• Settembre: 16, 17, 22, 23, 24, 29, 30
• Ottobre: 1 6, 7, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 27, 28, 29
• Novembre: 3, 4, 5, 10, 11, 12, 17, 18, 19, 24, 25, 26
• Dicembre 1, 2, 3, 9, 10, 15, 16, 17

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Introduzione al corso.
Obiettivi del corso, modalità, testi, e altre informazioni utili. Obiettivi generali della scienza.

Il metodo scientifico
Leggi, principi, teorie. Il ruolo dell'osservazione quantitativa. L'errore sperimentale. L'estensione e la generalizzazione delle teorie. I numeri, la logica e il linguaggio matematico. Il perché e il come di un fenomeno. Le congetture e la sensata esperienza: l'esempio di Galileo. L'esempio di Keplero e le misure dell'orbita di Marte.

[ di questa parte è disponibile una sintesi in formato pdf ]

Il tempo.
Idea intuitiva di tempo. Fenomeni regolari e periodici. Orologi. Il tempo è la grandezza fisica che si misura tramite orologi. Campioni di tempo e unità di misura: il secondo. L'omogeneità del tempo. Il problema della sincronizzazione.

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Lo spazio.
Idea intuitiva di spazio. La misura delle distanze tramite aste graduate. Campioni e unità di misura: il metro. L'omogeneità e l'isotropia dello spazio. Le coordinate spaziali e la terna di assi orientati. I sistemi di riferimento. Il punto materiale e la sua posizione nello spazio: vettori.

Alcune considerazioni su spazio e tempo
La definizione operativa delle grandezze fisiche. Spazio e tempo come grandezze continue, tradotte in numeri reali per mezzo delle operazioni di misura. La scelta della geometria euclidea per rappresentare lo spazio fisico.

Vettori
Rette orientate, versori, vettori. Modulo di un vettore. Prodotto di un vettore per uno scalare. Opposto di un vettore. Somma di vettori con la regola del parallelogrammo. Differenza di vettori. Decomposizione di un vettore secondo le componenti in direzioni assegnate. Coordinate ortogonali cartesiane. Vettori come n-ple di numeri.

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Ripasso di trigonometria
(1 ora facoltativa) Misura di angoli. Cerchio goniometrico. Definizioni di seno, coseno, tangente, cotangente.

Ancora sui vettori
Somma e differenza di vettori per componenti. Prodotto scalare di due vettori. Vettori ortogonali. Modulo quadro di un vettore.

Posizione, spostamento, traiettoria
Moto di un punto materiale (particella) nello spazio. Misure di posizione in un sistema di riferimento assegnato. Spostamento, leggi orarie e traiettoria.

Velocità
Idea intuitiva di velocità. Definizione di velocità media come rapporto tra spostamento e intervallo di tempo. Definizione di velocità istantanea come derivata prima della posizione rispetto al tempo. Calcolo dello spostamento come integrale della velocità nel tempo. Unità di misura della velocità.

Accelerazione
Idea intuitiva di accelerazione. Definizione di accelerazione media come rapporto tra incremento di velocità e intervallo di tempo. Definizione di accelerazione istantanea come derivata prima della velocità e derivata seconda della posizione rispetto al tempo. Unità di misura dell'accelerazione. Parentesi sul significato di "tempo al quadrato".

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Cinematica: moto uniforme e moto uniformemente accelerato in 1D
Moto in una dimensione. Caso particolare del moto con accelerazione costante. Relazioni tra tempo, spazio, velocità e accelerazione. Grafici velocità-tempo e interpretazione grafica degli integrali. Caso particolare del moto con accelerazione nulla (velocità costante), detto moto uniforme.

Moto uniformemente accelerato in 3D
Moto in tre dimensioni. Nel caso di accelerazione costante la traiettoria è confinata al piano individuato dalla velocità iniziale e dall'accelerazione. Il moto può essere visto come composizione di moti indipendenti lungo direzioni assegnate. Questo è vero in generale e corrisponde ad una assunzione di partenza (un principio) nella descrizione fisica del movimento.

Moto di un corpo soggetto alla gravità
Come esempio di moto ad accelerazione costante abbiamo esaminato il caso di un corpo soggetto alla gravità, calcolando la traiettoria, il tempo di volo e la gittata.

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Esercizio
Moto in 1D: due corpi lanciati verticalmente e soggetti all'accelerazione di gravità. Stesso lancio ma in tempi diversi. Calcolo della quota d'incontro. Grafici della velocità e della quota nel tempo. (Esercizio 3.2 di Dalba-Fornasini)

Esercizio
Un convoglio di metropolitana viaggia tra due stazioni A e B, distanti 4 Km, potendo accelerare o frenare con accelerazione fissata di 1 m/sec², positiva o negativa. Calcolo del tempo minimo di percorrenza. Stesso calcolo ma imponendo una velocità massima di 60 Km/h. (Esercizio 3.1 di Dalba Fornasini)

Si consiglia di vedere l'esercizio 3.3 del Dalba-Fornasini, già svolto nel testo, e di risolvere qualche esercizio a fine capitolo.

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Ripasso di trigonometria
(1 ora facoltativa) Formule utili con funzioni goniometriche. Trangoli rettangoli e triangoli qualsiasi: principali relazioni trigonometriche.

Moto curvilineo in 3D
Abbiamo riscritto le relazioni vettoriali che legano la posizione, la velocità e l'accelerazione. Nel descrivere il moto si possono decomporre i vettori secondo direzioni opportune. Nel seguire un punto materiale lungo una traiettoria conviene spesso utilizzare la "rappresentazione intrinseca", che corrisponde a scegliere due versori, uno diretto come la tangente alla traiettoria, punto per punto, e l'altro ortogonale al primo. Abbiamo visto come si scrivono la velocità e l'accelerazione con questi versori, definendo l'accelerazione tangenziale e l'accelerazione centripeta.

Moto circolare uniforme
Come caso particolare abbiamo visto il moto su una traiettoria circolare di raggio R, con velocità tangenziale costante. Abbiamo definito la velocità angolare, il periodo e la frequenza.

