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} {CSTYLE "" -1 469 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 470 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 471 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 472 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 473 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 474 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 475 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 476 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 477 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 478 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 479 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 480 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 481 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 482 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 483 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 484 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 485 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 486 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 487 "" 0 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"" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 2 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 3" -1 5 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Maple Output" -1 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 255 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 3 0 0 0 0 3 0 3 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Maple Plot" -1 13 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 4" -1 20 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 10 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Maple Outpu t" -1 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 3 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }} {SECT 0 {SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Introduzione" }}{PARA 261 "" 0 "" {TEXT 419 44 "Qualsiasi forma \350 figlia della ripetizion e. " }{TEXT -1 11 "(P. Valery)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 256 "" 0 "" {TEXT 273 64 "Nella computer grafica, gli oggetti ge ometrici sono definiti a p" }{TEXT 259 0 "" }{TEXT 274 1 "a" }{TEXT 257 0 "" }{TEXT 275 54 "rtire da un certo numero di elementi di base c hiamati " }{TEXT 256 18 "primitive grafiche" }{TEXT 267 2 ". " }{TEXT 276 219 "Possono essere punti, rette e segmenti, curve, superfici. Ad \+ esempio, un rettangolo \350 definito dai suoi quattro lati, ognuno dei quali viene costruito a partire da un segmento primitivo applicando a una sua copia (una '" }{TEXT 268 7 "istanza" }{TEXT 269 55 "') un cer to numero di operazioni geometriche, chiamate " }{TEXT 258 14 "trasfor mazioni" }{TEXT 266 2 ", " }{TEXT 277 69 "che traslano, ruotano e camb iano la lunghezza del segmento primitivo." }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT 278 190 "In particolare, i seguenti cinque tipi di trasformazioni sono particolarmente importanti nelle applicazioni: le traslazioni, i camb iamenti di scala, le riflessioni, le rotazioni e i 'tagli'." }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 26 "1.Trasformazioni del piano" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT 295 170 "Consideriamo innanzitutto trasformazioni de l piano. Il piano sar\340 identificato, mediante l'introduzione di un \+ sistema di riferimento cartesiano, con lo spazio vettoriale " } {XPPEDIT 18 0 "R^2;" "6#*$%\"RG\"\"#" }{TEXT 296 24 " delle coppie ord inate (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y;" "6$%\"xG%\"yG" }{TEXT 297 19 ") di nume ri reali. " }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT 298 134 "Le trasformazioni a cui siamo interessati hanno la seguente propriet\340: l'immagine di una r etta \350 ancora una retta, oppure \350 un punto. " }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 8 "Rette..." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 285 59 "Ricordiamo brevemente come possono essere rappresentate le " } {TEXT 286 5 "rette" }{TEXT 287 11 " nel piano:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "1) mediante un'equazione " }{TEXT 261 10 "cartesiana" }} {PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "a*x+b*y+c = 0;" "6#/,(*&%\"aG\"\"\"% \"xGF'F'*&%\"bGF'%\"yGF'F'%\"cGF'\"\"!" