Soluzioni proposte

Soluzione dell'esercizio 1 

    

Soluzione dell'esercizio 2 (1).

(2). Dato che $[x_{n},x_{n+1}]=x_{n}x_{n+1}/(x_{n},x_{n+1})$, provare la tesi equivale a provare che $(x_{n},x_{n+1})=1$ per ogni $n$. Lo facciamo per induzione su $n$. Se $n=0$, $(x_1,x_0)=(44,43)=1$, dato che sono numeri consecutivi. Supponiamo la tesi vera per $n$ e proviamola per $n+1$. Dalla relazione di ricorrenza si ha che $(x_{n+2},x_{n+1})=(x_{n+1},x_{n}$ e per ipotesi di induzione, quest'ultimo è $1$.     

Soluzione dell'esercizio 3 

    

Soluzione dell'esercizio 4 

    

Soluzione dell'esercizio 5 

    

Soluzione dell'esercizio 6 Scriviamo esplicitamente i lati dei tre grafi:

$$\begin{eqnarray*} E_1 & = & \big\{ \{0,1\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\},\{4,5\},\{5,... ... & \big\{ \{3,1\},\{6,2\},\{2,3\},\{5,4\},\{1,5\},\{4,6\} \big\} \end{eqnarray*}$$

Figura 1: I gragfi $G_1$ e $G_3$ sono dei cicli, mente il grafo $G_2$ è costituito da due cicli disgiunti, in particolare non è connesso

Osserviamo che $G_1\oldcong G_3\oldcong C_6$, dato che $(0,1,2,3,4,5,0)$ è un ciclo in $G_1$ che contiene tutti i vertici e tutti i lati e anche $(3,1,5,4,6,2,3)$ è un ciclo in $G_3$ che contiene tutti i vertici e tutti i lati. In particolare $G_1$ e $G_3$ sono connessi. Il grafo $G_2$ non è connesso, in quanto è costituito dai due cicli $(0,2,4,0)$ e $(1,3,5,1)$ che non hanno vertici in comune. Quindi $G_2$ non è isomorfo né a $G_1$ né a $G_2$. Si veda la figura1.