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Rispondere, giustificando brevemente la risposta, ad almeno due delle
prime quattro domande e risolvere il maggior numero degli esercizi seguenti.
Domande.
- Sia
una matrice quadrata . Quale delle seguenti affermazioni è
corretta:
- Il determinante di
è nullo se due colonne sono uguali.
- Il determinante di
non cambia se si scambiano tra loro la prima riga
con la seconda riga.
- Dire se è vera la seguente affermazione.
Una matrice quadrata di ordine tre il cui polinomio caratteristico è:
è necessariamente diagonalizzabile?
- Siano
e
due piani tali che
. È possibile trovare una retta che abbia in comune con
un solo
punto e non tagli
?
- Siano
,
applicazioni lineari iniettive. È vero che
è iniettiva?
Esercizi.
1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del
parametro reale
:
2) Discutere la diagonalizzabilità della seguente matrice
e trovare, se possibile, una base di autovettori.
3) Siano
il piano che contiene la retta
ed è ortogonale alla retta:
e
. Si trovi il punto
simmetrico di
rispetto a
.
4) Scrivere la matrice rispetto alle basi canoniche di
e
dell'applicazione lineare
tale che
dove
è un parametro reale.
Determinare
i sottospazi
e
e le loro dimensioni al variare di
.
Soluzione
Domande
- La prima affermazione è vera. Infatti sia
la matrice che si ottiene
da
scambiando le due colonne uguali.
In virtù di quetsa operazione elementare risulta
, ma
essendo anche
vale
. L'unica possibilità
è che sia
.
La seconda affermazione è invece falsa. Sia infatti
la matrice con le
righe scambiate, vale
.
- La affermazione è falsa. Essendo
la matrice ha un solo autovalore,
, con molteplicità algebrica
. Pertanto è
diagonalizzabile se e solo se la molteplicità geometrica, ovvero la dimensione
dell'autospazio è uguale a
.
- La risposta è no. Infatti dal fatto che
segue che i
piani sono distinti e paralleli. Ogni retta che incide
incide anche
e viceversa.
- La risposta è sì. Infatti
Poiché
è iniettiva segue che
e dunque
per l'iniettività di
.
Esercizio 1.
La matrice associata al sistema è la matrice:
Riducendo a gradino si ottiene la matrice
pertanto per
il sistema ammette una unica soluzione.
La soluzione è
Per
il sistema non ha soluzioni.
Per
il sistema dato è equivalente al sistema:
che ammette infinite soluzioni. Una soluzione particolare si trova ponendo ad esempio
e risulta allora
e
.
Le soluzioni del sistema omogeneo associato sono il sottospazio:
Ne segue che le soluzioni del sistema per
sono
Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :
dunque gli autovalori sono
con molteplicità algebrica
e
con molteplicità algebrica
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
che si determina risolvendo il sistema
Risulta allora
Ne deduciamo che la matrice è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
e si determina risolvendo il sistema
Risulta allora
Una base di autovettori è data dall'insieme
Esercizio 3.
Il piano
deve essere ortogonale alla retta
che ha vettore direttore
.
Dunque la sua equazione cartesiana sarà della forma
Sostituendo le equazioni di
si trova
da cui
.
La retta passante per
e ortogonale al piano è
La distanza di
da
è uguale a
pertanto si impone
che equivale a
Per
si ottiene il punto
mentre per
si ottengono le coordinate
del punto
:
Esercizio 4.
Risulta
La matrice della applicazione
rispetto alle basi canoniche è:
Per
si ha che la dimensione dell'immagine di
è uguale al rango di
ed
è uguale
. Il nucleo di
è il sottospazio:
Per
risulta
e
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Andreatta Marco
2000-09-18