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT 260 4 "con " }{XPPEDIT 18 0 "a;" "6#%\"aG" }{TEXT 279 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "b;" "6#%\"bG" }{TEXT 280 20 " non entrambi nulli;" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "2) mediante equazioni " }{TEXT 262 12 " parametriche" }{TEXT -1 5 ": se " }{XPPEDIT 18 0 "P[0] = (p[1], p[2]); " "6#/&%\"PG6#\"\"!6$&%\"pG6#\"\"\"&F*6#\"\"#" }{TEXT -1 24 " \350 un \+ punto del piano e " }{XPPEDIT 18 0 "v = (v[1], v[2]);" "6#/%\"vG6$&F$6 #\"\"\"&F$6#\"\"#" }{TEXT -1 47 " \350 un vettore non nullo, la retta \+ passante per " }{XPPEDIT 18 0 "P[0];" "6#&%\"PG6#\"\"!" }{TEXT -1 17 " e con direzione " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 23 " \350 c ostituita dai punti" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "P(t) = ((x(t), y(t)) = (p[1]+t*v[1], p[2]+t*v[2]));" "6#/-%\"PG6#%\"tG/6$-%\"xG6#F'- %\"yG6#F'6$,&&%\"pG6#\"\"\"F5*&F'F5&%\"vG6#F5F5F5,&&F36#\"\"#F5*&F'F5& F86#F=F5F5" }{TEXT -1 33 ", al variare del parametro reale " } {XPPEDIT 18 0 "t;" "6#%\"tG" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT 263 26 "Si osservi che eliminando " }{XPPEDIT 18 0 "t;" "6#%\"tG" } {TEXT 264 4 " da " }{XPPEDIT 18 0 "x(t) = p[1]+t*v[1];" "6#/-%\"xG6#% \"tG,&&%\"pG6#\"\"\"F,*&F'F,&%\"vG6#F,F,F," }{TEXT 265 3 " e " } {XPPEDIT 18 0 "y(t) = p[2]+t*v[2];" "6#/-%\"yG6#%\"tG,&&%\"pG6#\"\"#\" \"\"*&F'F-&%\"vG6#F,F-F-" }{TEXT 281 35 " si ottiene l'equazione carte siana " }{XPPEDIT 18 0 "v[2]*x-v[1]*y = v[2]*p[1]-v[1]*p[2];" "6#/,&*& &%\"vG6#\"\"#\"\"\"%\"xGF*F**&&F'6#F*F*%\"yGF*!\"\",&*&&F'6#F)F*&%\"pG 6#F*F*F**&&F'6#F*F*&F66#F)F*F0" }{TEXT 282 2 " ." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Dunque la retta di equazione " }{XPPEDIT 18 0 "a*x+b*y+c \+ = 0;" "6#/,(*&%\"aG\"\"\"%\"xGF'F'*&%\"bGF'%\"yGF'F'%\"cGF'\"\"!" } {TEXT -1 22 " ha vettore direzione " }{XPPEDIT 18 0 "v = (-b, a);" "6# /%\"vG6$,$%\"bG!\"\"%\"aG" }{TEXT -1 9 " (oppure " }{XPPEDIT 18 0 "v = (b, -a);" "6#/%\"vG6$%\"bG,$%\"aG!\"\"" }{TEXT -1 20 ") e vettore nor male " }{XPPEDIT 18 0 "n = (a, b);" "6#/%\"nG6$%\"aG%\"bG" }{TEXT -1 21 ": il prodotto scalare" }{TEXT 270 1 " " }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 1 "." }{XPPEDIT 18 0 "n;" "6#%\"nG" } {TEXT -1 12 " si annulla." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 "L'" }{TEXT 272 6 "angolo" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG" } {TEXT -1 15 " tra due rette " }{XPPEDIT 18 0 "r;" "6#%\"rG" }{TEXT -1 3 " : " }{XPPEDIT 18 0 "a*x+b*y+c = 0" "6#/,(*&%\"aG\"\"\"%\"xGF'F'*&% \"bGF'%\"yGF'F'%\"cGF'\"\"!" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "r[1];" "6#&%\"rG6#\"\"\"" }{TEXT -1 3 " : " }{XPPEDIT 18 0 "a[1]*x+b[1]*y+c[1 ] = 0;" "6#/,(*&&%\"aG6#\"\"\"F)%\"xGF)F)*&&%\"bG6#F)F)%\"yGF)F)&%\"cG 6#F)F)\"\"!" }{TEXT -1 31 " con direzioni rispettivamente " }{XPPEDIT 18 0 "v = (-b, a);" "6#/%\"vG6$,$%\"bG!\"\"%\"aG" }{TEXT -1 3 " e " } {XPPEDIT 18 0 "w = (-b[1], a[1]);" "6#/%\"wG6$,$&%\"bG6#\"\"\"!\"\"&% \"aG6#F*" }{TEXT -1 11 " e normali " }{XPPEDIT 18 0 "n = (a, b);" "6#/ %\"nG6$%\"aG%\"bG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "m = (a[1], b[1]); " "6#/%\"mG6$&%\"aG6#\"\"\"&%\"bG6#F)" }{TEXT -1 22 " \350 dato dalla \+ formula " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 1 "." }{XPPEDIT 18 0 "w = abs(v)*abs(w)*cos(theta);" "6#/%\"wG*(-%$abs G6#%\"vG\"\"\"-F'6#F$F*-%$cosG6#%&thetaGF*" }{TEXT -1 9 ", da cui " } {XPPEDIT 18 0 "cos(theta) = (a*a[1]+b*b[1])/(sqrt(a^2+b^2)*sqrt(a[1]^2 +b[1]^2));" "6#/-%$cosG6#%&thetaG*&,&*&%\"aG\"\"\"&F+6#F,F,F,*&%\"bGF, &F06#F,F,F,F,*&-%%sqrtG6#,&*$F+\"\"#F,*$F0F9F,F,-F56#,&*$&F+6#F,F9F,*$ &F06#F,F9F,F,!\"\"" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Le r ette quindi sono" }{TEXT 283 10 " parallele" }{TEXT -1 33 " se e solo \+ se i prodotti scalari " }{XPPEDIT 18 0 "v.m;" "6#-%\".G6$%\"vG%\"mG" } {TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "w.n;" "6#-%\".G6$%\"wG%\"nG" }{TEXT -1 23 " si annullano, cio\350 se " }{XPPEDIT 18 0 "a*b[1] = a[1]*b;" " 6#/*&%\"aG\"\"\"&%\"bG6#F&F&*&&F%6#F&F&F(F&" }{TEXT -1 23 ", mentre le rette sono " }{TEXT 284 10 "ortogonali" }{TEXT -1 33 " se e solo se i prodotti scalari " }{XPPEDIT 18 0 "v.w;" "6#-%\".G6$%\"vG%\"wG" } {TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "n.m;" "6#-%\".G6$%\"nG%\"mG" }{TEXT -1 18 " sono nulli, cio\350 " }{XPPEDIT 18 0 "a*a[1]+b*b[1] = 0;" "6#/ ,&*&%\"aG\"\"\"&F&6#F'F'F'*&%\"bGF'&F+6#F'F'F'\"\"!" }{TEXT -1 1 "." } {TEXT 271 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 31 " Trasformazioni affini del piano" }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 26 "1.1 Trasformazioni lineari" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Innanzi tutto si possono considerare le " }{TEXT 304 20 "applicazioni lineari " }{TEXT -1 41 " del piano in s\350, cio\350 le trasformazioni " } {XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 4 " da " }{XPPEDIT 18 0 "R^2;" "6#*$%\"RG\"\"#" }{TEXT -1 4 " in " }{XPPEDIT 18 0 "R^2;" "6#*$%\"RG\" \"#" }{TEXT -1 35 " rappresentate da una matrice 2x2 " }}{PARA 257 " " 0 "" {XPPEDIT 18 0 "A = matrix([[a[1,1], a[1,2]], [a[2,1], a[2,2]]]) ;" "6#/%\"AG-%'matrixG6#7$7$&%\"aG6$\"\"\"F-&F+6$F-\"\"#7$&F+6$F0F-&F+ 6$F0F0" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 16 " \350 definita da " }{XPPEDIT 18 0 "T(x,y) = (x[1], y[1 ]);" "6#/-%\"TG6$%\"xG%\"yG6$&F'6#\"\"\"&F(6#F," }{TEXT -1 8 ", con \+ " }{XPPEDIT 18 0 "x[1] = a[1,1]*x+a[1,2]*y;" "6#/&%\"xG6#\"\"\",&*&&% \"aG6$F'F'F'F%F'F'*&&F+6$F'\"\"#F'%\"yGF'F'" }{TEXT -1 7 " e " } {XPPEDIT 18 0 "y[1] = a[2,1]*x+a[2,2]*y;" "6#/&%\"yG6#\"\"\",&*&&%\"aG 6$\"\"#F'F'%\"xGF'F'*&&F+6$F-F-F'F%F'F'" }{TEXT -1 3 ". " }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 42 "Si osservi che l'azione dell'applicazione " } {XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 54 " pu\362 essere descritta me diante una moltiplicazione di " }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" }{TEXT -1 3 " a " }{TEXT 288 7 "destra " }{TEXT -1 23 "per il vettore colonna " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[x], [y]]);" "6#-%'matrixG6#7$7#%\"xG7#%\"y G" }{TEXT -1 7 ", cio\350 " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix( [[x[1]], [y[1]]]) = matrix([[a[1,1], a[1,2]], [a[2,1], a[2,2]]]);" "6# /-%'matrixG6#7$7#&%\"xG6#\"\"\"7#&%\"yG6#F,-F%6#7$7$&%\"aG6$F,F,&F66$F ,\"\"#7$&F66$F:F,&F66$F:F:" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([ [x], [y]]);" "6#-%'matrixG6#7$7#%\"xG7#%\"yG" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "come \350 solito fare nell'algebra lineare, opp ure mediante una moltiplicazione a " }{TEXT 289 8 "sinistra" }{TEXT -1 15 " della matrice " }{TEXT 290 9 "trasposta" }{TEXT -1 4 " di " } {XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" }{TEXT -1 21 " per il vettore riga " } {XPPEDIT 18 0 "matrix([[x, y]]);" "6#-%'matrixG6#7#7$%\"xG%\"yG" } {TEXT -1 1 ":" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[x[1], y[1]] ]) = matrix([[x, y]]);" "6#/-%'matrixG6#7#7$&%\"xG6#\"\"\"&%\"yG6#F,-F %6#7#7$F*F." }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[a[1,1], a[2,1] ], [a[1,2], a[2,2]]]);" "6#-%'matrixG6#7$7$&%\"aG6$\"\"\"F+&F)6$\"\"#F +7$&F)6$F+F.&F)6$F.F." }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 145 "come spesso avviene nei sistemi di computer algebra (come Maple) e ne lla manipolazione delle primitive grafiche nei sistemi di computer gra fica. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 15 "1.2 Traslazioni" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Una " } {TEXT 303 11 "traslazione" }{TEXT -1 22 " \350 una trasformazione " } {XPPEDIT 18 0 "T[v[0]];" "6#&%\"TG6#&%\"vG6#\"\"!" }{TEXT -1 37 " del \+ piano determinata da un vettore " }{XPPEDIT 18 0 "v[0] = (h, k);" "6#/ &%\"vG6#\"\"!6$%\"hG%\"kG" }{TEXT -1 5 ". Se " }{XPPEDIT 18 0 "P = (x, y);" "6#/%\"PG6$%\"xG%\"yG" }{TEXT -1 20 ", il punto traslato " } {XPPEDIT 18 0 "T[v[0]](P) = P+v[0];" "6#/-&%\"TG6#&%\"vG6#\"\"!6#%\"PG ,&F-\"\"\"&F)6#F+F/" }{TEXT -1 15 " ha coordinate " }{XPPEDIT 18 0 "(x [1], y[1]) = (x+h, y+k);" "6#/6$&%\"xG6#\"\"\"&%\"yG6#F(6$,&F&F(%\"hGF (,&F*F(%\"kGF(" }{TEXT -1 28 ". Si noti che se il vettore " }{XPPEDIT 18 0 "v[0];" "6#&%\"vG6#\"\"!" }{TEXT -1 62 " non \350 nullo, la trasl azione non \350 un'applicazione lineare di " }{XPPEDIT 18 0 "R^2;" "6# *$%\"RG\"\"#" }{TEXT -1 108 ". Inoltre ogni traslazione \350 una trasf ormazione invertibile: la traslazione determinata dal vettore opposto \+ " }{XPPEDIT 18 0 "-v[0];" "6#,$&%\"vG6#\"\"!!\"\"" }{TEXT -1 9 " ripor ta " }{XPPEDIT 18 0 "P+v[0];" "6#,&%\"PG\"\"\"&%\"vG6#\"\"!F%" }{TEXT -1 4 " in " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 25 "1.3 Trasf ormazioni affini" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Una " }{TEXT 291 21 "t rasformazione affine" }{TEXT -1 76 " del piano \350 un'applicazione ot tenuta componendo un'applicazione lineare di " }{XPPEDIT 18 0 "R^2;" " 6#*$%\"RG\"\"#" }{TEXT -1 21 " con una traslazione:" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T = T[v[0]];" "6#/%\"TG&F$6#&%\"vG6#\"\"!" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 309 1 "o" }{TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "L;" "6#%\"L G" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "con " }{XPPEDIT 18 0 " L;" "6#%\"LG" }{TEXT -1 49 " applicazione lineare determinata da una m atrice " }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "v[0] = (h, k);" "6#/&%\"vG6#\"\"!6$%\"hG%\"kG" }{TEXT -1 1 "." }} {PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 16 " \350 defin ita da " }{XPPEDIT 18 0 "T(x,y) = (x[1], y[1]);" "6#/-%\"TG6$%\"xG%\" yG6$&F'6#\"\"\"&F(6#F," }{TEXT -1 8 ", con " }{XPPEDIT 18 0 "x[1] = \+ a[1,1]*x+a[1,2]*y+h;" "6#/&%\"xG6#\"\"\",(*&&%\"aG6$F'F'F'F%F'F'*&&F+6 $F'\"\"#F'%\"yGF'F'%\"hGF'" }{TEXT -1 5 " e " }{XPPEDIT 18 0 "y[1] = a[2,1]*x+a[2,2]*y+k;" "6#/&%\"yG6#\"\"\",(*&&%\"aG6$\"\"#F'F'%\"xGF'F '*&&F+6$F-F-F'F%F'F'%\"kGF'" }{TEXT -1 22 ". In forma matriciale:" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matri x([[x[1]], [y[1]]]) = matrix([[a[1,1], a[1,2]], [a[2,1], a[2,2]]]);" " 6#/-%'matrixG6#7$7#&%\"xG6#\"\"\"7#&%\"yG6#F,-F%6#7$7$&%\"aG6$F,F,&F66 $F,\"\"#7$&F66$F:F,&F66$F:F:" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "matrix ([[x], [y]])+matrix([[h], [k]]);" "6#,&-%'matrixG6#7$7#%\"xG7#%\"yG\" \"\"-F%6#7$7#%\"hG7#%\"kGF," }{TEXT -1 13 " oppure" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[x[1], y[1]]]) = matrix([[x, y]]);" "6# /-%'matrixG6#7#7$&%\"xG6#\"\"\"&%\"yG6#F,-F%6#7#7$F*F." }{TEXT -1 3 " \+ . " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[a[1,1], a[2,1]], [a[1,2], a[2,2]]])+matri x([[h, k]]);" "6#,&-%'matrixG6#7$7$&%\"aG6$\"\"\"F,&F*6$\"\"#F,7$&F*6$ F,F/&F*6$F/F/F,-F%6#7#7$%\"hG%\"kGF," }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Osservazione: \+ " }{TEXT 299 46 "Una trasformazione affine trasforma una retta " } {XPPEDIT 300 0 "r;" "6#%\"rG" }{TEXT 301 32 " in una retta oppure in u n punto" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Sia " }{XPPEDIT 18 0 "r = \{P(t) = P[0]+t*v, t*reale\};" "6#/%\"rG<$/ -%\"PG6#%\"tG,&&F(6#\"\"!\"\"\"*&F*F/%\"vGF/F/*&F*F/%&realeGF/" } {TEXT -1 14 " la retta per " }{XPPEDIT 18 0 "P[0];" "6#&%\"PG6#\"\"!" }{TEXT -1 15 " con direzione " }{XPPEDIT 18 0 "v = (v[1], v[2]);" "6#/ %\"vG6$&F$6#\"\"\"&F$6#\"\"#" }{TEXT -1 8 ". Si ha " }{XPPEDIT 18 0 "T (P(t)) = L(P[0]+t*v)+v[0];" "6#/-%\"TG6#-%\"PG6#%\"tG,&-%\"LG6#,&&F(6# \"\"!\"\"\"*&F*F3%\"vGF3F3F3&F56#F2F3" }{TEXT -1 20 " e per la lineari t\340 " }{XPPEDIT 18 0 "T(P(t)) = L(P[0])+t*L(v)+v[0];" "6#/-%\"TG6#-% \"PG6#%\"tG,(-%\"LG6#&F(6#\"\"!\"\"\"*&F*F2-F-6#%\"vGF2F2&F66#F1F2" } {TEXT -1 7 ", cio\350 " }{XPPEDIT 18 0 "T(P(t)) = T(P[0])+t*L(v);" "6# /-%\"TG6#-%\"PG6#%\"tG,&-F%6#&F(6#\"\"!\"\"\"*&F*F1-%\"LG6#%\"vGF1F1" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "a) se " }{XPPEDIT 18 0 " L(v);" "6#-%\"LG6#%\"vG" }{TEXT -1 13 " si annulla, " }{XPPEDIT 18 0 " T(r);" "6#-%\"TG6#%\"rG" }{TEXT -1 12 " \350 il punto " }{XPPEDIT 18 0 "T(P[0])" "6#-%\"TG6#&%\"PG6#\"\"!" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 6 "b) se " }{XPPEDIT 18 0 "L(v);" "6#-%\"LG6#%\"vG" }{TEXT -1 31 " non \350 nullo, cio\350 il prodotto " }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#% \"AG" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[v[1]], [v[2]]]);" "6# -%'matrixG6#7$7#&%\"vG6#\"\"\"7#&F)6#\"\"#" }{TEXT -1 19 " non \350 il vettore " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[0], [0]]);" "6#-%'matrixG6#7$7#\" \"!7#F(" }{TEXT -1 21 " , allora l'immagine " }{XPPEDIT 18 0 "T(r);" " 6#-%\"TG6#%\"rG" }{TEXT -1 34 " \350 la retta passante per il punto " }{XPPEDIT 18 0 "T(P[0]);" "6#-%\"TG6#&%\"PG6#\"\"!" }{TEXT -1 28 " e c on direzione il vettore " }{XPPEDIT 18 0 "L(v);" "6#-%\"LG6#%\"vG" } {TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "Si osservi che il caso a ) si pu\362 avere solo quando il determinante di " }{XPPEDIT 18 0 "A; " "6#%\"AG" }{TEXT -1 55 " si annulla (in tal caso si dice che la tras formazione " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 3 " \350 " } {TEXT 292 9 "singolare" }{TEXT -1 16 "). Se invece il " }{XPPEDIT 18 0 "det(A);" "6#-%$detG6#%\"AG" }{TEXT -1 55 " non \350 zero, ogni rett a viene trasformata in una retta." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Ad e sempio, per le traslazioni \350 " }{XPPEDIT 18 0 "L = I;" "6#/%\"LG%\" IG" }{TEXT -1 86 " (l'applicazione identica) e quindi le traslazioni s ono trasformazioni non singolari. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 24 "1.4 Cambiamenti di scala" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "Un " }{TEXT 293 20 "cambiamento di scala" }{TEXT -1 28 " centrato nell'origine, con " }{TEXT 294 16 "fattori di \+ scala" }{TEXT -1 16 " i numeri reali " }{XPPEDIT 18 0 "s[x];" "6#&%\"s G6#%\"xG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "s[y];" "6#&%\"sG6#%\"yG" } {TEXT -1 53 " , \350 la trasformazione che applica un generico punto \+ " }{XPPEDIT 18 0 "P = (x, y);" "6#/%\"PG6$%\"xG%\"yG" }{TEXT -1 11 " n el punto " }{XPPEDIT 18 0 "T(P) = (x[1], y[1]);" "6#/-%\"TG6#%\"PG6$&% \"xG6#\"\"\"&%\"yG6#F," }{TEXT -1 6 ", con " }{XPPEDIT 18 0 "(x[1], y[ 1]) = (s[x]*x, s[y]*y);" "6#/6$&%\"xG6#\"\"\"&%\"yG6#F(6$*&&%\"sG6#F&F (F&F(*&&F/6#F*F(F*F(" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 55 " \350 lineare, con matrice associata la matrice diagonale " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "S(s[x],s[y]) = matrix([[s[x], 0], [0, s[y]]]);" "6#/-%\"SG6$&%\"sG6#%\"xG&F(6#%\"yG- %'matrixG6#7$7$&F(6#F*\"\"!7$F5&F(6#F-" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Esempio" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "with(linalg):" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "figura:=matrix([[1,1],[3,1],[1.8,2],[1.5,3],[1 ,1]]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 88 "disegno:=f->plot(convert( f,listlist),view=[-6..6,-6..6],scaling=CONSTRAINED,style=LINE):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "disegno(figura);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6$7'7$$\"\" \"\"\"!F(7$$\"\"$F*F(7$$\"3/+++++++=!