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Rispondere, giustificando brevemente la risposta, ad almeno due delle
prime quattro domande e risolvere il maggior numero degli esercizi seguenti.
Domande.
- Siano
in . Esiste una
applicazione
lineare
, tale che
- Siano
ed
applicazioni lineari. È vero che
- Sia una retta in e un punto fuori di essa. Sia
il fascio
di piani che contiene e
l'insieme dei
piani che contengono .
Esiste sempre un piano comune a
e
?
- Sia
un'applicazione lineare tale che l'equazione
abbia infinite soluzioni.
La applicazione è suriettiva?
Esercizi.
1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del
parametro reale :
2) Discutere la diagonalizzabilità della seguente matrice
e trovare, se possibile, una base di autovettori.
3) Siano le rette in di equazione
Trovare il piano parallelo a ed ed equidistante da e .
4) Dire per quali valori del parametro l'applicazione
definita da
è lineare. Per tali valori scriverne la matrice rispetto alla base
canonica, determinare e scriverne una base.
Soluzione
Domande
- La risposta è sì. Infatti esistono infinite applicazioni lineari con la
proprietà
richiesta. Tali applicazioni sono sono determinate dando l'immagine di un vettore
indipendente da e .
- La risposta è no. Infatti siano, per esempio,
una applicazione non identicamente nulla e la
applicazione nulla. Allora
e
- La risposta è sì. Infatti esiste sempre un piano che contiene una retta e
passa per
un punto fuori di essa.
- La risposta è no. Infatti non è iniettiva.
Esercizio 1.
La matrice dei coefficienti del sistema è la matrice:
Per calcolare il determinante della matrice si può applicare lo sviluppo di Laplace
ad una
riga o una colonna della matrice oppure ridurla con il metodo di Gauss.
Una possibile riduzione è:
Il determinante di risulta:
Se
esiste una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione è
Se il sistema dato è equivalente al sistema:
che ammette infinite soluzioni:
Infine se il sistema dato è equivalente al sistema:
che ammette infinite soluzioni:
Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :
dumque gli autovalori sono
con molteplicità algebrica e
con molteplicità algebrica .
L'autospazio relativo all'autovalore è
L'autospazio relativo all'autovalore è
Concludiamo che la matrice è diagonalizzabile e una base di autovettori è data
Esercizio 3.
La retta ha parametri direttori mentre la retta ha parametri direttori
. Un generico piano di equazione cartesiana
risulta parallelo alle rette e se e solo se il vettore
è
ortogonale ai vettori
e
.
Devve essere allora verificato il sistema
da cui
L'equazione cartesiana di risulta allora essere
La distanza del piano dalla retta è
mentre la distanza del piano dalla retta è
Imponendo che le distanze siano uguali si ottiene
pertanto l'equazione cartesiana di è:
Esercizio 4.
L'applicazione è lineare solo per . In questo caso la matrice della applicazione è
Poichè il determinante di è non nullo abbiamo che il nucleo della applicazione è
costituito dal solo vettore nullo.
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Andreatta Marco
2000-09-18