Esercizio
Assegnata la distanza media terra-luna, abbiamo stimato la velocità (tangenziale) di rotazione della luna attorno alla terra, la velocità angolare e l'accelerazione centripeta.

Esercizio
Abbiamo considerato la rotazione della terra sul suo asse, con periodo di 1 giorno. Abbiamo calcolato la velocità tangenziale e l'accelerazione centripeta di un punto generico sulla superficie, in funzione della latitudine e nel caso particolare della nostra latitudine. Abbiamo commentato il fatto che nella vita quotidiana non abbiamo la percezione né della velocità nella dell'accelerazione associate alla rotazione del pianeta.

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Accelerazione angolare
Abbiamo definito l'accelerazione angolare e abbiamo visto quali sono le relazioni tra angolo, velocità angolare e accelerazione angolare, analoghe a quelle per la posizione, la velocità e l'accelerazione nel moto unidimensionale.

Esercizio
Un volano accelera da una certa velocità angolare ad un'altra in un dato intervallo di tempo con accelerazione costante. Abbiamo calcolato l'accelerazione e l'angolo totale descritto nella rotazione.

Moto circolare uniforme in coordinate cartesiane
Abbiamo scritto le leggi orarie, la velocità e l'accelerazione del moto circolare uniforme in coordinate cartesiane. Abbiamo accennato alle coordinate polari.

Introduzione alla dinamica newtoniana
La dinamica come studio del movimento dal punto di vista delle cause (fisiche). Il contesto storico in cui è nata la dinamica classica. Gli ingredienti essenziali, nella formulazione newtoniana: inerzia, quantità di moto, massa (inerziale e gravitazionale), forza, equazione del moto, azione-reazione, principio di relatività. L'insieme di questi ingredienti costituisce la base della teoria. Questi ingredienti li introdurremmo un po' alla volta, ma il loro significato diventa compiuto e soddisfacente solo se presi nel loro insieme.

Inerzia
L'idea intuitiva d'inerzia. Gli enunciati di Galileo e di Newton. Moto libero e equivalenza di quiete e moto uniforme. Relatività del moto.

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Massa e quantità di moto
Un corpo modifica il suo stato di moto (rispetto al moto libero) per effetto dell'azione esercitata dagli altri corpi. La risposta del corpo all'azione degli altri è quantificabile tramite la massa del corpo. Procedure operative per misurare la massa (inerziale) tramite misure di variazione di velocità. La quantità di moto è il prodotto della massa per la velocità di un corpo.

Forza e seconda legge di Newton
Variazione di quantità di moto in intervalli di tempo piccoli. Concetto di forza come rappresentazione quantitativa (vettoriale) dell'azione degli altri corpi su un corpo dato. La seconda legge di Newton.

Alcuni commenti sulla II legge di Newton
La II legge non è una definizione di forza. I vari tipi di forza andranno introdotti indipendentemente, a seconda dei fenomeni studiati. Il linguaggio matematico naturale per la dinamica è quello del calcolo infinitesimale e delle equazioni differenziali. Nel caso di corpi di massa costante la II legge diventa la famosa F=ma.

Appunti su questa lezione si trovano qui, in formato pdf.

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Derivate di funzioni di una variabile
(1 ora facoltativa) Funzioni reali di variabile reale. Definizione di derivata e alcune proprietà delle derivate. Esempi.

Ancora un commento sulla II legge di Newton
Nel caso in cui la forza che agisce su un corpo sia nulla, la II legge dice che il moto del corpo è uniforme, consistentemente con la I legge (principio d'inerzia). Abbiamo ragionato sul fatto che comunque le due leggi contengono informazioni diverse sulla natura del moto dei corpi. La I legge è indispensabile per definire i sistemi di riferimento entro i quali la II legge è valida.

Il principio di azione e reazione e la conservazione della quantità di moto
Ogni volta che un corpo A esercita una forza su un corpo B, il corpo B esercita su A una forza uguale e opposta. Per due corpi che interagiscono solo tra loro, la precedente affermazione implica la conservazione della quantità di moto totale, somma vettoriale delle quantità di moto dei due corpi. Abbiamo legato questo fatto all'assunzione che lo spazio sia omogeneo.

Appunti su questa lezione e la precedente si trovano qui, in formato pdf.

Forze costanti e forza peso
Se inseriamo nella II legge di Newton una forza costante otteniamo un moto uniformemente accelerato. Un esempio di moto uniformemente accelerato osservabile in natura è il moto di caduta dei corpi in prossimità della superficie terrestre. La causa di tale moto è l'attrazione che la terra esercita su tutti i corpi. Tale attrazione la chiamiamo forza peso. Osserviamo sperimentalmente che l'accelerazione di gravità è la stessa per tutti corpi, indipendente dalla loro massa. Questo implica, sulla base della II legge di Newton, che la forza peso è proporzionale alla massa dei corpi su cui agisce.

Forza elastica e moto armonico
Alcuni materiali hanno la capacità di deformarsi in modo tale che per deformarli richiedono una forza esterna proporzionale alla deformazione. Abbiamo considerato una massa attaccata ad una molla e abbiamo definito la forza elastica (F=-kx). La II legge di Newton applicata al moto della massa soggetta alla forza della molla si trasforma in un'equazione differenziale la cui soluzione è armonica (funzioni seno e coseno), con pulsazione data dalla radice quadrata del rapporto tra costante elastica e massa.

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Moto armonico
Il moto armonico causato da una forza proporzionale allo spostamento da un punto assegnato può essere anche visto come la proiezione su un asse di un moto circolare uniforme. Abbiamo visto qual è il significato delle due costanti d'integrazione e come vengono determinate dalla conoscenza delle condizioni iniziali del movimento. Abbiamo tracciato i grafici della posizione e della velocità nel tempo.