#<$\"\"#F*7$$\"3++++++++:F1F,F'-% 'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"$F*F*F>-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%&STYLEG6 #%%LINEG-%+AXESLABELSG6$Q!6\"FJ-%%VIEWG6$;$!\"'F*$\"\"'F*FO" 1 6 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "S:=(sx,sy)->matrix(2,2,[[sx,0],[0,s y]]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "S(2,0.5);" }{TEXT -1 89 "qu esta \350 la matrice del cambiamento di scala di fattori 2 rispetto a \+ x e 1/2 rispetto a y" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'matrixG6#7$ 7$\"\"#\"\"!7$F)$\"\"&!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "trasforma:=(f,m)->evalm(f&*m):" }{TEXT -1 86 "la funzione evalm se rve a far valutare a Maple il prodotto matriciale, denotato con &*" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "f1:=trasforma(figura, S(2,0.5));" } }{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#f1G-%'matrixG6#7'7$\"\"#$\"\"&!\" \"7$\"\"'F+7$$\"#OF-$\"#5F-7$$\"#IF-$\"#:F-F)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "disegno(f1);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6$7'7$$\"\"#\"\"!$\"3++++++++]!#=7$$ \"\"'F*F+7$$\"33+++++++O!#<$\"\"\"F*7$$\"\"$F*$\"3++++++++:F4F'-%'COLO URG6&%$RGBG$\"#5!\"\"$F*F*FC-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%&STYLEG6#%%LI NEG-%+AXESLABELSG6$Q!6\"FO-%%VIEWG6$;$!\"'F*F/FT" 1 6 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "disegni:=l->plots[display](map(disegno,l)): " }{TEXT -1 54 "funzione per disegnare pi\371 figure nello stesso grafic o" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "disegni(\{figura, f1\});" }} {PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6%7'7$ $\"\"#\"\"!$\"3++++++++]!#=7$$\"\"'F*F+7$$\"33+++++++O!#<$\"\"\"F*7$$ \"\"$F*$\"3++++++++:F4F'-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"$F*F*FC-%&STYLEG6# %%LINEG-F$6%7'7$F5F57$F8F57$$\"3/+++++++=F4F(7$F:F8FKF " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "disegno(trasforma(figura, S(1,-1)));" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6$7'7$$\"\"\"\"\"! $!\"\"F*7$$\"\"$F*F+7$$\"3/+++++++=!#<$!\"#F*7$$\"3++++++++:F3$!\"$F*F '-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5F,$F*F*FA-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%&STYLEG6 #%%LINEG-%+AXESLABELSG6$Q!6\"FM-%%VIEWG6$;$!\"'F*$\"\"'F*FR" 1 6 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 13 "1.6 Rotazioni" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Una " }{TEXT 305 9 "rotazione" }{TEXT -1 14 " di un angolo " } {XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 41 " attorno all'origine \350 la trasformazione " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 23 " che associa al punto " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 15 " \+ di coordinate " }{XPPEDIT 18 0 "x,y;" "6$%\"xG%\"yG" }{TEXT -1 10 " il punto " }{XPPEDIT 18 0 "T(P) = (x[1], y[1]);" "6#/-%\"TG6#%\"PG6$&%\" xG6#\"\"\"&%\"yG6#F," }{TEXT -1 51 " punto finale del segmento che si \+ ottiene ruotando " }{XPPEDIT 18 0 "OP;" "6#%#OPG" }{TEXT -1 57 " in se nso antiorario attorno all'origine di un angolo di " }{XPPEDIT 18 0 "t heta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 36 " radianti. Usando coordinate polari \+ " }{XPPEDIT 18 0 "r,phi;" "6$%\"rG%$phiG" }{TEXT -1 18 ", si pu\362 sc rivere " }{XPPEDIT 18 0 "x = r*cos(phi);" "6#/%\"xG*&%\"rG\"\"\"-%$cos G6#%$phiGF'" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "y = r*sin(phi);" "6#/%\" yG*&%\"rG\"\"\"-%$sinG6#%$phiGF'" }{TEXT -1 6 ", con " }{XPPEDIT 18 0 "r^2 = x^2+y^2;" "6#/*$%\"rG\"\"#,&*$%\"xGF&\"\"\"*$%\"yGF&F*" }{TEXT -1 14 " lunghezza di " }{XPPEDIT 18 0 "OP;" "6#%#OPG" }{TEXT -1 3 " e \+ " }{XPPEDIT 18 0 "phi;" "6#%$phiG" }{TEXT -1 19 " angolo tra l'asse " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 24 " positivo e il segmento " }{XPPEDIT 18 0 "OP;" "6#%#OPG" }{TEXT -1 10 ". Dunque \350" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "(x[1], y[1]) = (r*cos(phi+theta), r*sin(phi +theta));" "6#/6$&%\"xG6#\"\"\"&%\"yG6#F(6$*&%\"rGF(-%$cosG6#,&%$phiGF (%&thetaGF(F(*&F.F(-%$sinG6#,&F3F(F4F(F(" }{TEXT -1 8 ", da cui" }} {PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "x[1] = r*cos(phi)*cos(theta);" "6#/&% \"xG6#\"\"\"*(%\"rGF'-%$cosG6#%$phiGF'-F+6#%&thetaGF'" }{XPPEDIT 18 0 "-r*sin(phi)*sin(theta);" "6#,$*(%\"rG\"\"\"-%$sinG6#%$phiGF&-F(6#%&th etaGF&!\"\"" }{TEXT -1 9 " e " }{XPPEDIT 18 0 "y[1] = r*sin(phi) *cos(theta)+r*cos(phi)*sin(theta);" "6#/&%\"yG6#\"\"\",&*(%\"rGF'-%$si nG6#%$phiGF'-%$cosG6#%&thetaGF'F'*(F*F'-F06#F.F'-F,6#F2F'F'" }{TEXT -1 6 ", cio\350" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{XPPEDIT 18 0 "x[1 ] = x*cos(theta);" "6#/&%\"xG6#\"\"\"*&F%F'-%$cosG6#%&thetaGF'" } {XPPEDIT 18 0 "-y*sin(theta);" "6#,$*&%\"yG\"\"\"-%$sinG6#%&thetaGF&! \"\"" }{TEXT -1 9 " e " }{XPPEDIT 18 0 "y[1] = y*cos(theta)+x*si n(theta);" "6#/&%\"yG6#\"\"\",&*&F%F'-%$cosG6#%&thetaGF'F'*&%\"xGF'-%$ sinG6#F-F'F'" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Quindi la rotazione attor no all'origine \350 un'applicazione lineare:" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[x[1], y[1]]]) = matrix([[x, y]]);" "6#/-%'matr ixG6#7#7$&%\"xG6#\"\"\"&%\"yG6#F,-F%6#7#7$F*F." }{TEXT -1 3 " . " } {XPPEDIT 18 0 "matrix([[cos(theta), sin(theta)], [-sin(theta), cos(the ta)]]);" "6#-%'matrixG6#7$7$-%$cosG6#%&thetaG-%$sinG6#F+7$,$-F-6#F+!