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Domande.
- Sia
una matrice
antisimmetrica, i. e.
.
Allora:
- Sia
una matrice
con
.
Il sistema
ammette
- Siano
uno spazio vettoriale,
,
e
vettori di
linearmente
dipendenti. I vettori
sono
- Sia
una matrice
a coefficienti reali.
Le soluzioni del sistema lineare:
- Sia
una applicazione lineare di matrice
.
Se
quali condizioni deve verificare
perché
non sia
suriettiva?
- Siano
,
,
i vettori di
di coordinate:
Esistono applicazioni lineari
tali che
- La matrice
- Sia
un endomorfismo di uno spazio vettoriale e sia
un
suo autovalore.
L'applicazione
ammette come autovalore:
- Siano
e
due rette parallele ad un piano
.
Le rette
ed
sono:
- Dati una retta
e un punto
nello spazio, quante rette
esistono passanti per
e ortogonali ad
?
Esercizi.
1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema :
al variare del parametro reale
.
2) Sia
la matrice
- Determinare autovalori e autospazi di
.
- Se possibile determinare una base di autovettori di
.
3) Sia
la retta di equazioni
e sia
il punto
. Siano
il piano contenente
e passante
per
,
il piano contenente
e ortogonale a
e
il piano
ortogonale ad
e passante per
.
Detta
la retta di intersezione tra
e
, determinare le
coordinate dei punti
tali che
4) Sia
un'applicazione lineare.
Sapendo che
e che il nucleo di
contiene, tra gli altri, i vettori
ricostruire
e scriverne la matrice rispetto alle basi canoniche di
e
. Calcolare la dimensione del nucleo di
.
Soluzione
Esercizio 1.
La matrice associata al sistema è la matrice:
Una possibile riduzione a gradino, per righe, è
Per
non esistono soluzioni del sistema. Infatti la matrice
associata al sistema diventa
L'ultima riga corrisponde all'equazione
manifestamente falsa.
Per
la matrice
associata al sistema diventa
La matrice completa e la matrice incompleta hanno entrambe rango
pertanto il sistema
ammette infinite soluzioni date da:
Se
la matrice completa e la matrice incompleta hanno
entrambe rango
pertanto esiste una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione è
Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :
dunque gli autovalori sono
con molteplicità algebrica
e
con molteplicità algebrica
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
e risulta
Ne segue allora
Poiché
la matrice è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
e si determina risolvendo il sistema
La matrice completa associata a questo sistema è:
Una possibile riduzione a gradino, per righe, è
Il sistema associato all'ultima matrice è il sistema:
pertanto
Infine una base di autovettori di
è data dall'insieme:
Esercizio 3.
Il fascio di piani per
ha equazione:
ossia
Per trovare
imponiamo il passaggio per
e otteniamo:
Per trovare
imponiamo che il vettore normale al piano sia ortogonale al vettore normale a
. Quest'ultimo ha coordinate
, pertanto imponiamo:
L'equazione di
è :
Il piano
ha come vettore normale il vettore direzione di
, che è
, e passa
per
, dunque:
La retta
ha equazione cartesiana:
e equazioni parametriche:
I punti
avranno quindi coordinate
Ora:
e
I punti cercati sono quelli per i quali:
ovvero
Otteniamo quindi i punti:
Esercizio 4.
I tre vettori
,
e
sono linearmente
indipendenti e quindi formano una base di
. Risulta infatti
Le posizioni
e
individuano l'applicazione lineare
.
Evidentemente è
.
Procuriamoci ora
,
e
, essendo come al solito
la base canonica di
.
Come si può ricavare facilmente è
,
e
, pertanto
,
,
.
La matrice richiesta è:
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Andreatta Marco
2000-09-18