Sebbene non abbiamo dato la definizione di cardinalità di un insieme, (abbiamo
dato significato al simbolo
solo nel caso finito), con una serie di esercizi, vediamo
come si possano ugualmente definire delle operazioni tra cardinalità.
L'esercizio precedente permette di dare la seguente
Lasciamo come esercizio la dimostrazione del fatto che queste operazioni verificano tutte le propruietà delle usuali operazioni tra numeri naturali.
Dimostrazione.
Supponiamo che l'insieme
non abbia minimo e proviamo che
allora
. Chiamiamo
il suo complementare
(
) e dimostriamo per induzione che
Supponiamo che
, allora
e
quindi
, altrimenti ne sarebbe il minimo, ma allora
e
pertanto
.
Ma allora
e quindi
.
Dimostrazione.
Sia
non è vera
, e supponiamo per assurdo
che
. Allora per la proprietà di buon ordinamento
ha minimo
. Chiaramente
in quanto
è vera. Inoltre se
allora
in quanto
, ma
allora dalla (2) segue che
è vera e quindi
, contraddicendo
il fatto che
.
Dimostrazione. Esistenza. Supponiamo dapprima che
, ed usiamo il principio di
induzione nella seconda forma su
. Se
basta prendere
e
.
Supponiamo
e che la tesi sia vera per ogni
. Se
basta prendere
e
, altrimenti sia
, dato che
, quindi per
ipotesi di induzione esistono
tali che
Supponiamo ora e
. Allora
e quindi per il caso
precedente si ha che esistono
tali che
e
. E quindi
. Se
abbiamo finito, se invece
allora
e
.
Sia infine allora
, quindi per i due casi precedenti
esistono
tali che
con
.
Unicità. Supponiamo che e
con
. Supponiamo
che
, allora
e
quindi passando ai moduli si ha
,da cui
e quindi
ovvero
. Ma
allora da
segue che anche
.