Sovrapposizione di forze: peso e forza elastica
Abbiamo considerato una massa attaccata ad una molla in direzione verticale. Sulla massa agiscono contemporaneamente la forza peso e la forza elastica. Le forze si sommano vettorialmente (principo di sovrapposizione). La forza risultante entra nella II legge di Newton e determina il moto. In questo caso il moto è ancora armonico ma rispetto ad una nuova posizione di equilibrio. La nuova posizione di equilibrio si trova imponendo che il peso e la forza elastica siano uguali in modulo e di verso opposto. La misura dell'allungamento della molla all'equilibrio può essere usata come misura della massa del corpo appeso.

Piano inclinato
Reazioni vincolari. Massa appoggiata ad un piano inclinato liscio. Abbiamo calcolo l'accelerazione in funzione dell'angolo di inclinazione.

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Ancora sul piano inclinato
Alcuni commenti sul piano inclinato. La scelta arbitraria degli assi coordinati (stessi risultati con scelte diverse). Quale forza si deve aggiungere per tenere in equilibrio la massa? Problema di equilibrio statico: si deve annullare la risultante delle forze. Problema equivalente: equilibrio di due masse collegate da un filo inestensibile, una sul piano inclinato e l'altra appesa in posizione verticale. La catena di Stevino. Differenza tra leggi statiche (no tempo) e leggi dinamiche (tempo).

Macchina di Atwood
Due masse appese ai due lati di una carrucola di massa trascurabile, tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile. Calcolo dell'accelerazione delle due masse e della tensione del filo.

Pendolo
Massa appesa ad un filo inestensibile. Oscillazioni rispetto alla posizione di equilibrio, verticale. Usando soltanto argomenti di analisi dimensionale abbiamo dimostrato che il periodo di oscillazione deve essere proporzionale alla radice quadra del rapporto tra la lunghezza del filo e l'accelerazione di gravità.

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Derivate
(1 ora facoltativa) Derivata del quoziente di due funzioni. Derivata della funzione logaritmo. Altri esempi di derivate semplici. Esempi di funzioni non derivabili.

Pendolo
Equazione del moto del pendolo semplice. Approssimazione di piccoli angoli e calcolo del periodo di oscillazione. Verifica sperimentale in aula (si consiglia di vedere la pagina di HyperPhysics dedicata al pendolo semplice).

Moto di un corpo immerso in un fluido: attrito viscoso
Definizione di attrito viscoso, proporzionale alla velocità. Coefficiente di resistenza viscosa e coefficiente di viscosità. Equazione del moto per un corpo che cade in un fluido. Velocità limite.

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Ancora sull'attrito viscoso
Soluzione analitica dell'equazione del moto per un corpo che cade in un fluido. Andamenti asintotici della velocità. Moto di un paracadutista, prima e dopo l'apertura del paracadute. La riduzione della gittata per un proiettile in aria e altri commenti sugli effetti della viscosità.

Esercizio
Cinematica: calcolo della profondità di un pozzo usando la misura del ritardo di tempo tra l'istante in cui si lascia cadere una pietra e l'istante in cui si sente il tonfo.

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Integrali
(1 ora facoltativa) Integrali indefiniti. Metodi di integrazione: per sostituzione di variabile e per decomposizione in somma. Esempi.

Attrito radente
Corpo che scivola su una superficie ruvida. Definizione di forza di attrito radente. Coefficiente di attrito radente (dinamico). Moto di un corpo su un piano inclinato scabro. Accelerazione in funzione dell'angolo. Coefficiente di attrito statico.

Esercizio
Corpo su un piano orizzontale scabro, con velocità iniziale assegnata. Abbiamo calcolato il coefficiente di attrito dinamico in funzione dello spazio di frenata.

Esercizio
Pendolo conico. Relazione tra velocità angolare e angolo rispetto alla verticale.

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Gravitazione
Legge di attrazione gravitazionale. Abbiamo visto come Newton ha derivato l'espressione della forza di attrazione tra due masse qualsiasi a partire dalle conoscenze precedenti sui moti planetari e sulla caduta dei gravi e utilizzando i principi della dinamica. Abbiamo visto come si può predire l'accelerazione di gravità g noto il raggio della terra, la distanza terra-luna e il periodo di rotazione della luna attorno alla terra. La gravitazione è una delle interazioni fondamentali in natura.

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Relatività galileiana
L'inerzia e la relatività del moto. I sistemi di riferimento inerziali. L'idea newtoniana di tempo assoluto e spazio assoluto. La posizione di un punto materiale misurata in due sistemi di riferimento diversi, inerziali. Le leggi di trasformazione di Galileo per le coordinate spaziali e il tempo. L'invarianza delle distanze. La composizione delle velocità. L'invarianza dell'accelerazione. L'invarianza delle leggi della dinamica. Il principio di relatività in questa forma: sulla base di esperimenti di meccanica condotti esclusivamente all'interno di un sistema di riferimento inerziale è del tutto impossibile distinguere se quel sistema è in quiete o in moto rettilineo uniforme. Abbiamo visto alcuni esempi.

Esercizio
Un treno si muove a velocità costante su un binario rettilineo. Ad un certo istante un cannoncino, posto sul treno, spara un proiettile verticalmente. Abbiamo calcolato la traiettoria del proiettile nel sistema di riferimento solidale con il treno e nel sistema di riferimento solidale con la terra, trascurando effetti di attrito e di rotazione.

Esercizio
Una barca attraversa un fiume a velocità costante, collegando due punti posti l'uno di fronte all'altro perpendicolarmente alla riva. Nota la velocità dell'acqua rispetto alla riva e il modulo della velocità della barca rispetto all'acqua, abbiamo calcolato il tempo impiegato per la traversata.

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Integrali indefiniti e definiti
(un'ora facoltativa) Esempi di integrali per sostituzione di variabile. Integrazione per parti. Esempi. Integrale definito, definizione e calcolo. Calcolo approssimato: serie di Taylor.

Esercizi
(due ore con Pietro Faccioli) Esercizi di dinamica.

