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Sia C una curva liscia di genere 2 ed SU(2) lo spazio di moduli di fibrati vettoriali
su C semi-stabili di rango 2 a determinante banale. E' un risultato oramai classico
che SU(2) sia isomorfo a P^3 e che la frontiera semi-stabile sia una superficie di
Kummer immagine di Pic^1(C) in P^3. Le classi di estensione del fibrato canonico con
il fibrato anti-canonico sono parametrizzate da un P^4. Esiste quindi
una mappa razionale classificante P^4 ------> P^3. In questo seminario
descriverò il luogo delle estensioni strettamente semi-stabili invarianti
rispetto all'involuzione iperellittica come una superficie quartica nota
classicamente con il nome di superficie di Weddle. Poi studierò l'applicazione
classificante dimostrando come, scoppiando P^4 lungo una superficie cubica e P^4
in un punto si ottenga un fibrato in coniche su P^3. Concluderò parlando delle
deformazioni del fibrato proiettivo associato a questo fibrato in coniche e esponendo
una piccola congettura a riguardo. |
Ada Boralevi - Fibrati vettoriali omogenei su varietà di bandiera e rappresentazioni di Quivers |
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La categoria dei fibrati omogenei su una varietà di bandiera X=G/P,
G gruppo di Lie di tipo ADE è equivalente alla categoria delle rappresentazioni
finito-dimensionali di un certo quiver Q_X con relazioni associato alla varietà.
Tale equivalenza è stata introdotta da Bondal e Kapranov nel 1990, e poi approfondita da Hille (1994).
Nel caso speciale dove X è Hermitiana simmetrica, Ottaviani e Rubei (2005) si sono serviti di questa equivalenza per calcolare la coomologia dei fibrati vettoriali omogenei, generalizzando il ben noto Teorema di Bott (che vale solo per fibrati irriducibili).
Nel mio talk mostrerò cosa si può dire nel caso generale.
Mostrerò come calcolare le sezioni di un fibrato omogeneo su una qualsiasi varietà
X come sopra. Come applicazione si ottiene la semplicità dei fibrati tangenti su queste varietà,
e quindi la loro stabilità rispetto ad una particolare polarizzazione. |
Simone Busonero - Schemi di Picard compattificati e mappe di Abel per curve singolari |
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La mappa di Abel di grado d di una curva liscia X è un morfismo proiettivo
dal d-esimo prodotto simmetrico di X in Pic^dX, le cui fibre sono le serie lineari complete di grado d.
In una famiglia di curve non singolari, tale morfismo varia con continuità; da qui l'interesse
a studiare le degenerazioni di tali mappe per famiglie che si specializzano a curve singolari.
Recentemente, L.Caporaso ha mostrato come, usando i modelli di Nèron, si ottiene una
descrizione concreta di queste degenerazioni nel caso in cui il loro target è
uno schema di Picard compattificato di tipo Nèron. In questo seminario presenterò
un risultato riguardante l'esistenza di una mappa di Abel naturale quando
il target è uno schema di Picard compattificato degenere.
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Alessio del Padrone - Molteplicità in categorie tensoriali rigide semisemplici |
Bruno Kahn, in connessione con lo studio dei Motivi numerici e delle loro funzioni zeta,
ha introdotto una nozione astratta di " molteplicità '' per gli oggetti di una qualunque
categoria tensoriale rigida
semisemplice (ad esempio, la categoria dei Motivi di Grothendieck).
Kahn e Charles Weibel hanno posto alcune questioni su questa nuova nozione in ambito generale
(compatibilità
con la struttura tensoriale, relazione con la Schur-finitezza).
In questo seminario rispondiamo (negativamente) a queste domande lavorando nella
"categoria delle rappresentazioni
del gruppo simmetrico di S_t con t non intero" costruita da P. Deligne. |
Damiano Fulghesu - L'anello di intersezione dello stack di curve iperellittiche lisce
di genere pari |
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Grazie ad un risultato di Arsie e Vistoli, sappiamo che lo stack
delle curve iperellittiche lisce di genere pari è il quoziente di un
sottoinsieme aperto di una spazio affine per un'azione di GL2. Di
conseguenza il suo anello di intersezione è una Z-algebra generata da due
classi. In questo talk verrà descritto un naturale fibrato vettoriale
sullo stack le cui classi di Chern generano l'anello e verrà esplicitato
l'ideale delle relazioni.
