Geometria 1 marzo 2000.

Domande.

1. Sia $M$ una matrice $3 \times 3$ antisimmetrica, i. e. $M=-M^{t}$. Allora:
   $$\boxtimes \; \dete(M)=0 \qquad \square \; \dete(M)\neq 0 \qquad \square \;\textrm{possono verificarsi entrambi i casi} .$$

2. Sia $A$ una matrice $n \times n$ con $\dete(A)\neq 0$.
   Il sistema
   $$AX=0$$
   ammette
   $$\boxtimes \; \textrm{una soluzione} \qquad \square \; \textrm{nessuna soluzione}\qquad \square \;\textrm{infinite soluzioni}$$

3. Siano $V$ uno spazio vettoriale, $u$, $v$ e $w$ vettori di $V$ linearmente dipendenti. I vettori
   $$u \quad u+v \quad u+w$$
   sono

   $$\boxtimes \; \textrm{linearmente dipendenti} \qquad \square \;\textrm{linearmente indipendenti}$$

   $$\square \;\textrm{base di un sottospazio di dimensione tre}$$

   
   

4. Sia $A$ una matrice $m \times n$ a coefficienti reali. Le soluzioni del sistema lineare:
   $$AX=0$$

   $$\boxtimes \; \textrm{sono un sottospazio di $R^n$} \quad \square \; \textrm{non sono un sottospazio di $R^n$}$$

   $$\square \;\textrm{sono un sottospazio di $R^m$}$$

   
   

5. Sia $f: R^n \rightarrow R^m$ una applicazione lineare di matrice $A$. Se $n \geq m$ quali condizioni deve verificare $A$ perché $f$ non sia suriettiva?
   $$\boxtimes \; \textrm{rango}(A) <m \qquad \square \; \textrm{rango}(A) =m \qquad \square \;\textrm{rango}(A) >m$$

6. Siano $w_1$,$w_2$, $w_3$ i vettori di $R^3$ di coordinate:
   $$w_1=(-1,2,1) \quad w_2=(3,-1,2) \quad w_3=(7,1,8)$$
   Esistono applicazioni lineari $f: R^3 \rightarrow R^3$ tali che
   $$f(w_1)=(1,0,0) \quad f(w_2)=(0,1,0) \quad f(w_3)=(0,0,1)\; ?$$
   $$\boxtimes \; \textrm{nessuna}\qquad \square \; \textrm{una} \qquad \square \; \textrm{infinite}$$

7. La matrice
   $$A= \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -5& 6 & 0\\ 0 & 4&-7& 9 & 10\\ 0 & 0&-2& 1 & 3\\ 0 & 0&0& 3 & -10\\ 0 & 0&0&0 & 13 \end{matrix}\right)$$

   $$\boxtimes \; \textrm{\\lq e diagonalizzabile} \qquad \square \; \textrm{non \\lq e diagonalizzabile}$$

   $$\square \;\textrm{ammette l'autovalore $\lambda=5$}$$

   
   

8. Sia $f$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale e sia $\lambda$ un suo autovalore. L'applicazione $f^{-1}$ ammette come autovalore:
   $$\boxtimes \; \frac{1}{\lambda} \qquad \square \; \lambda^2 \qquad \square \; 0$$

9. Siano $r$ e $s$ due rette parallele ad un piano $\pi$. Le rette $r$ ed $s$ sono:
   $$\square \; \textrm{sghembe}\qquad \square \; \textrm{parallele} \qquad \boxtimes \; \textrm{possono verificarsi entrambi i casi}$$

10. Dati una retta $r$ e un punto $P$ nello spazio, quante rette esistono passanti per $P$ e ortogonali ad $r$?
    $$\boxtimes \; \textrm{infinite} \qquad \square \; \textrm{una}\qquad \square \; \textrm{nessuna}$$

Esercizi.

1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema :

$$\begin{cases} 3x+ky +2z = 0 \\ -x+2y -3z+kw = 1 \\ 5x +2y +z = 2\\ 2x+3y -z+kw = 1 \end{cases}$$

al variare del parametro reale $k$.

2) Sia $A$ la matrice

$$\left( \begin{matrix} 7&12&-12\\ 4&9&-8\\ 8&16&-15 \end{matrix} \right ).$$

1. Determinare autovalori e autospazi di $A$.
2. Se possibile determinare una base di autovettori di $A$.

3) Sia $r$ la retta di equazioni

$$\begin{cases} x-1=0\\ y-z=0 \end{cases}$$

e sia $P$ il punto $P=(2,1,2)$. Siano $\pi$ il piano contenente $r$ e passante per $P$, $\pi'$ il piano contenente $r$ e ortogonale a $\pi$ e $\pi''$ il piano ortogonale ad $r$ e passante per $P$.