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Esercizio
Un disco ruota in un piano a velocità angolare costante e, contemporaneamente, trasla con velocità costante. Abbiamo scritto le equazioni orarie per il moto di un punto P generico sul disco, a distanza R dal centro (equazioni parametriche del cicloide). Abbiamo calcolato la velocità e l'accelerazione del punto P. Abbiamo tracciato la traiettoria (cicloide) nel caso particolare in cui la velocità di traslazione del centro del disco sia uguale alla velocità di rotazione di P rispetto al centro stesso (condizione di puro rotolamento). Abbiamo discusso qualitativamente la forma del cicloide nel caso generale.

Sistemi di riferimento accelerati e forze fittizie
La seconda legge di Newton è valida in sistemi di riferimento inerziali. Per poterla usare anche in sistemi di riferimento accelerati occorre conoscere l'accelerazione di trascinamento del sistema rispetto ad un sistema inerziale; l'effetto dell'accelerazione di trascinamento può essere tradotto in una forza fittizia da inserire nell'equazione del moto in aggiunta alle forze reali. Abbiamo trattato il caso di sistemi in moto rettilineo accelerato.

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Sistemi di riferimento accelerati e principio di equivalenza
Abbiamo discusso l'esempio di esperimenti condotti in un ascensore (calcolo della tensione del filo di un pendolo in funzione dell'accelerazione dell'ascensore) incluso il caso limite della caduta libera ("assenza di gravità"). Abbiamo parlato del principio di equivalenza: una accelerazione costante del sistema di riferimento in una certa direzione è equivalente ad un campo di gravità uniforme in direzione opposta. Tale principio è strettamente connesso all'eguaglianza della massa inerziale e gravitazionale.

Esercizio
Un vagone di un treno accelera su un binario rettilineo. Ad un certo istante una vite si stacca dal soffitto di un vagone. Abbiamo calcolato la traiettoria sia nel sistema di riferimento inerziale solidale con i binari, sia nel sistema di riferimento non inerziale, accelerato, solidale con il treno.

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Correzione esercizi
(un'ora facoltativa) Domande e risposte su esercizi svolti dagli studenti.

Esercizi
(due ore con Pietro Faccioli) Esercizi di dinamica.

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Prodotto vettoriale
Definizione di prodotto scalare e di prodotto vettoriale di due vettori. Prodotto vettoriale dei versori cartesiani. Prodotto vettoriale espresso in termini delle componenti dei vettori. Prodotto vettoriale e rotazioni: il vettore velocità angolare.

Sistemi di riferimento in rotazione
Un sistema di riferimento S' ruota rispetto ad un sistema inerziale S con velocità angolare costante. La velocità di una particella che si muove nello spazio è diversa se misurata in S o in S'. La differenza viene dalla dipendenza temporale dei versori di S' visti da S e può essere espressa come prodotto vettoriale della velocità angolare omega per il vettore posizione r'.

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Forza di Coriolis e forza centrifuga
L'accelerazione di una particella misurata in un sistema inerziale differisce da quella misurata in un sistema in rotazione per due termini, l'accelerazione di Coriolis e l'accelerazione centriguga. Nota la velocità di rotazione del sistema non inerziale rispetto a quello inerziale si può riscrivere la seconda legge di Newton (valida in quello inerziale) anche in termini delle quantità misurate nel sistema in rotazione. Il prezzo che si paga è quello di dover aggiungere alle forze vere, dovute all'interazione della particella con gli altri corpi, anche le due forze fittizie, quella di Coriolis e quella centrifuga.

Esempi di forza centrifuga
Abbiamo cosiderato alcuni semplici esperimenti eseguiti su una piattaforma rotante. Una massa viene fissata all'asse di rotazione tramite una molla. La lunghezza della molla dipende dalla velocità angolare di rotazione della piattaforma. Nel sistema inerziale la relazione si ricava imponendo che la massa esegua un moto circolare uniforme e che la molla eserciti una forza tale da produrre l'accelerazione centripeta necessaria. Nel sistema in rotazione, invece, la massa è ferma e l'equilibrio viene dal fatto che la molla produce una forza uguale e contraria alla forza centrifuga. Abbiamo poi visto il caso analogo di un pendolo (o una giostra), in cui il filo a cui è appesa la massa forma un certo angolo rispetto alla verticale, angolo che dipende dalla velocità angolare di rotazione della piattaforma (o della giostra).

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Esercizi di autovalutazione
(tre ore con Armani e Piazza) Simulazione di prova scritta e correzione.

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Effetti della rotazione terreste
Una corpo fermo rispetto alla superficie terreste, se visto nel sistema solidale con la terra che ruota, è soggetto alla forza peso che punta verso il centro della terra e alla forza centrifuga che è perpendicolare all'asse di rotazione. La reazione vincolare necessaria a tenerlo fermo, dunque, dovrà essere uguale e opposta alla somma vettoriale delle prime due forze e, quindi, sara' diretta lungo una nuova "verticale" che non punta verso il centro della terra. La deviazione della "verticale" rispetto al raggio terrestre è nulla all'equatore e ai poli ed è massima a 45 gradi di latitudine. Abbiamo discusso le conseguenze di questo fatto. Abbiamo visto che la terra ha la forma di un ellissoide di rotazione. Abbiamo anche visto che l'accelerazione di gravità misurata (con bilancie, pendoli, caduta libera, ecc.) cambia con la latitudine, essendo minima all'equatore e massima ai poli.

La stazione spaziale di "2001 Odissea nello spazio"
In una stazione spaziale fatta a "ruota di bicicletta" in rotazione un astronauta risente di una forza centrifuga che può simulare la gravità. Abbiamo visto però che oggetti in movimento nella stazione spaziale risentono anche della forza di Coriolis. Tale forza produce effetti sgradevoli, dal punto di vista della gravità simulata: il "peso" (forza esercitata contro la parete che fa da pavimento) dipende dalla direzione del moto; un corpo che "cade" sente una forza laterale che gli fa percorrere una traiettoria curvilinea, e così via. Abbiamo visto come questi fenomeni si spiegano facilmente considerando il moto di una massa che si muove su una piattaforma rotante. Ad esempio, un moto uniforme nel sistema inerziale, si traduce in un moto a spirale nel sistema in rotazione. Il moto a spirale, nel sistema in rotazione, si ottiene come effetto combinato della forza centrifuga, radiale, e della forza di Coriolis, perpendicolare alla velocità della massa.

