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Domande.
- Siano
e
due matrici
a coefficienti reali.
Il determinante della matrice prodotto
è uguale a
- Siano
e
due matrici
a coefficienti reali.
Il determinante della matrice somma
è uguale a
- Siano
una base di
.
L'insieme:
- Sia
una applicazione lineare e iniettiva.
Siano
in
vettori linearmente indipendenti.
I vettori:
sono
- Siano
applicazioni lineari
e sia
. Esistono vettori non nulli sui quali
e
coincidono?
- Sia
una applicazione lineare di matrice
Risulta:
- Sia
uno spazio vettoriale e
l'endomorfismo di
definito da
L'endomorfismo
è diagonalizzabile
- Sia
un endomorfismo di uno spazio vettoriale e siano
e
due
autovettori relativi ad autovalori distinti.
Il vettore
- Siano
e
due rette incidenti e sia
una retta incidente
.
Le rette
ed
sono
- Siano
un piano e
una retta ortogonale a
. Sia
il fascio di piani per
. Esistono piani di
paralleli a
?
Esercizi.
1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema :
al variare del parametro reale
.
2) Sia
la matrice
- Determinare autovalori e autospazi di
.
- Se possibile determinare una base di autovettori di
.
3) Sia
il piano di equazione
e sia
il piano per l'origine
e ortogonale alla retta
di equazioni
Dette
la retta di intersezione tra
e
ed
la retta di
equazioni parametriche
si studi la posizione reciproca di
e
.
4) Sia
l'applicazione lineare definita da
Scrivere la matrice di
rispetto alla base canonica di
.
Provare che l'applicazione
è invertibile e trovare la controimmagine di
Soluzione
Esercizio 1.
La matrice completa associata al sistema è la matrice
Riducendola a gradino si ottiene :
Per
le matrici completa e incompleta associate al sistema hanno
entrambe rango
sicchè il sistema ha una unica soluzione:
Per
la matrice completa associata al sistema diventa:
Le matrici completa e incompleta associate al sistema hanno
entrambe rango
dunque il sistema ammette infinite soluzioni:
Infine per
la matrice completa diventa
Riducendola ulteriormente si trova:
L'ultima riga della matrice corrisponde all'equazione (manifestamente falsa)
da cui segue che per
il sistema non ha soluzioni.
Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice
è:
Gli autovalori di
sono
con molteplicità algebrica
e
con
molteplicità algebrica
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
L'autospazio relativo all'autovalore
è
La matrice
non è diagonalizzabile perchè
pertanto non si può trovare una base di autovettori di
.
Esercizio 3
Il vettore direttore di
è
e quindi il piano
ha equazione
La retta
è pertanto
ossia:
Quindi le rette
e
non sono parallele; non avendo punti in comune sono
allora sghembe.
Esercizio 4
La matrice di
rispetto alla base canonica di
è:
Riduciamo a scala
:
matrice ridotta di
. È noto che
, perciò
essendo
, è
e quindi
è invertibile.
La controimmagine di
sarà pertanto costituita da un solo vettore, l'unica
soluzione del sistema
La matrice completa associata al sistema appena scritto è
che, ridotta a gardino, diventa
L'ultima matrice corrisponde al sistema:
che ammette l'unica soluzione
La controimmagine di
è quindi il vettore
.
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Andreatta Marco
2000-09-18