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Alice Garbagnati - Automorfismi simplettici di superfici di Kummer |
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Uno dei motivi di interesse nei confronti degli automorfismi simplettici di superfici K3 è
che la desingolarizzazione del quoziente di una superficie K3 con un suo automorfismo simplettico,
di ordine finito, è ancora una superficie K3.
I gruppi finiti abeliani di automorfismi simplettici su superfici K3 sono stati classificati da Nikulin.
Nello stesso lavoro egli ha anche dimostrato che
l'azione indotta da questi gruppi sul secondo gruppo di coomologia della K3, \Lambda_{K3}, è
essenzialmente unica e ha calcolato il discriminante di
\Lambda_{K3}^G (sottoreticolo fissato per l'azione del gruppo G).
Intendo presentare degli esempi di superfici K3 (in particolare superfici di Kummer)
che ammettono alcuni di questi gruppi (abeliani finiti ma non ciclici) di
automorfismi simplettici. Grazie agli esempi è possibile descrivere esplicitamente
le isometrie che questi gruppi di automorfismi inducono su
\Lambda_{K3}.
In particolare tramite questi esempi si mostra che la tecnica utilizzata da Nikulin per calcolare
il discriminante del reticolo \Lambda_{K3}^G non è
corretta se il gruppo G non è ciclico.
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Elisa Gorla - Linkage di schemi definiti da minori o pfaffiani |
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Molte varietà studiate in geometria algebrica classica sono definite da minori o pfaffiani.
In questo seminario discuterò i risultati noti sulla classe di linkage di schemi definiti
da minori o pfaffiani, in particolare alcuni miei risultati recenti sul linkage di schemi
le cui equazioni sono date dai minori di una matrice con entrate polinomiali, o dai pfaffiani
di una matrice generica antisimmetrica.
I risultati sui pfaffiani sono ottenuti in collaborazione con E. De Negri (Università di Genova).
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Aaron Levin - Runge's method and the effective computation of integral points |
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We discuss some variations on the classical method of Runge for effectively computing
integral points on certain curves. In particular, we will expand the class of curves
to which Runge's method can be effectively applied. As a concrete example, we will discuss
the complete solution of some Diophantine equations involving (almost) squares
in arithmetic progressions. |
Matteo Longo - Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer per curve ellittiche su ring class
fields. |
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Sia E una curva ellittica di conduttore N definita sul campo Q
dei numeri razionali. Sia K/Q un'estensione quadratica immaginaria il cui
discriminante D sia primo con N ed indichiamo con H_c il ring class field
di K di conduttore l'intero positivo c primo con DN. Sia \chi un
carattere del gruppo di Galois G_c:=Gal(H_c/K) ed indico con E(H_c)^\chi il
\chi-autospazio del C[G_c]-modulo E(H_c)\otimes{C}. A K
e' associata la fattorizzazione N=N^+N^- dove un primo \ell divide N^+
(risepttivamente N^-) se e solo se \ell spezza (rispettivamente, e' inerte)
in K. Supponiamo che N^- sia prodotto di un numero dispari di primi
distinti. Questo implica che l'ordine di annullamento del twist L_K(E,\chi,s)
per il carattere \chi della funzione
L di E su K sia +1. Discuterò il seguente risultato: Se il valore
speciale di L_K(E,\chi,s) è non nullo, allora la dimensione del \mathbb
C-spazio vettoriale E(H_c)^\chi è zero. Questo risultato è ottenuto in
collaborazione con S. Vigni.
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Francesco Malaspina - Regolarità e Criteri di Spezzamento per Fibrati Vettoriali su
varietà proiettive |
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Un risultato classico di Horrocks caratterizza i fibrati vettoriali senza coomologia intermedia
su uno spazio proiettivo come somme dirette di fibrati lineari. Una dimostrazione molto
semplice di questo criterio usa la regolarità secondo Castelnuovo-Mumford.
E’ stato subito chiaro che questa definizione di regolarità era uno strumento fondamentale in
molte aree della geometria algebrica e dell’algebra commutativa. Diverse estensioni di questa
nozione sono stati proposti in differenti situazioni.
