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Esercizio 69
Determinare gli autovalori di una matrice quadrata triangolare superiore.
Dimostrazione.
Sia
una matrice
![$ n \times n$](img136.gif)
triangolare superiore.
Il polinomio caratteristico di
è il determinante di
Poichè
![$ A-xI$](img868.gif)
è ancora una matrice triangolare superiore il suo determinante
è il prodotto degli
elementi sulla diagonale principale, ovvero:
Gli autovalori di
![$ A$](img5.gif)
sono le radici di
![$ p(x)$](img870.gif)
ovvero gli elementi sulla
sua diagonale principale:
Allo stesso risultato si perviene se la matrice è diagonale inferiore ovvero della forma
Esercizio 70
Sia
![$ f$](img532.gif)
l'endomorfismo di
![$ R^3$](img252.gif)
tale che
![$ f(1,2,1)=(1,3,3)$](img873.gif)
,
![$ (1,1,0) \in
\kker{(f)}$](img874.gif)
e
![$ (0,1,2)$](img875.gif)
è un
autovettore relativo all'autovalore
![$ 1$](img118.gif)
. Discutere la diagonalizzabilità di
![$ f$](img532.gif)
.
Dimostrazione.
I vettori
![$ v_1=(1,2,1)$](img876.gif)
,
![$ v_2=(1,1,0)$](img877.gif)
e
![$ v_3=(0,1,2)$](img878.gif)
formano una base di
![$ R^3$](img252.gif)
. Inoltre si ha
Scegliendo la base
![$ \mathcal{B}=\{ v_1,v_2,v_3\}$](img410.gif)
nel dominio e nel codominio la
matrice associata ad
![$ f$](img532.gif)
è :
La matrice
![$ A$](img5.gif)
è triangolare inferiore sicchè i suoi autovalori sono gli
elementi sulla diagonale principale. Segue che
![$ A$](img5.gif)
ammette l'autovalore
![$ 1$](img118.gif)
con
molteplicità algebrica
![$ 2$](img108.gif)
e l'autovalore 0 con molteplicità algebrica
![$ 1$](img118.gif)
.
Il vettore
è un autovettore relativo all'autovalore 0 sicchè
il relativo autospazio,
, è generato da
:
Il vettore
è un autovettore relativo all'autovalore
. D'altra parte
l'autospazio,
, relativo all'autovettore
è il nucleo di
.
Ora
e la matrice
![$ A-I$](img884.gif)
ha rango due sicchè il suo nucleo ha dimensione
![$ 1$](img118.gif)
.
Segue che
e pertanto
![$ f$](img532.gif)
non è diagonalizzabile.
Esercizio 71
Sia
![$ A$](img5.gif)
la matrice:
- Determinare autovalori e autospazi di
.
- Determinare, se possibile, una base di autovettori.
Verificare che la matrice è radice del suo polinomio caratteristico.
Dimostrazione.
La matrice
![$ A$](img5.gif)
è triangolare inferiore sicchè i suoi autovalori sono gli
elementi sulla diagonale principale.
La matrice
ammette allora l'autovalore
con molteplicità algebrica
e
l'autovalore
con molteplicità algebrica
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è il nucleo della matrice :
ovvero
Poichè la dimensione di
![$ V_1$](img883.gif)
è
![$ 2$](img108.gif)
(e la dimensione di
![$ V_2$](img893.gif)
è
necessariamente
![$ 1$](img118.gif)
) possiamo dedurre che
![$ A$](img5.gif)
è diagonalizzabile.
Infine l'autospazio relativo all'autovalore
è il nucleo della matrice
e pertanto
Infine una base di autovettori si ottiene come unione delle basi dei due autospazi:
Esercizio 72
Date le matrici:
- Determinare autovalori e autospazi di
e
rispettivamente.
- Determinare, se possibile, una base di autovettori.
Dimostrazione.
