Geometria 8 febbraio. Tema A.

Rispondere, giustificando brevemente la risposta, ad almeno due delle prime quattro domande e risolvere il maggior numero degli esercizi seguenti.

Domande.

1. Dire se è vera la seguente affermazione.
   Se $(2,1,0)$ e $(3,0,2)$ sono due soluzioni di un sistema lineare omogeneo a tre incognite, allora anche (5,1,2) è una soluzione dello stesso sistema.

2. Siano $A,B$ due matrici quadrate. Da $AB=A$ segue $B=I$?

3. Siano $r,s,t$ tre rette in $R^3$ tali che $r$ ed $s$ sono complanari e $s$ e $t$ sono complanari. Allora:
   1) Le rette $r$ e $t$ sono complanari.
   2) Le rette $r$ e $t$ sono parallele.
   3) Le rette $r$ e $t$ sono sghembe.
   4) Possono verificarsi tutti e tre i casi.
4. Sia data un'applicazione lineare $g: R^4 \rightarrow R$, diversa dalla funzione nulla. È sempre vero che $\dimm \kker (g) =3$?

Esercizi.

1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del parametro reale $k$:

$$\begin{cases} 2x+y +kz = 1 \\ x+ky +3z = 2\\ 2x +y +z = k \\ \end{cases}$$

2) Discutere la diagonalizzabilità della seguente matrice

$$\left( \begin{matrix} 3 & -2 & 2\\ -5 & 6 & -5\\ -6 & 6 & -5 \end{matrix} \right )$$

e trovare, se possibile, una base di autovettori.

3) Sia $\pi$ il piano che contiene la retta

$$r: \;\begin{cases} x+y+2z=1\\ y-z=2 \end{cases}$$

e passante per il punto $P=(-4,1,2)$.
Siano $s$ la retta perpendicolare a $\pi$ passante per $Q=(1,0,1)$ e $t$ la retta parallela ad $r$ passante per $R=(4,2,3)$.
Si dica se $r$, $s$ e $t$ sono a due a due complanari, motivando la risposta.

4) Siano

$$A=\left( \begin{matrix} -1 & 1 & 0\\ 2 & k & 1\\ 3 & 2 & -1 \... ...{matrix} 3 & 1-k & -1\\ -3 & -1-k & 1\\ 3 & 1 & 1\\ \end{matrix}\right)$$

le matrici che rappresentano rispettivamente le applicazioni lineari $f$ e $g$, con $f, g: R^3 \rightarrow R^3$.
Determinare, se esistono, i valori di $k$ per i quali $\kker (f) =\kker (g)= \{ 0 \}$.
Per $k=0$ scrivere la matrice di $f \circ g$ e dire se tale applicazione è iniettiva o suriettiva.

Soluzione

Domande

1. La risposta è sì. Infatti la somma di soluzioni di un sistema omogeneo è ancora soluzione.
2. La risposta è no. Per esempio se
   $$A=\left( \begin{matrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{matrix}\right) \quad B=\left( \begin{matrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{matrix}\right)$$
   allora $AB=A$ ma $B$ non è la matrice identità.

3. Possono verificarsi tutti e tre i casi.

4. La risposta è sì. Infatti se la applicazione $g$ è suriettiva, pertanto
   $\dimm \kker (g) =3$.

Esercizio 1.
La matrice associata al sistema è la matrice:

$$(A \vert B)=\left( \begin{matrix} 2 & 1 & k & 1\\ 1& k & 3 &2\\ 2& 1 & 1 & k \end{matrix}\right)$$

Una possibile riduzione a gradino è

$$\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 1 & k\\ 1& k & 3 &2\\ 2& 1 & k ... ...rix} 2 & 1 & 1 & k\\ 0& 1-2k & -5& k-4\\ 0&0& k-1& 1-k \end{matrix}\right)$$