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Esercizio
Calcolo della traiettoria di un uomo che cammina su una piattaforma ruotante. Spirale di Archimede.

Pendolo di Foucault e cicloni
Abbiamo considerato il caso di un pendolo al polo nord. Il piano di oscillazione è fisso rispetto al sistema inerziale delle stelle fisse ed è visto ruotare dal sistema solidale con la terra che ruota. Una rotazione simile si osserva a tutte le latitudini, tranne all'equatore, con periodo di rotazione che dipende dalla latitudine stessa. Misure di questo tipo sono state fatte a Parigi da Foucault a metà dell'800 e sono servite a dimostrare la rotazione della terra rispetto alle stelle fisse, con misure locali e non astronomiche. Un altro effetto visibile delle forze fittizie sulla terra è il moto delle masse atmosferiche su grande scala. Abbiamo visto che la forza di Coriolis induce rotazioni in senso anti-orario (cicloniche) nel caso di masse d'aria che convergono verso zone di bassa pressione nell'emisfero boreale e in senso orario per masse d'aria che divergono da zone di alta pressione (anti-cicloni). La rotazione è di verso opposto nell'emisfero australe.

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Esercizi
(due ore con Pietro Faccioli) Esercizi di dinamica.

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Lavoro di una forza
Abbiamo definito il lavoro come integrale del prodotto scalare della forza che agisce su un corpo per lo spostamento infinitesimo effettuato dal corpo stesso lungo una data traiettoria. Abbiamo visto il caso particolare del moto unidimensionale e quello di una forza costante. Il lavoro può essere positivo o negativo. Il lavoro è nullo se la forza è perpendicolare alla traiettoria. Il lavoro ha le dimensioni di massa per lunghezza al quadrato diviso per il tempo al quadrato. L'unità di lavoro è chiamata joule (J). Si definisce la potenza come il lavoro per unità di tempo. La potenza si misura in watt, pari a J/sec.

Energia cinetica e teorema delle forze vive
Il calcolo del lavoro svolto dalla risultante delle forze che agiscono su un corpo che si muove lungo una traiettoria può essere eseguito utilizzando la seconda legge di Newton. In questo modo si mostra che il lavoro fatto dal punto A al punto B è uguale alla differenza dei valori assunti dalla quantità (1/2)mv² in B e A. La quantità (1/2)mv² si chiama energia cinetica e il risultato ottenuto si è: noto come "teorema delle forze vive". Abbiamo visto qualche applicazione semplice.

Campi di forze
Abbiamo detto cos'è un campo di forze e abbiamo visto alcuni esempi (forza elastica, gravità, gravitazione universale). I campi possono essere rappresentati graficamente da linee di forza.

Forze conservative
Un campo di forze è conservativo se le forze dipendono solo dalla posizione e se il lavoro fatto lungo un percorso tra due punti A e B non dipende dal percorso, ma solo dai punti A e B. In tal caso abbiamo visto che si può definire un'energia potenziale in modo che il lavoro fatto dalla forza conservativa tra A e B è uguale all'energia potenziale in A meno quella in B.

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Energia meccanica
Sommando l'energia potenziale di una particella alla sua energia cinetica e usando il teorema delle forze vive si ottiene una quantità che si conserva: l'energia meccanica. In presenza di forze non conservative l'energia meccanica invece non si conserva.

Energia potenziale elastica
Abbiamo considerato il caso della forza elastica, proporzionale alla distanza da un punto. Un semplice calcolo mostra che l'energia potenziale associata a tale forza è proporzionale alla distanza al quadrato. Il moto di una particella in un potenziale quadratico è un moto armonico attorno alla posizione di equilibrio. Negli estremi dell'oscillazione l'energia potenziale è massima e l'energia cinetica è nulla, mentre nel passaggio dalla posizione di equilibrio l'energia potenziale è nulla e l'energia cinetica è massima. Abbiamo visto che la soluzione del problema del moto (la legge oraria) può essere ottenuta ricorrendo alla conservazione dell'energia meccanica anziché alla seconda legge di Newton. Abbiamo anche visto che la forza in funzione della posizione è uguale a meno la derivata dell'energia potenziale rispetto alla posizione.

Energia potenziale associata alla forza peso
Abbiamo considerato il caso della forza peso in prossimità della superficie terrestre. La forza è costante ed è anche conservativa. Si può definire un'energia potenziale proporzionale alla quota misurata rispetto ad una quota di riferimento. La forza peso è uguale a meno la derivata dell'energia potenziale rispetto alla quota. Abbiamo usato la conservazione dell'energia meccanica per calcolare la velocità di un corpo che cade da una certa altezza; abbiamo visto che, in assenza di attriti, tale velocità non dipende dal percorso di caduta (es.: dall'inclinazione del piano su cui scivola).

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Esercizi
(un'ora facoltativa con Armani) Esercizi di dinamica.

Ancora sull'energia potenziale associata al peso
Equazione del moto derivata dalla conservazione dell'energia meccanica. Energia potenziale vista come il lavoro fatto da forze che agiscono "contro" le forze del campo conservativo nel portare una massa un punto A (inizialmente ferma) a un punto B (in cui si arresta).

Energia potenziale per un pendolo
Abbiamo scritto l'energia potenziale di un pendolo in funzione dell'angolo rispetto alla verticale e abbiamo discusso cosa succede se l'energia meccanica totale E è maggiore o minore dell'energia potenziale massima. Abbiamo visto che per piccole oscillazioni attorno al minimo di energia potenziale, l'energia meccanica ha la stessa forma quadratica dell'energia di un oscillatore soggetto alla forza elastica. Dall'analogia si ricava anche l'espressione del periodo di oscillazione. Abbiamo parlato di oscillatori anarmonici e di approssimazione armonica per un'energia potenziale qualsiasi sviluppata attorno ad un minimo.

