Congruenze

Esercizio 3.1   Trovare $x,\ y \in \mathbb{Z}$ tali che 1= 15x + 26 y.

Esercizio 3.2   Trovare $x,\ y \in \mathbb{Z}$ tali che 33x+ 50y = 24

Esercizio 3.3   Risolvere se possibile le seguenti congruenze:

1.

$65x \equiv 42 \mod 2;$

2.

$34x \equiv 1 \mod 15;$

3.

$23x \equiv 14 \mod 59;$

4.

$77x \equiv 11 \mod 22;$

Esercizio 3.4   Calcolare il resto della divisione di 10! per 11.

Esercizio 3.5   Dire se il seguente sistema di congruenze:

$$\left\{ \begin{array}{l} x \equiv 7 \mod 9 \\ x \equiv 3 \mod 5 \end{array} \right.$$

ammette soluzioni, e in caso positivo determinarle.

Esercizio 3.6   Si risolva il seguente sistema di congruenze:

$$\left\{\begin{array}{l} 1025 x \equiv 5312065 \mod 8 \\ 36x \equiv 322 \mod 5 \end{array} \right.$$

Esercizio 3.7   Si risolva il seguente sistema di congruenze:

$$\left\{\begin{array}{l} 10x \equiv 53 \mod 8 \\ 3x \equiv 32 \mod 5 \end{array} \right.$$

Esercizio 3.8   Si determinino gli invertibili di $\mathbb{Z} / 19\mathbb{Z}$ e si trovi l'inverso di ogni invertibile.

Esercizio 3.9   Si trovino gli inversi degli elementi invertibili di $\mathbb{Z} / 24 \mathbb{Z}$.