8. Sia $f$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale e sia $v$ un autovettore relativo all'autovalore $\lambda$. Il vettore $\lambda \cdot v$ è un autovettore relativo all'autovalore:
   $$\boxtimes \; \lambda \qquad \square \; \lambda^2 \qquad \square \; 0$$

9. Siano $r$ una retta parallela ad un piano $\pi$ ed $s$ una retta incidente il piano $\pi$. Le rette $r$ ed $s$ sono:
   $$\square \; \textrm{sghembe}\qquad \square \; \textrm{incidenti} \qquad \boxtimes \; \textrm{possono verificarsi entrambi i casi}$$

10. Siano $\pi$ e $\pi'$ due piani paralleli e distinti. Sia $\pi''$ un piano incidente $\pi$ e $\pi'$ e siano $r: \pi \cap \pi''$ e $t: \pi' \cap \pi''$. Le rette $r$ e $t$ sono:
    $$\boxtimes \; \textrm{parallele} \qquad \square \; \textrm{sghembe}\qquad \square \; \textrm{incidenti}$$

Esercizi.

1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema :

$$\begin{cases} 2x+ky +3z = 0 \\ -x+3y +z+kw = 1 \\ 3x -2y +z = 2\\ 2x+y +2z = 3 \end{cases}$$

al variare del parametro reale $k$.

2) Sia $A$ la matrice

$$\left( \begin{matrix} -3&4&-2\\ 4&-3&2\\ -2&2&0 \end{matrix} \right ).$$

1. Determinare autovalori e autospazi di $A$.
2. Se possibile determinare una base di autovettori di $A$.

3) Sia $r$ la retta passante per i punti $A=(1,0,1)$ e $B=(3,-1,2)$ e sia $\pi$ il piano ortogonale ad $r$ che passa per il punto $A$.
Sia $s$ la retta di intersezione tra il piano $\pi$ e il piano $\pi'$ di equazione

$$\pi'\; :\; x+2y-3z=0$$

e sia $l$ la retta parallela ad $s$ passante per il punto $C=(1,1,0)$.
Si dica se le rette $r$, $s$ e $l$ sono a due a due complanari, motivando la risposta.

4) Sia $h:\; R^3 \rightarrow R^3$ definita da

$$h(x_1,x_2,x_3)=(0,x_1,x_2).$$

Provare che si tratta di una applicazione lineare e quindi scriverne la matrice rispetto alla base canonica di $R^3$. Calcolare $h \circ h \circ h$. Provare che l'applicazione $id_{R^3}-h$ è invertibile.

Soluzione

Esercizio 1.
La matrice completa associata al sistema è la matrice:

$$A=\left( \begin{matrix} 2 & k & 3 & 0&0\\ -1& 3 &1& k &1\\ 3& -2 & 1 & 0 &2\\ 2 &1 & 2& 0& 3 \end{matrix}\right)$$

Una possibile riduzione a gradino per righe è la seguente:

$$\left( \begin{matrix}2 & k & 3 & 0&0\\ -1& 3 &1& k &1\\ 3& -2 & 1... ... &1 & 2& 0& 3 \\ -1& 3 &1& k &1\\ 2 & k & 3 & 0&0 \end{matrix} \right) \leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}3& -2 & 1 & 0 &2\\ 0 &7 & 4& 0& 5 \\ 0& 7 &4... ...& 4& 0& 5 \\ 0& 0 &0 & 3k &0\\ 0 & 3k+4 & 7 & 0&-4 \end{matrix} \right)\leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}3& -2 & 1 & 0 &2\\ 0 &7 & 4& 0& 5 \\ 0 & 0 & 4k-11 & 0&5k+16\\ 0& 0 &0 & k &0 \end{matrix} \right)$$

Per $k \neq 0, \frac{11}{4}$ la matrice dei coefficienti del sistema ha rango ( massimo ) $4$, sicchè si ha una sola soluzione:

$$x= \frac{k-24}{4k-11}, \quad y=- \frac{17}{4k-11}, \quad z= \frac{5k+16}{4k-11}, \quad w=0.$$

Per $k=0$ le matrici completa e incompleta del sistema hanno entrambe rango $3$ sichè abbiamo infinite soluzioni, dipendenti da un parametro. Precisamente:

$$x= \frac{24}{11}, \quad y= \frac{17}{11}, \quad z=- \frac{16}{11}, \quad w=t, \qquad t \in R.$$

Infine per $k= \frac{11}{4}$ non esistono soluzioni del sistema. Infatti la matrice associata diventa :

$$\left( \begin{matrix} 3 & -2 & 1 & 0 & 2\\ 0& 7 & 4 &0 & 5\\ 0& 0 &0 & 0&1\\ 0& 0& 0 & \frac{11}{4} &0 \end{matrix}\right).$$

L'equazione corrispondente alla terza riga è manifestamente falsa.

Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :

$$p(x)= (x+8) (x-1)^2$$

dunque gli autovalori sono $x_1=1$ con molteplicità algebrica $2$ e $x_2=-8$ con molteplicità algebrica $1$.
L'autospazio relativo all'autovalore $1$ è

$$V_1= \kker (A-I)$$

e risulta

$$V_1= \{ (x,y,z) \in R^3 \; \vert 2x-2y+z=0 \}$$

Ne segue allora

$$V_1= \sppan \left \{ \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{... ...ht), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\right) \right \}$$

Poiché $\dimm(V_1)=2$ la matrice è diagonalizzabile.

L'autospazio relativo all'autovalore $-8$ è

$$V_{-8}= \kker (A+8I)$$

e si determina risolvendo il sistema

$$\begin{cases} 5x+4y-2z=0\\ y+2z=0 \end{cases}$$

Risulta allora

$$V_{-8}= \sppan \left \{ \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\right) \right \}$$

Infine una base di autovettori di $A$ è data dall'insieme:

$$\mathcal{B}=\{ v_1=(1,0,-2),\; v_2=(0,1,2),\; v_3=(2,-2,1) \}.$$

Esercizio 3.

La retta $r$ ha equazione

$$r: \begin{cases} x&=1+2t\\ y&=-t\\ z&=1+t, \quad t \in R, \end{cases}$$

e il piano $\pi$ ha equazione

$$\pi: 2x-y+z-3=0.$$

La retta $s$ ha rappresentazione cartesiana

$$s: \begin{cases} 2x-y+z-3=0\\ x+2y-3z=0, \end{cases}$$

e rappresentazione parametrica

$$s: \begin{cases} x&=\frac{6}{5}+t'\\ y&=- \frac{3}{5}+7t'\\ z&=1+5t', \quad t' \in R. \end{cases}$$

La retta $l$ è pertanto:

$$l: \begin{cases} x&=1+t''\\ y&=1+7t''\\ z&=5t'', \quad t'' \in R. \end{cases}$$

Le rette $l$ e $s$ sono complanari perchè parallele.

Le rette $r$ ed $s$ sono ortogonali e quindi sono complanari se e solo se si intersecano in un punto, ovvero se e solo se $A \in \pi'$, ma questo non accade.

Le rette $l$ ed $r$ sono complanari se e solo se si intersecano in un punto, ma il sistema formato dalle loro equazioni non ha soluzioni pertanto non sono complanari.

Esercizio 4.
Proviamo che sussistono le seguenti uguaglianze:

$$h((x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3))=h(x_1,x_2,x_3)+h(y_1,y_2,y_3)$$

$$h(a(x_1,x_2,x_3))=a h(x_1,x_2,x_3),$$

per ogni $(x_1,x_2,x_3), (y_1,y_2,y_3)$ in $R^3$ e per ogni $a \in R$.

La prima uguaglianza è vera perchè

$$(0, x_1+y_1,x_2+y_2)=(0,x_1,x_2)+(0,y_1,y_2),$$

la seconda perchè

$$(0, ax_1,ax_2)=a(0,x_1,x_2).$$

La matrice rispetto alla base canonica di $R^3$ è:

$$A= \left( \begin{matrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{matrix}\right).$$

La matrice di $h \circ h \circ h$ è $A^3$ ed è, con facile calcolo,

$$A^3= \left( \begin{matrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{matrix}\right).$$

L'applicazione (lineare !) $id_{R^3}-h$ ha matrice $I-A$ rispetto alla base canonica di $R^3$:

$$I-A=\left( \begin{matrix} 1&0&0\\ -1&1&0\\ 0&-1&1 \end{matrix}\right)$$

con $\dete(I-A)=1 \neq 0$, da cui segue che $id_{R^3}-h$ è invertibile.