Forze centrali
Un campo di forze è centrale se la direzione delle forze è radiale rispetto ad un punto assegnato (sorgente del campo) e se il modulo della forza dipende solo dalla distanza da quel punto. Abbiamo dimostrato che se una forza è centrale allora è anche conservativa. Abbiamo visto l'esempio delle forze elastiche in 3D e della gravitazione.

Energia potenziale gravitazionale
Abbiamo considerato l'interazione gravitazionale tra una massa M (sorgente) e una massa m. Dato che la forza gravitazionale esercitata da M su m è centrale, essa è anche conservativa. Abbiamo discusso la scelta del punto di riferimento per il calcolo dell'energia potenziale, che conviene porre a distanza infinita dalla sorgente. In tal caso l'energia potenziale gravitazionale risulta essere -GmM/r. Al solito, la forza risulta anche essere pari a meno la derivata dell'energia potenziale rispetto a r.

Linee di forza e superfici equipotenziali
Abbiamo visto come si può rappresentare un campo di forze in tre dimensioni, tramite le linee di forza e le superfici equipotenziali.

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Momento angolare e momento delle forze
Abbiamo definito il momento angolare di una particella e il momento delle forze che agiscono su una particella. Usando la II legge di Newton abbiamo dimostrato che la derivata temporale del momento angolare di una particella è uguale al momento delle forze agenti sulla stessa particella. Nel caso di forze centrali il momento delle forze è nullo e quindi il momento angolare si conserva.

Il problema di Keplero
Abbiamo impostato il problema del moto di una particella di massa m soggetta al campo gravitazionale di una massa M fissa. Il problema sarebbe risolvibile a partire dall'equazione del moto (II legge di Newton). Cerchiamo invece la soluzione a partire dalle leggi di conservazione dell'energia meccanica e del momento angolare. Abbiamo visto dapprima che la conservazione del momento angolare ha come diretta implicazione la II legge di Keplero (nelle loro orbite ellittiche i pianeti spazzano aree uguali in tempi uguali). Un'altra implicazione è che il moto della particella si mantiene su un piano passante per la massa M e individuato dai vettori posizione e velocità iniziali. Abbiamo poi scritto l'energia meccanica separando la parte cinetica in due contributi, l'uno corrispondente all'energia cinetica del moto radiale e l'altro a quella del moto angolare. Grazie alla conservazione del momento angolare, la parte angolare dell'energia cinetica può essere riscritta come L²/(2mr²). In questo modo l'energia meccanica può essere vista come la somma di un'energia cinetica radiale più un'energia potenziale efficace, somma di L²/(2mr²) e dell'energia potenziale gravitazione -GmM/r. A partire dalle leggi di conservazione abbiamo poi ricavato l'espressione generale per le traiettorie possibili. Tale espressione coincide con l'equazione parametrica delle sezioni coniche: cerchio, ellisse, parabola, iperbole. La traiettoria della massa m è una di queste curve, scelta a seconda delle condizioni iniziali, cioè la posizione e la velocità della particella o, equivalentemente, l'energia e il momento angolare. Abbiamo poi discusso qualitativamente i vari tipi di orbita a partire dall'espressione dell'energia meccanica. A seconda dell'energia e del momento angolare si ottengono traiettorie legate (distanza compresa tra un valore minimo e un valore massimo) o libere (distanza che può diventare infinita). A parità di momento angolare l'energia meccanica minima ammessa è quella che compete ad un moto circolare uniforme. Abbiamo visto che l'energia cinetica associata al moto angolare può essere anche intesa come energia potenziale centrifuga, associata alla forza centrifuga che si dovrebbe aggiungere se si studiasse il moto nel sistema di riferimento che ruota assieme alla massa m attorno a M.

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Esercizi
(due ore con Faccioli) Esercizi di dinamica.

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Esercizi
(un'ora facoltativa con Armani, al mattino) Esercizi di dinamica.

Esercizi
(due ore con Faccioli, al mattino) Esercizi di dinamica.

Ancora sulla gravitazione
Un proiettile viene lanciato in orbita dalla superficie di un pianeta con una certa velocità iniziale. Abbiamo calcolato il valore minimo della velocità necessario per lanciare il proiettile in un'orbita libera. Usando la conservazione dell'energia abbiamo visto che tale "velocità di fuga" è indipendente dalla massa del proiettile e dipende solo dalla massa e dal raggio del pianeta. Abbiamo discusso il ruolo della velocità di fuga nel lancio dei satelliti artificiali, nella stabilità dell'atmosfera gassosa attorno ai pianeti, e nell'esistenza di buchi neri.

Il problema a due corpi
Se due particelle interagiscono soltanto tra loro, la dinamica del moto relativo è descritta da un'equazione del moto per una singola particella avente massa ridotta. Abbiamo definito la massa ridotta e discusso qualche esempio (terra-luna, bilanciere, molla con due masse).

Centro di massa
Abbiamo definito la massa totale e la quantità di moto totale di un sistema di due particelle. Abbiamo definito il centro di massa del sistema, la sua velocità e la sua accelerazione. Come esempio abbiamo calcolato la posizione del centro di massa del sistema terra-luna. Usando la seconda e la terza legge di Newton per ciascuna particella e distinguendo le forze esterne ed interne al sistema, abbiamo visto che la variazione di quantità di moto totale (prodotto della massa totale per la velocità del centro di massa) è uguale alla risultante delle sole forze esterne. Una conseguenza molto importante è che un sistema su cui non agiscano forze esterne (sistema isolato) conserva la sua quantità di moto totale.

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Esempi di sistemi a 2 corpi
Abbiamo discusso l'effetto di rinculo nel caso di un proiettile esploso da una pistola o un cannone. Abbiamo parlato di urti tra due particelle, fornendo una definizione qualitativa di urto e di approssimazione d'urto (forze esterne trascurabili durante la "collisione"). Abbiamo accennato alla differenza tra urti eleastici e anelastici. Infine, abbiamo trattato brevemente un esercizio con due masse collegate da una molla, una delle quali è soggetta ad una forza esterna costante (oscillatore armonico forzato, con forzante costante).