Nel seminario introdurremo opportune definizioni di regolarità su ipersuperfici quadriche,
spazi multiproiettivi e Grassmanniane di rette col fine di ottenere criteri di spezzamento per
fibrati vettoriali.
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Ernesto Mistretta - Fibrazioni isotriviali con \chi = 1. |
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L'obiettivo è una classificazione delle superfici di tipo generale
con \chi = 1 ottenute come
(desingolarizzazioni di) quozienti del prodotto
di due curve per l'azione diagonale di un gruppo finito.
Diamo alcune informazioni sulla classificazione
delle superfici con p_g = q > 1,
con i risultati di Beauville, Hacon-Pardini, Pirola,
e più recentemente Zucconi, Penegini.
Descriviamo piu' in dettaglio le costruzioni effettuate con F. Polizzi
nel caso p_g = q = 1.
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Filippo Morabito - Indice di Morse e dimensione del nucleo dell'operatore
di Jacobi delle superfici di Costa-Hoffman-Meeks. |
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S. Nayatani nel 1995 ha calcolato i valori dell'indice di Morse (il numero degli autovalori negativi)
e della dimensione del nucleo dell'operatore di Jacobi della superficie di Costa-Hoffman-Meeks
di genere k, M_k, con k appartenente a [1,...,37]. Tale risultato permette di provare che
M_k, per i suddetti valori di k, è non degenere. Tale proprietà é essenziale per poter costruire
nuovi esempi di superfici minime a partire da M_k mediante una tecnica di incollamento.
Lo stesso Nayatani congetturo' che il risultato da lui trovato continuasse a valere per k > 37.
Nel mio lavoro ho dimostrato la veridicità di tale congettura. La dimostrazione utilizza
la corrispondenza tra il nucleo dell'operatore di Jacobi e un opportuno spazio di forme differenziali
quadratiche definite sulla compattificazione di M_k privata di un numero
finito di punti.
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Fabio Nironi - Moduli di fasci semistabili su stack di Deligne-Mumford |
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Introduciamo una nozione di stabilità per fasci coerenti puri su
stack di Deligne Mumford proiettivi. Questo nuovo concetto di
stabilità riproduce la già nota stabilità per fasci twistati nel
caso di fasci su gerbe abeliane, e la nozione di stabilità
parabolica nel caso di fasci su curve orbifold. Dimostriamo che in
generale i fasci semistabili su uno stack di Deligne-Mumford
proiettivo formano uno stack algebrico di tipo finito; i fasci stabili
hanno uno spazio dei moduli che è uno schema quasi proiettivo e i
fasci semistabili producono una naturale compattificazione.
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Carla Novelli - Varietà proiettive di dimensione n che contengono uno spazio lineare di dimensione
>= [n/2] con fibrato normale nef |
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Sia X una varietà complessa liscia di dimensione 2s+1 immersa in uno spazio proiettivo e
sia \Lambda un sottospazio lineare di X di dimensione s.
Nel corso del seminario classificheremo X assumendo che il fibrato normale sia numericamente effettivo.
Questi risultati sono contenuti in un articolo in collaborazione con Gianluca Occhetta.
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Tommaso Pacini - Da K3 a G_2, a braccetto con Fano |
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Tra i gruppi d'olonomia possibili su una varietà Riemanniana compatta, il gruppo
G_2 è uno dei più difficili da realizzare. Kovalev ne ha dato una costruzione molto bella,
in parte algebrica (usando 3-varieta' di Fano e sup. K3), in parte analitica.
Rimane aperto il problema di come costruirvi dentro certe sottovarietà "speciali"
(dette "associative"), d'interesse geometrico/fisico.
Lo scopo del seminario è di introdurre questi argomenti e spiegare il ruolo dei
vari ingredienti, poi presentare una generalizzazione
(Corti-Haskins-Pacini) del lavoro di Kovalev che permette di costruire
anche le sottovarietà.
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Flavia Repetto - Un teorema tipo Barth-Lefschetz per sottovarietà lisce di un prodotto
di spazi proiettivi. |
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E' un risultato ben noto (come conseguenza di un teorema topologico
dovuto a Barth e Larsen) che se X è una sottovarietà liscia dello spazio
proiettivo P^N_C di dimensione d, allora la mappa di restrizione tra i gruppi
di Picard: Pic(P^N) ---> Pic(X) è un isomorfismo se N < 2d-1
ed è iniettiva con conucleo senza torsione se N=2d-1.
