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Domande.
- Siano
,
,
matrici
a coefficienti reali.
L'uguaglianza
implica
- Sia
una matrice
con
.
Il sistema
ammette
- Siano
una base di
.
L'insieme:
- Sia
una matrice
a coefficienti reali.
Le soluzioni del sistema lineare:
- Siano
e
spazi vettoriali con
.
Sia
una applicazione lineare non nulla.
Allora
- Siano
e
i sottospazi di
generati da:
La dimensione di
è :
- Per quali valori del parametro reale
la matrice
è diagonalizzabile?
- Sia
un endomorfismo di uno spazio vettoriale e sia
un autovettore relativo
all'autovalore
.
Il vettore
è un autovettore relativo all'autovalore:
- Siano
una retta parallela ad un piano
ed
una retta incidente
il piano
.
Le rette
ed
sono:
- Siano
e
due piani paralleli e distinti.
Sia
un piano
incidente
e
e siano
e
.
Le rette
e
sono:
Esercizi.
1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema :
al variare del parametro reale
.
2) Sia
la matrice
- Determinare autovalori e autospazi di
.
- Se possibile determinare una base di autovettori di
.
3) Sia
la retta passante per i punti
e
e sia
il piano ortogonale ad
che passa per il punto
.
Sia
la retta di intersezione tra il piano
e il piano
di
equazione
e sia
la retta parallela ad
passante per il punto
.
Si dica se le rette
,
e
sono a due a due complanari, motivando la
risposta.
4) Sia
definita da
Provare che si tratta di una applicazione lineare e quindi scriverne la matrice
rispetto alla base canonica di
.
Calcolare
. Provare che l'applicazione
è invertibile.
Soluzione
Esercizio 1.
La matrice completa associata al sistema è la matrice:
Una possibile riduzione a gradino per righe è la seguente:
Per
la matrice dei coefficienti del sistema ha rango
( massimo )
,
sicchè si ha una sola soluzione:
Per
le matrici completa e incompleta del sistema hanno entrambe rango
sichè abbiamo
infinite soluzioni, dipendenti da un parametro. Precisamente:
Infine per
non esistono soluzioni del sistema. Infatti la matrice
associata diventa :
L'equazione corrispondente alla terza riga è manifestamente falsa.
Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :
dunque gli autovalori sono
con molteplicità algebrica
e
con molteplicità algebrica
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
e risulta
Ne segue allora
Poiché
la matrice è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
e si determina risolvendo il sistema
Risulta allora
Infine una base di autovettori di
è data dall'insieme:
Esercizio 3.
La retta
ha equazione
e il piano
ha equazione
La retta
ha rappresentazione cartesiana
e rappresentazione parametrica
La retta
è pertanto:
Le rette
e
sono complanari perchè parallele.
Le rette
ed
sono ortogonali e quindi sono complanari
se e solo se si intersecano in un
punto, ovvero se e solo se
, ma questo non accade.
Le rette
ed
sono complanari se e solo se si intersecano in un punto, ma il sistema
formato dalle loro equazioni non ha soluzioni pertanto non sono complanari.
Esercizio 4.
Proviamo che sussistono le seguenti uguaglianze:
per ogni
in
e per ogni
.
La prima uguaglianza è vera perchè
la seconda perchè
La matrice rispetto alla base canonica di
è:
La matrice di
è
ed è, con facile calcolo,
L'applicazione (lineare !)
ha matrice
rispetto alla base canonica di
:
con
, da cui segue che
è invertibile.
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Andreatta Marco
2000-09-18