\" \"-F)6#F+" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Esempio" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "Rot:=t->matrix(2,2,[cos(t),sin(t),-sin(t),cos(t)]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "disegno(trasforma(figura, Rot(Pi/ 2)));" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURV ESG6$7'7$$!\"\"\"\"!$\"\"\"F*7$F($\"\"$F*7$$!\"#F*$\"3/+++++++=!#<7$$! \"$F*$\"3++++++++:F5F'-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5F)$F*F*FA-%(SCALINGG6#%,C ONSTRAINEDG-%&STYLEG6#%%LINEG-%+AXESLABELSG6$Q!6\"FM-%%VIEWG6$;$!\"'F* $\"\"'F*FR" 1 6 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "C urve 1" }}}}}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Osservazione:" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "Ogni rotazione \350 invertibile: basta co nsiderare la rotazione di angolo " }{XPPEDIT 18 0 "-theta;" "6#,$%&the taG!\"\"" }{TEXT -1 1 "." }}}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 9 "1.7 \+ Tagli" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Dato un numero reale " } {XPPEDIT 18 0 "r;" "6#%\"rG" }{TEXT -1 54 " e una direzione nel piano, individuata da un vettore " }{XPPEDIT 18 0 "v = (v[1], v[2]);" "6#/% \"vG6$&F$6#\"\"\"&F$6#\"\"#" }{TEXT -1 27 " di lunghezza unitaria, il \+ " }{TEXT 306 6 "taglio" }{TEXT 336 12 " con fattore" }{TEXT -1 1 " " } {XPPEDIT 18 0 "r;" "6#%\"rG" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 307 15 "nella dire zione" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 22 " \+ \350 una trasformazione " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 57 " che fissa i punti della retta per l'origine parallela a " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 45 " e sposta i punti lungo le rette par allele a " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 71 " di una quantit \340 proporzionale alla distanza della retta dall'origine. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "Se " }{XPPEDIT 18 0 "P = (x, y);" "6#/%\"PG6$%\" xG%\"yG" }{TEXT -1 41 " \350 un generico punto del piano, la retta " } {XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" }{TEXT -1 5 " per " }{XPPEDIT 18 0 "P;" " 6#%\"PG" }{TEXT -1 13 " parallela a " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" } {TEXT -1 25 " ha equazione cartesiana " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "v[2]*x-v[1]*y+c = 0;" "6#/,(*&&%\"vG6#\"\"#\"\"\"%\"xGF*F**&&F'6 #F*F*%\"yGF*!\"\"%\"cGF*\"\"!" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Il valor e assoluto di " }{XPPEDIT 18 0 "c;" "6#%\"cG" }{TEXT -1 18 " \350 la d istanza di " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" }{TEXT -1 47 " dall'origine , come si pu\362 vedere intersecando " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" } {TEXT -1 18 " con la retta per " }{XPPEDIT 18 0 "O;" "6#%\"OG" }{TEXT -1 14 " ortogonale a " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" }{TEXT -1 28 ", d i equazioni parametriche " }{XPPEDIT 18 0 "x = t*v[2];" "6#/%\"xG*&%\" tG\"\"\"&%\"vG6#\"\"#F'" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "y = -t*v[1]; " "6#/%\"yG,$*&%\"tG\"\"\"&%\"vG6#F(F(!\"\"" }{TEXT -1 11 ". Il punto \+ " }{XPPEDIT 18 0 "H;" "6#%\"HG" }{TEXT -1 27 " di intersezione soddisf a " }{XPPEDIT 18 0 "v[2]*t*v[2]-v[1]*t*(-v[1])+c = 0;" "6#/,(*(&%\"vG 6#\"\"#\"\"\"%\"tGF*&F'6#F)F*F**(&F'6#F*F*F+F*,$&F'6#F*!\"\"F*F4%\"cGF *\"\"!" }{TEXT -1 10 ", da cui " }{XPPEDIT 18 0 "t = -c;" "6#/%\"tG,$ %\"cG!\"\"" }{TEXT -1 9 " (poich\351 " }{XPPEDIT 18 0 "v[1]^2+v[2]^2 = 1;" "6#/,&*$&%\"vG6#\"\"\"\"\"#F)*$&F'6#F*F*F)F)" }{TEXT -1 4 ") e " }{XPPEDIT 18 0 "H = (-c*v[2], c*v[1]);" "6#/%\"HG6$,$*&%\"cG\"\"\"&%\" vG6#\"\"#F)!\"\"*&F(F)&F+6#F)F)" }{TEXT -1 8 ". Dunque" }}{PARA 257 " " 0 "" {XPPEDIT 18 0 "distanza(l,O) = sqrt((-c*v[2])^2+(c*v[1])^2);" " 6#/-%)distanzaG6$%\"lG%\"OG-%%sqrtG6#,&*$,$*&%\"cG\"\"\"&%\"vG6#\"\"#F 1!\"\"F5F1*$*&F0F1&F36#F1F1F5F1" }{TEXT -1 32 ", che \350 il valore assoluto " }{XPPEDIT 18 0 "abs(c);" "6#-%$absG6#%\"cG" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Il taglio " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#% \"TG" }{TEXT -1 21 " trasforma il punto " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"P G" }{TEXT -1 11 " nel punto " }{XPPEDIT 18 0 "P[1] = P+r*c*v;" "6#/&% \"PG6#\"\"\",&F%F'*(%\"rGF'%\"cGF'%\"vGF'F'" }{TEXT -1 39 ", che \350 \+ ancora appartenente alla retta " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" }{TEXT -1 19 ". Le coordinate di " }{XPPEDIT 18 0 "T(P) = P[1];" "6#/-%\"TG6# %\"PG&F'6#\"\"\"" }{TEXT -1 5 " sono" }{XPPEDIT 18 0 "(x[1], y[1]) = ( x, y)+r*(-v[2]*x+v[1]*y)*(v[1], v[2]);" "6#/6$&%\"xG6#\"\"\"&%\"yG6#F( ,&6$F&F*F(*(%\"rGF(,&*&&%\"vG6#\"\"#F(F&F(!