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Domande.
- Sia
una matrice quadrata. Il determinante della trasposta
è
uguale a :
- Siano
,
,
matrici quadrate di ordine
. L'uguaglianza
implica:
- Siano
,
,
e
vettori in
. L'insieme
è:
- Sia
lo spazio vettoriale delle matrici
a
coefficienti reali.
Sia
- Sia
una applicazione lineare
di matrice
. Se
, quale condizione deve verificare
perché
non sia iniettiva?
- Siano
,
due applicazioni lineari. Sia
il sottoinsieme di
in cui
e
coincidono.
- Per quali valori del parametro reale
la matrice
è diagonalizzabile?
- Sia
un endomorfismo di uno spazio vettoriale, e siano
e
autovettori di
relativi ad autovalori diversi. Il sottospazio generato da
e
ha dimensione:
- Siano
e
due piani incidenti e sia
. Sia
un piano ortogonale a
e
. La retta
è :
- Siano
e
due piani ortogonali e sia
.
Sia
una retta in
ortogonale ad
e sia
una retta in
distinta da
. Le rette
e
sono:
Esercizi.
1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del
parametro reale
:
2)Sia
la matrice
- Determinare autovalori e autospazi di
.
- Se possibile determinare una base di autovettori di
.
3) Sia
il piano passante per i punti
,
e
e sia
la retta ortogonale a
passante per il punto
.
Sia
la retta per i punti
ed
.
Calcolare la distanza tra le
rette
e
.
4) Si consideri l'applicazione lineare
definita da
Se ne scriva la matrice rispetto alla base canonica di
. Si trovi una
funzione
lineare e non identicamente nulla tale
che
sia l'applicazione nulla.
Soluzione
Esercizio 1.
La matrice associata al sistema è la matrice:
Una possibile riduzione a gradino è
Per
non esistono soluzioni del sistema. Infatti la matrice
associata al sistema diventa
da cui si deduce facilmente che la matrice incompleta ha rango
mentre la
matrice completa ha rango
.
Per
la matrice
associata al sistema diventa
La matrice completa e la matrice incompleta hanno entrambe rango
pertanto il sistema
ammette infinite soluzioni date da:
Se
la matrice completa e la matrice incompleta hanno
entrambe rango
pertanto esiste una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione è
Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :
dunque gli autovalori sono
con molteplicità algebrica
e
con molteplicità algebrica
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
e risulta
Ne segue allora
Pioché
la matrice è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore 0 è
e si determina risolvendo il sistema
Risulta allora
Infine una base di autovettori di
è data dall'insieme:
Esercizio 3.
Il piano
ha equazione cartesiana:
cioè
La retta
ha come direzione il vettore, normale al piano
,
e
quindi ha equazioni parametriche:
La retta
ha equazioni parametriche:
Il vettore che unisce un punto generico della retta
con uno della retta
ha coordinate:
Per determinare i punti delle due rette che realizzano la distanza, imponiamo
che tale vettore sia ortogonale alle due rette. Si ha:
e quindi
Allora
, dove
e
sono i punti di
e
rispettivamente, che si ottengono sostituendo i valori trovati dei parametri
nelle equazioni parametriche delle rette. Risulta:
Quindi:
Esercizio 4.
La matrice della applicazione
rispetto alla base canonica è:
Una applicazione lineare
è tale che
se e solo se
.
Ora, poiché è chiaramente
, una qualsiasi applicazione
lineare
tale che
(e quindi non identicamente nulla)
ha la proprietà cercata. Una base di
è data dal'insieme:
Si completa ad una base di
aggiungendo il vettore
.
Consideriamo allora l'applicazione
definita da:
Tale applicazione
soddisfa la proprietà richiesta.
La sua matrice rispetto alla base canonica è:
La matrice della applicazione
rispetto alla base canonica è:
Come si può facilmente verificare risulta
In alternativa si può procedere nel modo seguente. Osserviamo che
e
. Segue che
. Poiché
,
la matrice
soddisfa la proprietà cercata.
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Andreatta Marco
2000-09-18