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  Indice
Esercizio 1
Date le matrici
calcolare, se possibile, i prodotti
Dimostrazione.
La matrice
![$ A$](img5.gif)
ha due righe e due colonne ovvero è una matrice
![$ 2 \times 2$](img6.gif)
,
mentre la matrice
![$ B$](img7.gif)
è una matrice
![$ 2 \times 3$](img8.gif)
. Poiché il numero di
colonne di
![$ A$](img5.gif)
è uguale al numero di righe di
![$ B$](img7.gif)
è definito il prodotto
![$ AB$](img9.gif)
.
La matrice
![$ AB$](img9.gif)
ha lo stesso numero di righe di
![$ A$](img5.gif)
e lo stesso numero di colonne di
![$ B$](img7.gif)
pertanto
![$ AB$](img9.gif)
è una matrice
![$ 2 \times 3$](img8.gif)
. Risulta inoltre
Il prodotto
![$ BA$](img14.gif)
non è definito perchè il numero di colonne della matrice
![$ B$](img7.gif)
è diverso dal numero di
righe della matrice
![$ A$](img5.gif)
.
Esercizio 2
Date le matrici
calcolare, se possibile, i prodotti
Dimostrazione.
La matrice
![$ A$](img5.gif)
è una matrice
![$ 3 \times 2$](img16.gif)
mentre la matrice
![$ B$](img7.gif)
è una matrice
![$ 2 \times 3$](img8.gif)
pertanto sono definiti entrambi i prodotti
![$ AB$](img9.gif)
e
![$ BA$](img14.gif)
. Inoltre
![$ AB$](img9.gif)
è una matrice
![$ 3 \times
3$](img17.gif)
mentre
![$ BA$](img14.gif)
è una matrice
![$ 2 \times 2$](img6.gif)
.
Risulta:
e
Esercizio 3
Date le matrici
verificare che
Dimostrazione.
Innanzitutto verifichiamo che i prodotti coinvolti nell'uguaglianza
siano definiti. Le matrici
![$ A$](img5.gif)
,
![$ B$](img7.gif)
,
![$ C$](img22.gif)
sono matrici
![$ 2 \times 3$](img8.gif)
,
![$ 3 \times 2$](img16.gif)
e
![$ 2 \times 2$](img6.gif)
rispettivamente. Sono definiti allora i prodotti
![$ BC$](img23.gif)
e
![$ AB$](img9.gif)
ed inoltre la matrice
![$ BC$](img23.gif)
è una
matrice
![$ 3 \times 2$](img16.gif)
mentre la matrice
![$ AB$](img9.gif)
è una matrice
![$ 2 \times 2$](img6.gif)
. Sono definiti così
anche i prodotti
![$ A(BC)$](img24.gif)
e
![$ (AB)C$](img25.gif)
e sono entrambi matrici
![$ 2 \times 2$](img6.gif)
.
Ora:
e
Infine:
e
Dimostrazione.
Sia
![$ A$](img5.gif)
una generica matrice
![$ 4 \times 4$](img32.gif)
che indichiamo con :
calcoliamo i prodotti
![$ AD$](img35.gif)
e
![$ DA$](img36.gif)
.
Risulta:
e
Supponiamo che gli elementi sulla diagonale della matrice
![$ D$](img30.gif)
siano tra loro tutti distinti.
Allora
![$ AD=DA$](img43.gif)
se e solo se
ovvero se e solo se
Poichè
![$ \lambda_i- \lambda_j \neq 0$](img46.gif)
la matrice
![$ A$](img5.gif)
commuta con la matrice
![$ D$](img30.gif)
se e solo se
![$ a_{ij}=0$](img47.gif)
per
![$ i \neq j$](img48.gif)
ovvero se e solo se
![$ A$](img5.gif)
è una matrice diagonale.
Se invece gli elementi sulla diagonale della matrice
sono fra loro uguali
allora ogni matrice
commuta con
.
Esercizio 5
Sia
![$ A$](img5.gif)
la matrice:
Calcolare la matrice
![$ A^n$](img50.gif)
, per ogni
![$ n$](img51.gif)
numero naturale.
Dimostrazione.
Calcoliamo le potenze
![$ A^2$](img52.gif)
,
![$ A^3$](img53.gif)
e
![$ A^4$](img54.gif)
.
Risulta:
Sulla base degli esempi visti affermiamo che
Per dimostrare l'affermazione procediamo per induzione su
![$ n$](img51.gif)
. Se
![$ n=1$](img59.gif)
l'uguaglianza è
banalmente verificata. Supponiamola vera per
![$ n$](img51.gif)
, ovvero supponiamo che
e dimostriamola per
![$ n+1$](img61.gif)
ovvero proviamo che
Risulta
Esercizio 6
Sia
![$ A$](img5.gif)
la matrice
Provare che
![$ A$](img5.gif)
è radice del polinomio
![$ p(x)=-x^3+5x^2-7x$](img65.gif)
, ovvero provare che
![$ p(A)$](img66.gif)
è la matrice nulla.
Dimostrazione.
Si tratta di provare che
è la matrice nulla.
Ora
mentre
Risulta allora:
Esercizio 7
Calcolare il determinante delle seguenti matrici:
Dimostrazione.
Per calcolare il determinante della matrice
![$ F$](img94.gif)
facciamo lo sviluppo di Laplace lungo la prima
riga.
Esercizio 8
Sia
![$ A$](img5.gif)
una matrice quadrata.
