Geometria 30 marzo 1999. Tema A.

Rispondere, giustificando brevemente la risposta, ad almeno due delle prime quattro domande e risolvere il maggior numero degli esercizi seguenti.

Domande.

1. Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate . Dimostrare o trovare un controesempio alla seguente identità:
   $$\dete(A+B)= \dete(A)+ \dete(B).$$

2. Dire se è vera la seguente affermazione.
   Una matrice quadrata di ordine tre il cui polinomio caratteristico è:
   $$x^3-x$$
   è necessariamente diagonalizzabile?

3. Siano $\pi$ un piano in $R^3$, $r$ e $s$ due rette tali che $d(r,\pi)=2=d(s,\pi)$. Quale delle seguenti affermazioni è vera:
   1. Le rette $r$ e $s$ sono incidenti.
   2. Le rette $r$ e $s$ sono parallele.
   3. Le rette $r$ e $s$ sono sghembe.
   4. Possono verificarsi tutti e tre i casi.
4. Siano $f$, $g$ applicazioni lineari da $R^3$ in $R^3$. Risulta sempre vero che $f \circ g= g \circ f$?
   È vero se $f$ è l'applicazione nulla?

Esercizi.

1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del parametro reale $k$:

$$\begin{cases} 3x+y +kz = k \\ x+2y +2z = 2 \\ 2x +ky +z = 1 \end{cases}$$

2) Discutere la diagonalizzabilità della seguente matrice

$$\left( \begin{matrix} 3&2&-2\\ 2&3&-2\\ 2&2&-1 \end{matrix} \right )$$

e trovare, se possibile, una base di autovettori.

3) Siano $\pi$ il piano che contiene la retta

$$r: \;\begin{cases} x=2\\ y=5+t\\ z=2+2t \end{cases}$$

ed è ortogonale alla retta:

$$s: \;\begin{cases} x+y=2\\ y+2z=1 \end{cases}$$

e $P=(2,2,1)$. Si trovi il punto $P'$ simmetrico di $P$ rispetto a $\pi$.

4) Scrivere la matrice rispetto alle basi canoniche di $R^3$ e $R^4$ dell'applicazione lineare $f:\;R^4 \rightarrow R^3$ tale che

$$f(1,0,0,0)=(3,1,0) f(0,-1,0,0)=(0,1,1)$$

$$f(0,0,1,1)=(0,k,0) f(0,0,0,2)=(0,0,0)$$

dove $k$ è un parametro reale. Determinare i sottospazi $\kker f$ e $\imm f$ e le loro dimensioni al variare di $k$.

Soluzione

Domande

1. La affermazione è falsa. Si ha per esempio
   $$\dete \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right) + \dete \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)=0$$
   mentre
   $$\dete \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)=1$$

2. La affermazione è vera. Infatti in questo caso la matrice ha tre autovalori distinti: 0, $1$, $-1$.

3. Possono verificarsi tutti e tre i casi.
4. La risposta è no. Per esempio se $f(x,y,z)=(x,0,0)$ e $g(x,y,z)=(z,0,0)$ si ha $(f \circ g)(x,y,z)=(z,0,0)$ mentre $(g \circ f)(x,y,z)=(0,0,0)$.
   Se $f$ è l'applicazione nulla allora $f \circ g= g \circ f=0$ perchè per ogni applicazione lineare $g$ risulta $g(0)=0$.

Esercizio 1.
La matrice dei coefficienti del sistema è la matrice:

$$A=\left( \begin{matrix} 3 & 1 & k \\ 1& 2 & 2\\ 2& k & 1 \end{matrix}\right)$$

Il determinante della matrice $A$ è

$$\dete(A)=(k-1)(k-9)$$

pertanto per $k \neq 1,9$ il sistema ammette una unica soluzione. La soluzione è

$$x = 0 \quad y= 0 \quad z= 1$$

Per $k=1$ esistono infinite soluzioni :

$$x =0$$

$$y =1-t$$

$$z =t \quad t \in R.$$

Per $k=9$ il sistema ammette di nuovo infinite soluzioni :

$$x = \frac{16}{5}- \frac{16t}{5}$$

$$y =\frac{3t}{5}- \frac{3}{5}$$

$$z =t \quad t \in R.$$

Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :

$$p(\lambda)=(3- \lambda) (1-\lambda)^2$$

dunque gli autovalori sono $\lambda_1=1$ con molteplicità algebrica $2$ e $\lambda_2=3$ con molteplicità algebrica $1$.
L'autospazio relativo all'autovalore $1$ è

$$V_1= \kker (A-I)$$

che si determina risolvendo il l'equazione

$$x+y-z=0$$

Risulta allora

$$V_1= \sppan \left \{ \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{m... ...right),\; \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right) \right \}$$

Ne deduciamo che la matrice è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore $3$ è

$$V_{3}= \kker (A-3I)$$

e si determina risolvendo il sistema

$$\begin{cases} x-z=0\\ y-z=0 \end{cases}$$

Risulta allora

$$V_3= \sppan \left \{ \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\right) \right \}$$

Esercizio 3.
Il piano $\pi$ deve essere ortogonale alla retta $s$ che ha vettore direttore $(2,-2,1)$. Dunque la sua equazione cartesiana sarà della forma

$$2x-2y+z+c=0, \quad c \in R.$$

Il piano contiene la retta $r$ e dunque passa per il punto $P=(2,5,2)$, pertanto deve essere $4-10+2+c=0$ da cui $c=4$. Il punto $P'$ ha coordinate

$$P'=(- \frac{2}{9}, \frac{38}{9},- \frac{1}{9}).$$

Esercizio 4.
Risulta

$$f(1,0,0,0)=(3,1,0)$$

$$f(0,1,0,0)=-f(0,-1,0,0) =(0,-1,-1)$$

$$f(0,0,1,0)=f(0,0,1,1)- \frac{1}{2}f(0,0,0,2) =(0,k,0)$$

$$f(0,0,0,1)=\frac{1}{2}f(0,0,0,2)=(0,0,0)$$

La matrice della applicazione $f$ rispetto alle basi canoniche è:

$$M(f)=\left( \begin{matrix} 3& 0 &0 &0\\ 1& -1 & k & 0 \\ 0& -1 & 0 &0 \end{matrix}\right).$$

Per $k \neq 0$ si ha che la dimensione dell'immagine di $f$ è uguale al rango di $M(f)$ ed è uguale $3$. Il nucleo di $f$ è il sottospazio:

$$\kker(f)= \sppan \left\{ \left( \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \right \}$$

Per $k=0$ risulta

$$\imm f = \sppan \left\{ \left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ 0 \end{... ...\right),\; \left( \begin{matrix} 0\\ -1\\ -1 \end{matrix}\right) \right \}$$

e

$$\kker f = \sppan \left\{ \left( \begin{matrix} 0\\ 0\\ 1 \\ ... ...t),\; \left( \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \right \}$$