Il polinomio caratteristico della matrice
![$ A$](img5.gif)
è:
sicchè la matrice
![$ A$](img5.gif)
ammette l'autovalore
![$ -2$](img902.gif)
con molteplicità algebrica
![$ 2$](img108.gif)
e
l'autovalore
![$ 4$](img840.gif)
con molteplicità algebrica
![$ 1$](img118.gif)
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è il nucleo di
ovvero
Poichè
![$ V_{-2}$](img908.gif)
ha dimensione
![$ 2$](img108.gif)
la matrice è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore
è il nucleo di
pertanto
Infine una base di
![$ R^3$](img252.gif)
formata da autovettori di
![$ A$](img5.gif)
è, per esempio, l'insieme:
Il polinomio caratteristico della matrice
è:
sicchè anche la matrice
![$ B$](img7.gif)
ammette l'autovalore
![$ -2$](img902.gif)
con molteplicità algebrica
![$ 2$](img108.gif)
e
l'autovalore
![$ 4$](img840.gif)
con molteplicità algebrica
![$ 1$](img118.gif)
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è il nucleo della matrice
che, ridotta a gradino, diventa:
Ne segue che
La matrice
![$ B$](img7.gif)
non è quindi diagonalizzabile perchè la dimensione di
![$ V_{-2}$](img908.gif)
è
![$ 1$](img118.gif)
.
Infine determiniamo l'autospazio relativo all'autovalore
. Si tratta di determinare il nucleo
della matrice:
che, ridotta a gradino, diventa:
L'autospazio relativo a
![$ 4$](img840.gif)
è allora il sottospazio:
Infine poichè
![$ B$](img7.gif)
non è diagonalizzabile non si può determinare una base di
![$ R^3$](img252.gif)
formata da autovettori di
![$ B$](img7.gif)
.
Esercizio 73
Sia
![$ \{v_1,v_2,v_3 \}$](img387.gif)
una base di
![$ R^3$](img252.gif)
e sia
![$ f: R^3 \rightarrow R^3$](img526.gif)
l'endomorfismo definito da:
Determinare autovalori e autospazi di
![$ f$](img532.gif)
. Determinare, se possibile, una base
di autovettori. Verificare che autovettori relativi ad autovalori distinti sono
tra loro ortogonali.
Dimostrazione.
La matrice di
![$ f$](img532.gif)
ripsetto alla base
![$ \mathcal{B}=\{ v_1,v_2,v_3\}$](img410.gif)
è la matrice
e il suo polinomio caratteristico è
Poichè si tratta di una matrice
![$ 3 \times
3$](img17.gif)
con tre autovalori distinti è sicuramente
diagonalizzabile.
Determiniamo ora gli autospazi di
. Si ha:
e
Una base di
![$ R^3$](img252.gif)
costituita da autovettori di
![$ A$](img5.gif)
è :
Infine verifichiamo che autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali, ovvero che
il loro prodotto scalare è nullo.
Abbiamo
per ogni
![$ a, b, c \in R$](img943.gif)
.
Esercizio 74
Mostrare che un endomorfismo
![$ f: V \rightarrow V$](img944.gif)
ha come autovalore 0 se e solo se
![$ f$](img532.gif)
non è iniettivo.
Dimostrazione.
Se
![$ f$](img532.gif)
ha come autovalore 0 allora, per definizione, esiste un vettore
![$ v$](img430.gif)
non nullo tale che
pertanto
![$ \langle v \rangle \subseteq \kker(f)$](img946.gif)
.
D'altra parte questo implica che
non è iniettivo perchè per ogni
e
![$ v+w \neq w$](img949.gif)
.
Viceversa se
non è iniettivo allora esistono
con
e
![$ v \neq w$](img952.gif)
. Posto
![$ u=v-w$](img953.gif)
, il vettore
![$ u$](img954.gif)
è non nullo e
sicchè
![$ f$](img532.gif)
ammette l'autovalore 0.
Esercizio 75
Siano
![$ A$](img5.gif)
e
![$ B$](img7.gif)
due matrici quadrate
![$ n \times n$](img136.gif)
. Provare che
![$ AB$](img9.gif)
e
![$ BA$](img14.gif)
hanno
gli stessi autovalori.