Detta $s$ la retta di intersezione tra $\pi'$ e $\pi''$, determinare le coordinate dei punti $Q \in s$ tali che

$$d(Q,r)= \sqrt{2}\cdot d(P,r)$$

4) Sia $f:\; R^3 \rightarrow R^2$ un'applicazione lineare. Sapendo che

$$f((1,0,0))=(0,1)$$

e che il nucleo di $f$ contiene, tra gli altri, i vettori

$$(0,2,1) \quad \textrm{e} \quad (-1,0,1),$$

ricostruire $f$ e scriverne la matrice rispetto alle basi canoniche di $R^3$ e $R^2$. Calcolare la dimensione del nucleo di $f$.

Soluzione

Esercizio 1.

La matrice associata al sistema è la matrice:

$$(A \vert B)=\left( \begin{matrix} 3 & k & 2 & 0 & 0\\ -1& 2 & -3 &k & 1\\ 5& 2 & 1 & 0 & 2\\ 2& 3 & -1 & k & 1 \end{matrix}\right)$$

Una possibile riduzione a gradino, per righe, è

$$\left( \begin{matrix}3 & k & 2 & 0 & 0\\ -1& 2 & -3 &k & 1\\ 5& 2... ...0 \end{matrix} \right) \begin{matrix}II \\ III \\ IV \\ I \end{matrix} \leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}-1& 2 & -3 &k & 1 \\ 0& 12 & -14 & 5k & 7 \\... ...atrix} \right) \begin{matrix}\\ II+5I \\ III+2II \\ IV+3I \end{matrix} \leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}-1& 2 & -3 &k & 1 \\ 0& 12 & -14 & 5k & 7 \\... ...ix} \right) \begin{matrix}\\ \\ 12III-7II \\ 12IV-(k+6)II \end{matrix} \leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}-1& 2 & -3 &k & 1 \\ 0& 12 & -14 & 5k & 7 \\... ...(k-1) \end{matrix} \right) \begin{matrix}\\ \\ \\ IV-kIII \end{matrix} \leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}-1& 2 & -3 &k & 1 \\ 0& 12 & -14 & 5k & 7 \\... ... & k-1 \end{matrix} \right) \begin{matrix}\\ \\ \\ \tfrac{1}{6} IV \end{matrix}$$

Per $k=0$ non esistono soluzioni del sistema. Infatti la matrice associata al sistema diventa

$$\left( \begin{matrix} -1& 2 & -3 &0 & 1 \\ 0& 12 & -14 & 0 & 7 \\ 0& 0 & 14 & 0 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right).$$

L'ultima riga corrisponde all'equazione $0=-1$ manifestamente falsa.

Per $k=1$ la matrice associata al sistema diventa

$$\left( \begin{matrix} -1& 2 & -3 &1 & 1 \\ 0& 12 & -14 & 5 & 7 \\ 0& 0 & 14 & 1 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right).$$

La matrice completa e la matrice incompleta hanno entrambe rango $3$ pertanto il sistema ammette infinite soluzioni date da:

$$x =-3t-2$$

$$y =6+7t$$

$$w =-13-14t$$

$$z =t \qquad t \in R.$$

Se $k \neq 0,1$ la matrice completa e la matrice incompleta hanno entrambe rango $4$ pertanto esiste una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione è

$$x = \frac{4}{7}, \quad y= 0, \quad z= - \frac{6}{7}, \quad w=- \frac{1}{k}.$$

Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :

$$p(x)= \dete( A-xI)=- (x-1)^2 (x+1),$$

dunque gli autovalori sono $\lambda_1=1$ con molteplicità algebrica $2$ e $\lambda_2=-1$ con molteplicità algebrica $1$.
L'autospazio relativo all'autovalore $1$ è

$$V_1= \kker (A-I)$$

e risulta

$$V_1= \{ (x,y,z) \in R^3 \; \vert x+2y-2z=0 \}$$

Ne segue allora

$$V_1= \sppan \left \{ \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{m... ...right), \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\right) \right \}.$$

Poiché $\dimm(V_1)=2$ la matrice è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore $-1$ è

$$V_{-1}= \kker (A+I)$$

e si determina risolvendo il sistema

$$\begin{cases} 8x+12y-12z=0\\ 4x+10y-8z=0 \\ 8x+16y-14z=0. \end{cases}$$

La matrice completa associata a questo sistema è:

$$\left( \begin{matrix} 2&3& -3 &0\\ 2&5& -4 &0\\ 4&8& -7 &0 \end{matrix}\right).$$