Sistemi di N particelle
Abbiamo generalizzato le definizioni di centro di massa, quantità di moto totale, ecc., al caso di N particelle. Il centro di massa risulta muoversi come una particella di massa pari alla massa totale del sistema e soggetta alla risultante delle forze esterne. Un sistema isolato, quindi, conserva la quantità di moto totale. Nel caso di sistemi isolati conviene descrivere il moto delle particelle utilizzando il sistema di riferimento inerziale avente il centro di massa come origine. La quantità di moto totale del sistema di particelle misurata nel sistema di riferimento del CM è nulla.

Momento angolare di un sistema di particelle
Il momento angolare totale di un sistema di particelle è la somma vettoriale di tutti i momenti angolari di ciascuna particella, calcolati rispetto ad uno stesso punto arbitrariamento scelto. Abbiamo mostrato che la derivata temporale del momento angolare del sistema è uguale alla somma dei momenti delle sole forze esterne che agiscono sulle particelle del sistema, calcolati rispetto allo stesso punto. Nel caso in cui il momento delle forze esterne sia nullo, il momento angolare totale si conserva. Abbiamo visto l'esempio della formazione del sistema solare per contrazione di una nube di gas. Abbiamo mostrato che il momento angolare calcolato rispetto ad un generico punto O è uguale alla somma del momento angolare calcolato rispetto al centro di massa (momento angolare intrinseco) e del momento angolare orbitale associato al moto del centro di massa rispetto al punto O.

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Energia meccanica di un sistema di particelle
L'energia cinetica del sistema è la somma delle energie cinetiche delle particelle che lo compongono. Usando la legge di composizione delle velocità si dimostra che l'energia cinetica è la somma dell'energia cinetica delle particelle misurata nel sistema del centro di massa e dell'energia cinetica di una particella di massa pari alla massa totale del sistema e che si muove con la velocità del CM stesso. Questo risultato è noto come teorema di König. La variazione dell'energia cinetica totale del sistema è uguale al lavoro totale compiuto dalle forze agenti sulle particelle. Se le forze interne sono conservative, possiamo definire un'energia potenziale del sistema, funzione delle distanze relative tra le particelle, in modo che la variazione dell'energia propria del sistema (energia cinetica + energia potenziale) risulta uguale al lavoro delle sole forze esterne Se il sistema è isolato, la velocità del CM è costante e il lavoro delle forze esterne è nullo. In tal caso l'energia totale del sistema, somma dell'energia cinetica (interna) e dell'energia potenziale (interna) si conserva.

Dinamica dei corpi rigidi
Un corpo rigido è un sistema di particelle in cui le distanze relative sono costanti nel tempo. Un corpo rigido può traslare e/o ruotare. I gradi di libertà sono 3 per la traslazione e 3 per la rotazione (due per individuare l'asse istantaneo di rotazione più uno per l'angolo di rotazione attorno all'asse stesso).

Momento d'inerzia di una lastra piana
Abbiamo calcolato l'energia cinetica di una lastra rigida sottile che ruota attorno ad un asse ortogonale ad essa. Abbiamo visto come si può scomporre la velocità di ciascun punto della lastra nella somma della velocità di traslazione di un suo punto A, scelto arbitrariamente, più la velocità di rotazione attorno ad A. Abbiamo mostrato che la velocità angolare che entra in questa decomposizione non dipende dalla scelta di A. Abbiamo visto che l'energia cinetica ha la forma (1/2)I omega², dove I è detto momento d'inerzia. Abbiamo visto qual'è la relazione tra il momento d'inerzia calcolato rispetto ad un punto A generico e quello calcolato rispetto al centro di massa della piastra.

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Momento angolare di una lastra piana
Abbiamo calcolato il momento angolare di una lastra piana che ruota attorno ad un asse ortogonale ad essa. Il momento angolare è direttamente proporzionale a omega e la costante di proporzionalità è il momento d'inerzia.

Corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso
Abbiamo calcolato l'energia cinetica e il momento angolare di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso. Usando il teorema di König, abbiamo visto che l'energia cinetica può essere espressa come la somma di due termini: i) l'energia cinetica di rotazione, con la stessa omega, attorno ad un asse passante per il centro di massa e parallelo al primo; ii) l'energia cinetica di una particella di massa M pari alla massa totale del corpo e che ruota attorno all'asse passante per 0. In termini di momento d'inerzia, questo implica che il momento d'inerzia può essere scritto come la somma del momento d'inerzia riferito all'asse passante per il CM più il prodotto di M per il quadrato della distanza del CM dall'asse passante per O. Questo risultato è noto come teorema di Steiner. Poi abbiamo visto che il momento angolare ha una componente lungo l'asse di rotazione, pari al prodotto di omega e del momento d'inerzia rispetto a quell'asse, ma può avere anche una componente perpendicolare all'asse di rotazione. Abbiamo visto l'esempio di un bilanciere costituito da due masse uguali agli estremi di un'asta rigida di massa trascurabile. Abbiamo calcolato il momento angolare nel caso in cui il bilanciere ruota attorno ad un asse perpendicolare all'asta e passante per il centro di massa e nel caso in cui ruota attorno ad un asse generico, non perpendicolare all'asta.

Assi principali d'inerzia
Ogni corpo ammette almeno tre assi indipendenti, detti assi principali d'inerzia, aventi la seguente proprietà: quando un corpo rigido ruota con velocità angolare omega attorno ad un suo asse principale d'inerzia il momento angolare del corpo è parallelo al vettore omega, essendo entrambi orientati lungo l'asse di rotazione. La costante di proporzionalità è il momento d'inerzia associato a quell'asse. Nel caso del bilanciere qualsiasi asse di rotazione perpendicolare all'asta che collega le masse è un asse principale d'inerzia. Ogni corpo ammette almeno tre assi principali d'inerzia.

Equazione del moto per la rotazione attorno ad un asse fisso
La derivata temporale del momento angolare è uguale alla somma dei momenti delle forze esterne. Scelto l'asse z coincidente con l'asse di rotazione fisso, l'equazione del moto si traduce in una equazione per la derivata del prodotto del momento d'inerzia per la velocità angolare, analoga alla II legge di Newton. Se il momento delle forze esterne è nullo il momento angolare si conserva. Abbiamo descritto cosa succede nel caso di una pattinatrice che ruota su se stessa allargando e stringendo le braccia.