In questo seminario presenterò un risultato (parte di un lavoro con Lucian Bădescu)
riguardante il gruppo di Picard di una sottovarietà
liscia di codimensione "piccola" del prodotto di due spazi proiettivi,
migliorando alcuni risultati noti dovuti a Sommese.
Darò anche due esempi che mostrano che i risultati ottenuti sono ottimali.
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Luca Scala - Dualità Strana sul piano proiettivo e coomologia dello schema di Hilbert
di punti su una superfice a valori in rappresentazioni di fibrati tautologici |
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Motivati da un importante esempio della congettura della Dualità Strana di
Le Potier sul piano proiettivo,
in relazione col morfismo di Barth, studiamo fibrati tautologici sullo schema di Hilbert di n
punti su una superficie
per mezzo della corrispondenza di McKay derivata e della trasformata di Bridgeland-King-Reid.
Calcoliamo esplicitamente tale trasformata per un fibrato tautologico
in termini di un complesso S_n-equivariante C sul prodotto X^n;
caratterizziamo inoltre la trasformata di un prodotto tensoriale di fibrati tautologici in termini
della sequenza spettrale associata al prodotto tensoriale derivato del complesso C.
Lo studio degli invarianti di tale sequenza ci permette di ottenere l'immagine diretta derivata
per il morfismo di Hilbert-Chow
di un potenza tensoriale doppia di un fibrato tautologico, così come di una sua potenza esterna
qualsiasi. Le formule di Brion-Danila così ottenute permettono di calcolare facilmente
la coomologia dello schema di Hilbert a valori nella potenza tensoriale doppia e in una sua qualsiasi
potenza esterna. Tali risultati generalizzano dei risultati ottenuti precedentemente da Danila.
Discuteremo inoltre il lavoro
in corso sulle potenze simmetriche superiori di fibrati tautologici, utili ai fini della Dualità Strana.
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Jacopo Stoppa - K-stabilità di varietà polarizzate con curvatura scalare costante |
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Dimostriamo che una varietà polarizzata con una metrica di Kaehler di
curvatura scalare costante e con automorfismi discreti è K-stabile, come
previsto da un'osservazione di S. Donaldson.
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Valentino Tosatti - Degenerazioni di varietà Calabi-Yau |
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Siamo interessati al comportamento di
famiglie di metriche Kahleriane Ricci-piatte su una
varietà algebrica Calabi-Yau, quando la polarizzazione
degenera verso il bordo del cono ampio.
Nel caso in cui la classe limite abbia volume positivo,
le metriche covergono uniformemente sui compatti al
di fuori di una sottovarietà algebrica, ed il limite
è una metrica Ricci-piatta incompleta.
Questa degenerazione corrisponde ad una contrazione
birazionale, e la metrica limite è il pullback di
una metrica Ricci-piatta singolare sull'immagine
della contrazione, che è una varietà di Calabi-Yau
con singolarità canoniche.
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Dajano Tossici - Schemi in gruppo di ordine p^2 ed estensione di torsori |
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Sia R un anello di valutazione discreta di
caratteristica mista e K il suo campo delle frazioni. Consideriamo
il seguente problema. Sia X un R-schema fedelmente piatto e
supponiamo di avere un torsore Y_K --> X_K sotto un gruppo
astratto G. L'azione di G si estende alla chiusura normale Y
di X in Y_K. Ci si chiede se Y --> X ha una struttura di
torsore, sotto qualche schema in gruppo, che estenda quella di
Y_K --> X_K. Questo è ben noto essere
vero se la cardinalità di G è coprima con p, la caratteristica del campo residuo di
R. Nel seminario
consideremo il caso G= Z/pZ e G=Z/p^2Z, con X locale e
normale. Per G= Z/pZ una risposta positiva al problema, con X
di dimensione 1, è stata data ad esempio da Raynaud,
Green-Matignon, Henrio, Saidi. Nel nostro approccio risulta cruciale
la classificazione esplicita che daremo
degli R-schemi in gruppi isomorfi
sulla fibra generica a Z/p^nZ, n \le 2. Per n=1 era già
nota tale classificazione.
Il problema sopra enunciato emerge naturalmente nello studio locale
di azioni di gruppi che agiscono su R-schemi.
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