Teorema (detto Formula dell'eccesso di Gauss):
In un triangolo sferico di angoli a, b, g vale la formula
 [(a+b+g) - p] r2  = area del triangolo.


Si osserva infatti (vedi figura) che vale la seguente identità:

Somma delle aree delle lune individuate dagli angoli a, b, g   è uguale a
area della sfera + 2 volte area del triangolo + 2 volte area del triangolo antipodale.

Ovvero, per la proposizione precedente,

4(a + b + g ) r2   =   4 p r2 + 4 area del triangolo.
 

Osservazioni.
 

  • Non vale dunque il quinto postulato di Euclide!

    • In particolare data una retta non esistono rette parallele alla retta data e non si può costruire un rettangolo (vedi figure).
     
  • L'esistenza di una curvatura nella superficie viene sfruttata positivamente dal teorema; in pratica il triangolo viene determinato unicamente dai suoi tre angoli (in geometria euclidea questo determina il triangolo a meno di similitudini).

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