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Pendolo fisico
Abbiamo scritto l'equazione del moto per un corpo rigido appeso nel campo di gravità in un punto diverso dal CM. Abbiamo visto che il corpo compie oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio, che coincide con la posizione in cui il CM si trova sulla verticale passante per il perno. Per piccole oscillazioni l'equazione del moto ha soluzioni armoniche con periodo che dipende dal momento d'inerzia.

Il momento d'inerzia di un righello
Abbiamo eseguito il seguente esperimento. Abbiamo preso un righello da 60 cm, provvisto di un foro in prossimità di un estremo, e l'abbiamo fatto oscillare come un pendolo. Abbiamo preso anche uno yo-yo, srotolato e fatto oscillare come un pendolo. Abbiamo aggiustato la lunghezza della corda dello yo-yo fino ad ottenere un'oscillazione avente lo stesso periodo di quella del righello, e abbiamo misurato la lunghezza della corda così ottenuta. Usando le espressioni per il periodo di un pendolo semplice e di un pendolo fisico, ed eguagliandole, abbiamo dedotto che il momento d'inerzia del righello è, a meno degli errori sperimentali, 1/3 del prodotto della massa del righello per il quadrato della sua lunghezza. Abbiamo verificato che questo risultato coincide con il valore del momento d'inerzia ottenuto eseguendo il calcolo esplicito a partire dalla definizione.

Esempi di momenti d'inerzia
Abbiamo calcolato il momento d'inerzia per vari corpi rigidi: asta (rispetto ad un estremo e rispetto al CM), anello, disco, cilindro e sfera. Abbiamo sottolineato l'analogia tra il momento d'inerzia e la massa, che esprimono l'inerzia di un corpo rispettivamente per le rotazioni e le traslazioni.

Pendolo di torsione
Un filo sottoposto a torsione tende a ritornare nella sua configurazione di equilibrio. Se al filo è appeso un corpo rigido, la rotazione viene trasmessa al corpo stesso tramite un momento di forze. Se il momento è proporzionale all'angolo di torsione, allora si ha un "pendolo di torsione".

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Energia dei pendoli
Abbiamo visto come si scrive l'energia meccanica di un pendolo fisico, somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale. L'equazione del moto del pendolo può essere ottenuta imponendo la conservazione dell'energia. Abbiamo anche definito l'energia potenziale di un pendolo di torsione.

Rotolamento di un corpo rigido
Abbiamo considerato una sfera o un cilindro che scendono rotolando lungo un piano inclinato. Abbiamo scritto le equazioni per la traslazione del CM e la rotazione rispetto al CM. Abbiamo aggiunto la condizione di puro rotolamento (accelerazione del CM uguale al raggio volte l'accelerazione angolare di rotazione). Combinando le tre equazioni si ottiene il valore della forza d'attrito (volvente) e l'accelerazione, entrambi dipendenti dal momento d'inerzia. Abbiamo visto che, rotolando sullo stesso piano, una sfera ha un'accelerazione maggiore rispetto ad un cilindro. Abbiamo visto come si può interpretare questo effetto in termini di conservazione dell'energia meccanica (l'attrito volvente non compie lavoro): l'energia potenziale si trasforma in parte in energia cinetica di traslazione e in parte in energia cinetica di rotazione. Nel caso particolare in cui l'inclinazione è di 90 gradi (caduta verticale), la condizione di rotolamento puro rappresenta il comportamento di uno yo-yo. Abbiamo calcolato l'accelerazione di caduta dello yo-yo nel caso in cui la corda si avvolga sulla parete esterna del disco, oppure su un cilindro interno di raggio minore. Nel caso dello yo-yo, inoltre, abbiamo discusso la non-conservazione della quantità di moto e la conservazione del momento angolare nell'urto a fine corsa.

Statica dei corpi rigidi
Un corpo rigido inizialmente in quiete si mantiene in quiete se la risultante delle forze esterne è nulla e se la somma dei momento delle forze esterne è nulla. Queste due equazioni esprimono le condizione per la statica di una corpo rigido generico.

Esercizio
Abbiamo studiato l'equilibrio di una trave orizzontale appoggiata su due perni ai suoi estremi (e con un uomo sulla trave).

Esercizi
(2 ore nel pomeriggio, Faccioli) Esercizi sui corpi rigidi.

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Giroscopi e trottole
Abbiamo visto cos'è un giroscopio. Abbiamo parlato di precessione e di nutazione. Abbiamo calcolato la velocità angolare di precessione nel caso di un giroscopio costituito da un cilindro in rapida rotazione sul proprio asse e soggetto alla forza di gravità. Abbiamo accennato al comportamento di una trottola e alla precessione dell'asse terrestre.

Esercizio
Urto elastico di un proiettile di massa m contro un'asta di massa M e lunghezza l, libera di ruotare attorno ad un asse fisso passante per il centro.

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Esercizio
Urto frontale elastico di due masse m1 e m2 su un piano orizzontale liscio. Calcolo delle velocità finali nell'ipotesi che una delle due sia inizialmente ferma. Stesso calcolo nel sistema del centro di massa. Studio di alcuni casi limite. Caso delle masse uguali. Caso di N masse uguali che si urtano in sequenza (pendolo di Newton).

Esercizio
Biglia che cade da ferma da un'altezza h. Il rimbalzo sul pavimento sia tale che ad ogni urto sia persa una frazione f di energia cinetica (urto anelastico). Calcolo del tempo necessario affinché la biglia si fermi.

Esercizio suggerito
Urto elastico di due masse uguali su un piano orizzontale liscio, di cui una inizialmente ferma. Dimostrare che le due masse escono dall'urto in direzioni tra loro perpendicolari.

Altri esercizi suggeriti: Es. 6.4 a pag.201 e Es. 6.6 a pag.207 di Dalba-Fornasini.

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