Se è una soluzione del sistema, allora gli elementi di
sono tutte e sole le soluzioni del sistema (i.e. le soluzioni sono
tutte e sole della forma
al variare di
).
Dimostrazione.
Sia una soluzione del sistema allora esistono
tali che
e quindi
. Ma allora dal fatto che
e
si ha che
.
Viceversa, supponiamo che
, allora esistono
tali che
. Ma allora
, detto quindi
, si ha
evidentemente che
risolve entrambe le congruenze.
Sia
risolve il sistema
. Dobbiamo provare
che se
è una soluzione allora
.
. Sia
un'altra soluzione, allora
e
e quindi sottraendo si ha
. Sia
, ovvero
. Dal fatto che
e che
segue che
. In modo analogo si ha che
e
quindi che
.
Dimostrazione.
Se è invertibile e
è un suo inverso, allora
,
quindi esiste
tale che
e quindi
, da cui
.
Viceversa, se allora esistono
tali che
, ma allora
.
Dimostrazione. Dal fatto che in
, moltiplicando entrambi i membri per
, ed usando
le proprietà associativa, commutativa e dell'
si ottiene
Dimostrazione.
Se in
allora
, se
in
allora
esiste
tale che
. Ma allora
è divisibile per
e quindi
in
.
La proposizione 12.3 può allora essere rienunciata
Dimostrazione.
Se in
allora
e quindi, dato che
è primo,
, da cui la tesi.