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Esercizio 1.1
Si dimostri che:
Con
![$A\subset B $](img2.gif)
si intende
![$A \subseteq B$](img3.gif)
ma
![$A \not= B$](img4.gif)
.
Esercizio 1.2
Si dimostri che
![$(A \bigtriangleup B = \emptyset ) \Leftrightarrow (A=B).$](img5.gif)
Esercizio 1.3
Siano
A e
B due insiemi e sia
![$X = A \cup B,\ C = A \cap B .$](img6.gif)
Supponiamo che gli insiemi
![$C,\ A-B, B-A,$](img7.gif)
siano non vuoti.
Quali delle seguenti affermazioni è vera?
Esercizio 1.4
Descrivere l'insieme dato dalla differenza simmetrica dei seguenti insiemi:
,
.
Esercizio 1.5
Sia
![$f: \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} $](img14.gif)
definita da
f(m,n)=mn +m+n.
È vero che
f è iniettiva?
È vero che
f è suriettiva?
Trovare
f-1(4).
Esercizio 1.6
Sia
![$f: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} $](img15.gif)
l'applicazione definita da
f(
n) =4
n +1. Dire se
f è iniettiva e/o suriettiva. Trovare
![$f(f^{-1} (\{ 1, \ 2, \ 3, \ 4,\ 5 \} ))$](img16.gif)
.
Esiste
![$g: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} $](img17.gif)
tale che
![$ f \circ g = id_{\mathbb{Z} } ?$](img18.gif)
Esercizio 1.7
Sia
![$f: A \rightarrow B $](img19.gif)
un'applicazione e
X e
Y sottinsiemi di
A,
mostrare che
![$f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y) $](img20.gif)
e che
![$f(X \cap Y ) \subseteq f(X) \cap f(Y)$](img21.gif)
.
Si mostri che se
f è iniettiva si ha che
![$f(X\cap Y) = f(X) \cap f(Y)$](img22.gif)
.
Esercizio 1.8
Dati
![$a,\ b \in \mathbb{Z} $](img23.gif)
si consideri l'applicazione
![$f: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} $](img15.gif)
definita da
f(
x) =
ax +
b; si determini per quali valori di
a e
b l'applicazione è biiettiva.
Esercizio 1.9
Sia
![$A= \{ 3n \vert n \in N \}$](img24.gif)
un sottinsieme di
![$\mathbb{N} $](img25.gif)
.
Dimostrare che
![$\vert A\vert =\vert \mathbb{N} \vert.$](img26.gif)
Dimostrare che il complementare di
A in
![$\mathbb{N} $](img25.gif)
è equipotente a
![$\mathbb{N} $](img25.gif)
.
Esercizio 1.10
Si consideri l'insieme
![$P= \{ X \vert X \subseteq \mathbb{N}\} $](img27.gif)
,
mostrare che
![$\vert P\vert = \vert\mathbb{N} ^{\mathbb{N} }\vert $](img28.gif)
.
Esercizio 1.11
Mostrare che gli intervalli
![$(0,\ 1) \subset \mathbb{R} $](img29.gif)
e
![$(0,\ 3) \subset \mathbb{R} $](img30.gif)
sono equipotenti.
Esercizio 1.12
Siano
X e
Y insiemi finiti e siano
![$x_0 \in X$](img31.gif)
e
![$y_0 \in Y.$](img32.gif)
Si determini in funzione delle cardinalità di
X e
Y la cardinalità dei seguenti insiemi:
,
Esercizio 1.13
Siano
![$X,\ Y,\ Z,\ K,$](img35.gif)
insiemi finiti a due a due disgiunti, calcolare
![$\vert X^{Y\cup Z \cup K} \vert$](img36.gif)
.
Esercizio 1.14
Sia
A un insieme e sia
![$f: A \rightarrow\mathbb{N} $](img37.gif)
un'applicazione iniettiva, si risponda ai seguenti quesiti:
- 1.
- Sapendo che
cosa posso dire della cardinalità di A?
- 2.
- Sapendo che f(A) è un sottinsieme proprio di
,
cosa posso dire della cardinalità di A?
Esercizio 1.15
Si consideri l'insieme
![$A= \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\} $](img39.gif)
.
Determinare il numero dei sottinsiemi di
A.
Sia
![$B= \{ 7,\ 8 \} $](img40.gif)
,
determinare la cardinalità di
AB e di
BA.
Sia
![$C= \{ 10,\ 11,\ 12\}$](img41.gif)
,
determinare
![$\vert C^{A\cup B}\vert$](img42.gif)
.
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Domenico Luminati
2001-05-21