Una possibile riduzione a gradino, per righe, è

$$\left( \begin{matrix} 2&3& -3 &0\\ 2&5& -4 &0\\ 4&8& -7 &0 \e... ...t( \begin{matrix} 2&3& -3 &0\\ 0&2& -1 &0\\ 0&0& 0 &0 \end{matrix}\right).$$

Il sistema associato all'ultima matrice è il sistema:

$$\begin{cases} 2x+3y-3z=0\\ 2y-z=0, \end{cases}$$

pertanto

$$V_{-1}= \sppan \left \{ \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}\right) \right \}.$$

Infine una base di autovettori di $A$ è data dall'insieme:

$$\mathcal{B}=\{ v_1=(3,2,4),\; v_2=(2,0,1),\; v_3=(2,-1,0) \}.$$

Esercizio 3.
Il fascio di piani per $r$ ha equazione:

$$\lambda (x-1)+ \mu (y-z)=0,$$

ossia

$$\lambda x+ \mu y- \mu z- \lambda=0.$$

Per trovare $\pi$ imponiamo il passaggio per $P$ e otteniamo:

$$\pi: x+y-z=1.$$

Per trovare $\pi'$ imponiamo che il vettore normale al piano sia ortogonale al vettore normale a $\pi$. Quest'ultimo ha coordinate $(1,1,-1)$, pertanto imponiamo:

$$(\lambda, \mu, - \mu) \left ( \begin{matrix} 1\\ 1\\ -1 \end{matrix}\right )=0.$$

L'equazione di $\pi'$ è :

$$\pi': 2x-y+z-2=0.$$

Il piano $\pi''$ ha come vettore normale il vettore direzione di $r$, che è $(0,1,1)$, e passa per $P$, dunque:

$$\pi'': y+z-3=0.$$

La retta $s$ ha equazione cartesiana:

$$s: \begin{cases} 2x-y+z-2=0\\ y+z-3=0 \end{cases}$$

e equazioni parametriche:

$$s: \begin{cases} x= \frac{5}{2}-t\\ y=3-t\\ z=t, \quad t \in R. \end{cases}$$

I punti $Q$ avranno quindi coordinate

$$Q= \left( \begin{matrix} \frac{5}{2}-t\\ 3-t\\ t \end{matrix}\right).$$

Ora:

$$\sqrt{2}\cdot d(P,r)=\sqrt{2} \cdot d(P,\pi')= \sqrt{2}\cdot \frac{ \vert 4-1+2-2 \vert}{ \sqrt{6}}= \frac{3}{\sqrt{3}}$$

e

$$d(Q,r)=d(Q,\pi)= \frac{ \vert \tfrac{5}{2}-t+3-t-t \vert}{ \sqrt{3}}= \frac{\vert \frac{11}{2}-3t \vert }{\sqrt{3}}.$$

I punti cercati sono quelli per i quali:

$$\vert \frac{11}{2}-3t \vert =3$$

ovvero

$$t=\frac{17}{6}, \frac{5}{6}.$$

Otteniamo quindi i punti:

$$\left( \begin{matrix} - \frac{1}{3}\\ \\ \frac{1}{6}\\ \\ ... ...x} \frac{5}{3}\\ \\ \frac{13}{6}\\ \\ \frac{5}{6} \end{matrix}\right).$$

Esercizio 4.
I tre vettori $v_1=(1,0,0)$, $v_2=(0,2,1)$ e $v_3=(-1,0,1)$ sono linearmente indipendenti e quindi formano una base di $R^3$. Risulta infatti

$$\dete \left( \begin{matrix} 1&0&-1\\ 0&2&0\\ 0&1&1 \end{matrix} \right )=2 \neq 0.$$

Le posizioni $f((1,0,0))=(0,1)$ e $\{(0,2,1), (-1,0,1) \} \subset \kker(f)$ individuano l'applicazione lineare $f: R^3 \rightarrow R^2$. Evidentemente è $\dimm( \kker(f))=2$.

Procuriamoci ora $f(e_1)$, $f(e_2)$ e $f(e_3)$, essendo come al solito $\{e_1,e_2,e_3\}$ la base canonica di $R^3$.

Come si può ricavare facilmente è $e_1=v_1$, $e_2=- \frac{1}{2} v_1+ \frac{1}{2}v_2- \frac{1}{2} v_3$ e $e_3=v_1+v_3$, pertanto $f(e_1)=(0,1)$, $f(e_2)=(0,- \frac{1}{2})$, $f(e_3)=(0,1)$.

La matrice richiesta è:

$$M_{\underline{e}_{R^3},\underline{e}_{R^3}} (f)=\left( \begin{matrix} 0& 0 &0 \\ 1& - \frac{1}{2} & 1 \end{matrix}\right).$$