Per $k=\frac{1}{2}$ non esistono soluzioni del sistema.
Per $k=1$ il sistema dato è equivalente al sistema

$$\begin{cases} 2x+y+z=1 \\ y+5z=3 \end{cases}$$

che ammette infinite soluzioni:

$$x =2t-1$$

$$y =3-5t$$

$$z =t \quad t \in R.$$

Se $k \neq 1,\frac{1}{2}$ esiste una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione è

$$x = \frac{-2k^2-2k+10}{1-2k} \quad y= \frac{k-9}{1-2k} \quad z= -1$$

Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :

$$p(\lambda)= ( \lambda-1)^2(2-\lambda)$$

dunque gli autovalori sono $\lambda_1=1$ con molteplicità algebrica $2$ e $\lambda_2=2$ con molteplicità algebrica $1$.
L'autospazio relativo all'autovalore $1$ è

$$V_1 = \kker (A-I)= \kker \left ( \begin{matrix}2 &-2 & 2 \\ -5 &5 &-5... ...} \right ),\; \left ( \begin{matrix}0 \\ 1\\ 1 \end{matrix} \right ) \right \}.$$

L'autospazio relativo all'autovalore $2$ è

$$V_{2} = \kker (A-2I)= \kker \left ( \begin{matrix}1 &-2 & 2 \\ -5 &4 &-... ...pan \left \{ \left( \begin{matrix}-2 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} \right ) \right \}.$$

Concludiamo che la matrice è diagonalizzabile e una base di autovettori è data

$$\mathcal{B}= \left \{ \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{... ...ht ),\; \left ( \begin{matrix} -2 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}\right ) \right \}$$

Esercizio 3.
Il punto $P=(-4,1,2)$ appartiene al piano $x+y+2z=1$ pertanto questa è l'equazione cartesiana di $\pi$.
La retta $s$ ha parametri direttori:

$$(l,m,n)=(1,1,2)$$

e passa per il punto $Q=(1,0,1)$. Le sue equazioni parametriche sono:

$$s:\;\begin{cases} x=1+t\\ y=t\\ z=1+2t \end{cases}$$

Le sue equazioni cartesiane si ottengono eliminando il parametro. Risulta:

$$s:\;\begin{cases} x-y=1\\ -2y+z=1 \end{cases}$$

La retta $t$ è parallela alla retta $r$ e passa per il punto $Q=(4,2,3)$ pertanto ha equazioni parametriche

$$t:\;\begin{cases} x=4-3t\\ y=2+t\\ z=3+t. \end{cases}$$

Le sue equazioni cartesiane si ootengono eliminando il parametro e risulta:

$$t:\;\begin{cases} x+3y=10\\ -y+z=1 \end{cases}$$

Le rette $r$ e $t$ sono parallele e dunque complanari. Le rette $r$ e $s$ sono sghembe così come le rette $s$ e $t$. Infatti le matrici:

$$\left( \begin{matrix} 1& 1& 2&-1\\ 0& 1& -1&-2\\ 1& -1& 0&-1\... ...& -1& 0&-1\\ 0& -2& 1&-1\\ 1& 3& 0&-10\\ 0& -1& 1&-1 \end{matrix}\right)$$

hanno entrambe rango quattro.
Esercizio 4.
Il nucleo della applicazione $f$ si determina risolvendo il sistema

$$\begin{cases} -x+y=0 \\ 2x+ky+z=0\\ 3x-2y-z=0 \end{cases}$$

Si ottiene che l'applicazione $f$ è iniettiva per $k \neq -7$, mentre per $k=-7$ risulta

$$\kker(f)= \sppan \left \{ \left (\begin{matrix} 1\\ 1\\ 5 \end{matrix}\ \right) \right \}$$

Il nucleo della applicazione $g$ si determina risolvendo il sistema

$$\begin{cases} 3x+(1-k)y-z=0 \\ 3x+(1+k)y-z=0\\ 3x+y+z=0 \end{cases}$$

Si ottiene che l'applicazione $g$ è iniettiva per $k \neq 0$, mentre per $k=0$ risulta

$$\kker(g)= \sppan \left \{ \left (\begin{matrix} -1\\ 3\\ 0 \end{matrix}\ \right) \right \}$$

Ne segue che $\kker (f) =\kker (g)= \{ 0 \}$ per $k \neq 0,-7$.
Per $k=0$ la applicazione $g$ non è iniettiva. Sia allora $v \in \kker(g)$, risulta

$$(f \circ g)(v)=f(g(v))=f(0)=0,$$

pertanto l'applicazione $f \circ g$ non è iniettiva e dunque, essendo un endomorfismo, non è neanche suriettiva. Infine la matrice di $f \circ g$ è :

$$M(f \circ g)= M(f) \cdot M(g)=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0\\ 9 & 3 &-1\\ 12 & 4 &-6 \end{matrix}\right).$$