Dimostrazione.
Supponiamo che
![$ AB$](img9.gif)
ammetta l'autovalore 0. Questo significa che esiste un
vettore non nullo
![$ v \in R^n$](img956.gif)
tale che
In altre parole esiste una soluzione non banale del sistema omogeneo
D'altra parte il sistema appena scritto ha soluzioni non banali se e solo se
Ora
sicchè anche il determinante di
![$ BA$](img14.gif)
è nullo. Questo significa che anche il
sistema
ammette soluzioni non banali ovvero che 0 è un autovalore di
![$ BA$](img14.gif)
.
Supponiamo adesso che la matrice
ammetta un autovalore
non
nullo. Allora esiste
non nullo tale che
Sia
![$ w$](img451.gif)
il vettore
![$ B(v)$](img963.gif)
. Risulta:
Per poter concludere che
![$ w$](img451.gif)
è un autovettore di
![$ BA$](img14.gif)
relativo all'autovalore
![$ \lambda$](img304.gif)
rimane
solo da provare che
![$ w$](img451.gif)
non è il vettore nullo.
D'altra parte se fosse
avremmo
mentre abbiamo per ipotesi che
![$ AB(v)= \lambda v \neq 0$](img967.gif)
.
Abbiamo quindi provato che ogni autovalore di
è autovalore anche di
. Con
ragionamento analogo si prova che ogni autovalore di
è autovalore di
.
Esercizio 76
Sia
![$ M$](img968.gif)
la matrice:
con
![$ A_1$](img970.gif)
e
![$ A_2$](img971.gif)
matrici quadrate. Mostrare che il polinomio caratteristico di
![$ M$](img968.gif)
è il prodotto dei polinomi caratteristici di
![$ A_1$](img970.gif)
e
![$ A_2$](img971.gif)
.
Dimostrazione.
Osserviamo innanzitutto che la matrice
![$ M$](img968.gif)
deve essere una matrice quadrata
![$ 2n \times 2n$](img972.gif)
.
Il polinomio caratteristico di
è:
D'altra parte la matrice identità
![$ 2n \times 2n$](img972.gif)
si può guardare come una matrice a blocchi:
dove
![$ I_1$](img975.gif)
e
![$ I_2$](img976.gif)
sono matrici identità
![$ n \times n$](img136.gif)
.
Allora
Esercizio 77
Determinare per quali valori del parametro reale
![$ k$](img103.gif)
la matrice
è diagonalizzabile. Determinare, se possibile, una base di autovettori.
Dimostrazione.
La matrice è triangolare superiore quindi gli autovalori sono tutti e soli gli elementi sulla
diagonale principale:
Per
![$ k \neq 2,3$](img219.gif)
gli autovalori sono tutti distinti sicchè la matrice è diagonalizzabile.
Inoltre
e
Notiamo che nel determinare gli autospazi abbiamo usato l'ipotesi che
![$ k$](img103.gif)
fosse diverso da
![$ 2$](img108.gif)
e
![$ 3$](img112.gif)
.
Una base di autovettori è
Esaminiamo ora i casi
![$ k=2$](img121.gif)
e
![$ k=3$](img222.gif)
.
Per
la matrice
diventa:
Per verificare che sia diagonalizzabile basta verificare se la dimensione dell'autospazio
relativo a
![$ 2$](img108.gif)
è uguale a
![$ 2$](img108.gif)
.
Ora:
Segue che
![$ \dimm(V_2)=2$](img1000.gif)
e
![$ A$](img5.gif)
è diagonalizzabile.
Una base di autovettori è :
Infine per
la matrice
diventa:
Di nuovo guardiamo all'autospazio relativo a
![$ 2$](img108.gif)
:
dunque
![$ A$](img5.gif)
è diagonalizzabile e una base di autovettori è:
Notiamo che gli autovalori per
![$ k=2,3$](img1007.gif)
sono
![$ 2$](img108.gif)
e
![$ 3$](img112.gif)
.