Supponiamo che
![$ A$](img5.gif)
sia nilpotente, ovvero che esista un naturale
![$ m$](img96.gif)
,
con
![$ m \geq 1$](img97.gif)
, tale che
![$ A^m$](img98.gif)
è la matrice nulla. Calcolare il determinante
di
![$ A$](img5.gif)
.
Dimostrazione.
Per ipotesi esiste un naturale
![$ m \geq 1$](img97.gif)
tale che
![$ A^m$](img98.gif)
è uguale alla matrice nulla. Allora
![$ \dete(A^m)=0$](img99.gif)
e, d'altra parte, per il teorema di Binet,
![$ \dete(A^m)=m \dete(A)$](img100.gif)
. Abbiamo allora
da cui segue
Esercizio 9
Si calcoli il rango delle seguenti matrici, al variare del parametro reale
![$ k$](img103.gif)
:
Dimostrazione.
Per calcolare il rango della matrice
riduciamola a gradino. Una possibile riduzione, operando sulle righe, è
Il rango della matrice ridotta è uguale al numero di righe non identicamente nulle e pertanto
è uguale, in questo caso, a
![$ 2$](img108.gif)
.
Per calcolare il rango della matrice
ne calcoliamo il determinante. Risulta
Per
![$ k \neq \pm 1$](img111.gif)
il determinante della matrice è non nullo e dunque il rango è uguale a
![$ 3$](img112.gif)
.
Se
![$ k=-1$](img113.gif)
la matrice diventa:
Si vede facilmente che la prima e la terza riga sono proporzionali, mentre un minore non nullo
di ordine
![$ 2$](img108.gif)
è, per esempio:
La matrice ha allora rango
![$ 2$](img108.gif)
.
Per
![$ k=1$](img116.gif)
la matrice diventa
La seconda e la terza riga sono multiple della prima, ne segue che il rango della matrice è
uguale a
![$ 1$](img118.gif)
.
Infine per calcolare il rango dell'ultima matrice riduciamola a gradino. Una possibile riduzione,
operando sulle righe, è:
Per ogni valore di
![$ k$](img103.gif)
la prima e la seconda riga della matrice ridotta non sono mai
identicamente nulle. La terza riga, invece, è identicamente nulla per
![$ k=2$](img121.gif)
. Ne segue che il
rango della matrice è
![$ 2$](img108.gif)
per
![$ k=2$](img121.gif)
e
![$ 3$](img112.gif)
per
![$ k \neq 2$](img122.gif)
.
Esercizio 10
Dire per quali valori del parametro reale
![$ k$](img103.gif)
la matrice
è invertibile e determinare la sua inversa.
Dimostrazione.
Una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo. Il
determinante della matrice
![$ A$](img5.gif)
è uguale a
sicchè per
![$ k \neq 0,2$](img125.gif)
la matrice
![$ A$](img5.gif)
è invertibile. Per determinare l'inversa consideriamo
la trasposta di
![$ A$](img5.gif)
:
di cui calcoliamo la matrice dei cofattori :
Risulta allora:
Esercizio 11
Dire per quali valori del parametro reale
![$ t$](img129.gif)
la matrice
è invertibile e determinare la sua inversa.
Dimostrazione.
Una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo. Il
determinante della matrice
![$ A$](img5.gif)
è uguale a
sicchè per
![$ t \neq -2,4$](img132.gif)
la matrice
![$ A$](img5.gif)
è invertibile.
Per determinare l'inversa consideriamo
la trasposta di
![$ A$](img5.gif)
:
La matrice dei cofattori è
sicchè
Esercizio 12
Siano
![$ A$](img5.gif)
,
![$ B$](img7.gif)
,
![$ C$](img22.gif)
matrici reali
![$ n \times n$](img136.gif)
. L'uguaglianza
implica che
![$ B=C$](img138.gif)
?
Dimostrazione.
L'uguaglianza
non implica che sia
![$ B=C$](img138.gif)
. Infatti basta prendere
![$ B$](img7.gif)
e
![$ C$](img22.gif)
due matrici
![$ n \times n$](img136.gif)
distinte e
![$ A$](img5.gif)
la matrice nulla.
Se però
è non singolare allora
è invertibile. Moltiplicando l'uguaglianza
per
a sinistra si trova
Esercizio 13
Siano
![$ A$](img5.gif)
e
![$ B$](img7.gif)
matrici reali
![$ n \times n$](img136.gif)
e sia
![$ A$](img5.gif)
invertibile. La matrice
prodotto
![$ AB$](img9.gif)
è invertibile?
Dimostrazione.
La matrice
![$ AB$](img9.gif)
in generale non è invertibile. Infatti se
![$ B$](img7.gif)
è la matrice nulla anche
![$ AB$](img9.gif)
è la matrice nulla.
Se però anche
è invertibile allora
La matrice
![$ AB$](img9.gif)
è non singolare e dunque invertibile. Risulta inoltre:
Esercizio 14
Determinare, se possibile, l'inversa della matrice
Dimostrazione.
Risulta
![$ \dete(A)=-12 \neq 0$](img145.gif)
dunque la matrice
![$ A$](img5.gif)
è invertibile .
Per determinare l'inversa di
consideriamo la matrice che si ottiene accostando ad
la
matrice identica:
Operando sulle righe di
![$ B$](img7.gif)
tramite operazioni elementari vogliamo ottenere una matrice
della forma
Si ha
La matrice
è l'inversa della matrice
![$ A$](img5.gif)
.
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Andreatta Marco
2000-09-18