Esercizio 78
Sia
![$ f: R^3 \rightarrow R^3$](img526.gif)
l'endomorfismo definito da:
Determinare autovalori e autovettori di
![$ f$](img532.gif)
. Determinare, se possibile, una base
di autovettori.
Dimostrazione.
La matrice di
![$ f$](img532.gif)
rispetto alla base canonica è;
Il polinomio caratteristico di
![$ A$](img5.gif)
è
Gli autovalori di
![$ A$](img5.gif)
sono
![$ x_1=6$](img1011.gif)
con molteplicità algebrica
![$ 1$](img118.gif)
e
![$ x_2=2$](img1012.gif)
con
molteplicità
algebrica
![$ 2$](img108.gif)
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è:
Poichè
![$ \dim(V_2)=2$](img1016.gif)
la matrice è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore
è:
Infine una base di
![$ R^3$](img252.gif)
costituita da autovettori di
![$ A$](img5.gif)
è l'insieme:
Esercizio 79
Date le matrici
determinare, se possibile, due matrici
![$ P_1$](img762.gif)
e
![$ P_2$](img772.gif)
tali che
![$ P_1^{-1}AP_1$](img1024.gif)
e
![$ P_2^{-1}BP_2$](img1025.gif)
siano matrici diagonali.
Dimostrazione.
Una matrice
![$ M$](img968.gif)
quadrata di ordine
![$ n$](img51.gif)
, è diagonalizzabile se e solo se esiste una matrice
![$ P$](img724.gif)
invertibile tale che
sia una matrice diagonale.
Se
sono
autovettori di
linearmente indipendenti, la matrice
le cui
colonne sono i vettori
,
, è invertibile e
è una matrice
diagonale.
Consideriamo ora la matrice
. Il suo polinomio caratteristico è:
sicchè i suoi autovalori sono
![$ x_1=1$](img1032.gif)
con molteplicità algebrica
![$ 1$](img118.gif)
e
![$ x_2=3$](img1033.gif)
con molteplicità algebrica
![$ 2$](img108.gif)
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è il sottospazio:
L'autospazio relativo all'autovalore
![$ 1$](img118.gif)
è, invece, il sottospazio:
Una base di
![$ R^3$](img252.gif)
formata da autovettori di
![$ A$](img5.gif)
è l'insieme:
e la matrice
è tale che
La matrice
![$ B$](img7.gif)
ammette l'unico autovalore
![$ 1$](img118.gif)
con molteplicità algebrica
![$ 3$](img112.gif)
.
D'altra parte non è diagonalizzabile infatti l'autospazio relativo ad
è:
Poichè
![$ \dimm(V_1)=2$](img1046.gif)
non si può determinare una base di
![$ R^3$](img252.gif)
costituita da autovettori di
![$ B$](img7.gif)
e dunque non si può determinare una matrice
![$ P_2$](img772.gif)
tale che
![$ P_2^{-1}BP_2$](img1025.gif)
sia una matrice diagonale.
Esercizio 80
Sia
![$ M$](img968.gif)
una matrice quadrata e simmetrica con un solo autovalore
![$ \lambda$](img304.gif)
.
Provare che
![$ M$](img968.gif)
coincide con la matrice
![$ \lambda \cdot I$](img1047.gif)
, dove
![$ I$](img1048.gif)
è la
matrice identità.
Dimostrazione.
La matrice
![$ M$](img968.gif)
è simmetrica e dunque diagonalizzabile. Inoltre
![$ M$](img968.gif)
ha il solo
autovalore
![$ \lambda$](img304.gif)
, e quindi è simile alla matrice
![$ \lambda I$](img1049.gif)
.
Esiste allora un
matrice invertibile
tale che:
Moltiplicando l'uguaglianza appena scritta a sinistra per
![$ P$](img724.gif)
otteniamo:
Moltiplicando quest'ultima a destra per
![$ P^{-1}$](img1052.gif)
otteniamo:
ovvero che
![$ M$](img968.gif)
è una matrice diagonale.
Compiti di Esame
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Andreatta Marco
2000-09-18