\"\"*&&F36#F(F(F*F(F(F(6$&F 36#F(&F36#F5F(F(" }{TEXT -1 10 " e quindi " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\" TG" }{TEXT -1 48 " \350 una trasformazione lineare (e quindi affine): " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[x[1], y[1]]]) = matrix([ [x, y]]);" "6#/-%'matrixG6#7#7$&%\"xG6#\"\"\"&%\"yG6#F,-F%6#7#7$F*F." }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[1-r*v[1]*v[2], -r*v[2]^2], \+ [r*v[1]^2, 1+r*v[1]*v[2]]]);" "6#-%'matrixG6#7$7$,&\"\"\"F)*(%\"rGF)&% \"vG6#F)F)&F-6#\"\"#F)!\"\",$*&F+F)*$&F-6#F1F1F)F27$*&F+F)*$&F-6#F)F1F ),&F)F)*(F+F)&F-6#F)F)&F-6#F1F)F)" }{TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 20 " " 0 "" {TEXT -1 7 "Esempio" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Il taglio c on fattore r nella direzione " }{XPPEDIT 18 0 "v = (1, 0);" "6#/%\"vG6 $\"\"\"\"\"!" }{TEXT -1 38 " dell'asse x \350 definito dalla matrice \+ " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[1, 0], [r, 1]]);" "6#-%'matrixG6#7$7$\"\"\" \"\"!7$%\"rGF(" }{TEXT -1 3 " : " }{XPPEDIT 18 0 "T(x,y) = (x+r*y, y); " "6#/-%\"TG6$%\"xG%\"yG6$,&F'\"\"\"*&%\"rGF+F(F+F+F(" }{TEXT -1 1 ". " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 72 "Sh:=(v,r)->matrix(2,2,[1 -r*v[1]*v[2],-r*v[2]^2,r*v[1]^2,1+r*v[1]*v[2]]):" }{TEXT -1 79 "Sh(v,r ) denota la matrice che definisce il taglio (dal termine inglese 'shea r')" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "Sh([1,0],r);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'matrixG6#7$7$\"\"\"\"\"!7$%\"rGF(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "disegno(trasforma([[0,0],[2,0],[2,2 ],[0,2],[0,0]],Sh([1,0],1)));" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6$7'7$$\"\"!F)F(7$$\"\"#F)F(7$$\"\"%F)F+7 $F+F+F'-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F(F(-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%&S TYLEG6#%%LINEG-%+AXESLABELSG6$Q!6\"FC-%%VIEWG6$;$!\"'F)$\"\"'F)FH" 1 6 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "figura:=matrix([[1,1],[3,1], [1.8,2],[1.5,3],[1,1]]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "f2:=tra sforma(figura,Sh([2/sqrt(5),1/sqrt(5)],3/2)):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "disegni(\{figura,f2\});" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6%7'7$$\"\"\"\"\"!F(7$$ \"\"$F*F(7$$\"3/+++++++=!#<$\"\"#F*7$$\"3++++++++:F1F,F'-%'COLOURG6&%$ RGBG$\"#5!\"\"$F*F*F>-%&STYLEG6#%%LINEG-F$6%7'7$$\"33+++++++;F1$\"3/++ +++++8F17$$\"3!**************R#F1$\"3a**************p!#=7$$\"36++++++? JF1$\"39++++++gEF17$$\"3;+++++++UF1$\"3k************\\VF1FFF7F?-%(SCAL INGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%Q!6\"F\\o%(DEFAULTG-%%VIEWG6$;$!\" 'F*$\"\"'F*Fbo" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" }}}}}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Osser vazione" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Il taglio con fattore " } {XPPEDIT 18 0 "-r;" "6#,$%\"rG!\"\"" }{TEXT -1 17 " nella direzione " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 18 " riporta il punto " } {XPPEDIT 18 0 "P[1];" "6#&%\"PG6#\"\"\"" }{TEXT -1 11 " nel punto " } {XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 86 ". Dunque ogni taglio \350 i nvertibile, con trasformazione inversa che \350 ancora un taglio." }}} }{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 38 "1.8 'Concatenazione' di trasform azioni" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Nella computer grafica, la comp osizione di trasformazioni viene anche chiamata " }{TEXT 313 14 "conca tenazione" }{TEXT 337 2 ". " }{TEXT -1 99 "La composizione di due o pi \371 trasformazioni affini \350 ancora una trasformazione affine. Infa tti, se " }{XPPEDIT 18 0 "T = T[v[0]];" "6#/%\"TG&F$6#&%\"vG6#\"\"!" } {TEXT -1 1 " " }{TEXT 314 1 "o" }{TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "L;" " 6#%\"LG" }{TEXT -1 5 " e " }{XPPEDIT 18 0 "S = T[w[0]];" "6#/%\"SG&% \"TG6#&%\"wG6#\"\"!" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 315 1 "o" }{TEXT -1 2 " \+ " }{XPPEDIT 18 0 "M;" "6#%\"MG" }{TEXT -1 37 " sono due trasformazioni affini, con " }{XPPEDIT 18 0 "v[0] = (h, k);" "6#/&%\"vG6#\"\"!6$%\"h G%\"kG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "w[0] = (l, m);" "6#/&%\"wG6# \"\"!6$%\"lG%\"mG" }{TEXT -1 3 ", " }{XPPEDIT 18 0 "L;" "6#%\"LG" } {TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "M;" "6#%\"MG" }{TEXT -1 45 " applica zioni lineari con matrici associate " }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" } {TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "B;" "6#%\"BG" }{TEXT -1 25 " rispetti vamente, allora " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T*S;" "6#*&%\"TG \"\"\"%\"SGF%" }{TEXT -1 1 "(" }{XPPEDIT 18 0 "x,y;" "6$%\"xG%\"yG" } {TEXT -1 3 ") =" }{TEXT 322 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "S;" "6#%\"SG" } {TEXT -1 1 " " }{TEXT 316 2 "o " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 2 " (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y;" "6$%\"xG%\"yG" }{TEXT -1 5 ") = (" } {TEXT 321 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "x[2],y[2];" "6$&%\"xG6#\"\"#&%\"yG6#F& " }{TEXT -1 4 "), " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "con " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[x[2], y[2]]]) = matrix([[x[1], y[1]]]);" "6#/-%'matrixG 6#7#7$&%\"xG6#\"\"#&%\"yG6#F,-F%6#7#7$&F*6#\"\"\"&F.6#F6" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "B^t+matrix([[l, m]]);" "6#,&)%\"BG%\"tG\"\"\"-%' matrixG6#7#7$%\"lG%\"mGF'" }{TEXT -1 5 " e " }{XPPEDIT 18 0 "matrix( [[x[1], y[1]]]) = matrix([[x, y]]);" "6#/-%'matrixG6#7#7$&%\"xG6#\"\" \"&%\"yG6#F,-F%6#7#7$F*F." }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "A^t+matri x([[h, k]]);" "6#,&)%\"AG%\"tG\"\"\"-%'matrixG6#7#7$%\"hG%\"kGF'" } {TEXT -1 4 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Dunque " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[x[2], y[2]]]) = matrix([[x, y]]);" "6#/-%'matrixG6#7#7$ &%\"xG6#\"\"#&%\"yG6#F,-F%6#7#7$F*F." }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "A^t;" "6#)%\"AG%\"tG" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "B^t+matrix( [[h, k]]);" "6#,&)%\"BG%\"tG\"\"\"-%'matrixG6#7#7$%\"hG%\"kGF'" } {TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "B^t+matrix([[l, m]]);" "6#,&)%\"BG%\" tG\"\"\"-%'matrixG6#7#7$%\"lG%\"mGF'" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 318 2 "= \+ " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[x, y]]);" "6#-%'matrixG6#7#7$%\"xG%\"yG" } {TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "(B*A)^t+matrix([[h, k]]);" "6#,&)*&% \"BG\"\"\"%\"AGF'%\"tGF'-%'matrixG6#7#7$%\"hG%\"kGF'" }{TEXT -1 3 " . \+ " }{XPPEDIT 18 0 "B^t+matrix([[l, m]])" "6#,&)%\"BG%\"tG\"\"\"-%'matri xG6#7#7$%\"lG%\"mGF'" }{TEXT -1 10 " e quindi " }{XPPEDIT 18 0 "S;" "6 #%\"SG" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 317 2 "o " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG " }{TEXT -1 90 " \350 la trasformazione affine con componente lineare \+ associata al prodotto delle matrici di " }{XPPEDIT 18 0 "M;" "6#%\"MG " }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "L;" "6#%\"LG" }{TEXT -1 50 " e com ponente di traslazione associata al vettore " }{XPPEDIT 18 0 "[h, k]; " "6#7$%\"hG%\"kG" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "B^t+[l, m];" "6#, &)%\"BG%\"tG\"\"\"7$%\"lG%\"mGF'" }{TEXT -1 32 ". Si noti che alla com posizione " }{XPPEDIT 18 0 "S;" "6#%\"SG" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 319 2 "o " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 15 " (prima agisce " } {XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 14 " e poi agisce " }{XPPEDIT 18 0 "S;" "6#%\"SG" }{TEXT -1 50 ") corrisponde il prodotto delle matr ici associate " }{XPPEDIT 18 0 "B*A;" "6#*&%\"BG\"\"\"%\"AGF%" }{TEXT -1 36 " se le matrici agiscono sui vettori " }{TEXT 320 7 "colonna" } {TEXT -1 34 ", mentre corrisponde il prodotto " }{XPPEDIT 18 0 "A^t*B ^t;" "6#*&)%\"AG%\"tG\"\"\")%\"BGF&F'" }{TEXT -1 36 " se le matrici ag iscono sui vettori " }{TEXT 323 4 "riga" }{TEXT -1 408 ". Questo sugge risce di usare la notazione 'da sinistra a destra' per la concatenazio ne di trasformazioni e la scrittura dei vettori come righe. Vedremo po i come l'introduzione delle coordinate omogenee consenta di rappresent are tutte le trasformazioni affini, anche quelle non lineari, mediante matrici 3x3, in maniera tale che alla concatenazione di trasformazion i corrisponda sempre il prodotto di matrici." }}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Esempio" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "fi gura:=matrix([[1,1],[3,1],[1.8,2],[1.5,3],[1,1]]):" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 40 "f3:=trasforma(figura,Rot(Pi/3)&*S(2,1)):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "disegni(\{figura,f3\});" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6%7'7$$\"\"\"\"\"!F( 7$$\"\"$F*F(7$$\"3/+++++++=!#<$\"\"#F*7$$\"3++++++++:F1F,F'-%'COLOURG6 &%$RGBG$\"#5!\"\"$F*F*F>-%&STYLEG6#%%LINEG-F$6%7'7$$!3$>x)ov!30K(!#=$ \"3gQWy.a-m8F17$$\"3!G7JC>\\zE\"F1$\"3+;LN6i2)4$F17$$!3Max8:;5k;F1$\"3 _*)>\"osX)eDF17$$!3-KmqAC:'p$F1$\"3+emn0\"Q!*z#F1FFF7F?-%(SCALINGG6#%, CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%Q!6\"F\\o%(DEFAULTG-%%VIEWG6$;$!\"'F*$\"\" 'F*Fbo" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "f4:=trasfo rma(figura,S(2,1)&*Rot(Pi/3)):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "d isegni(\{figura,f4\});" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6%7'7$$\"\"\"\"\"!F(7$$\"\"$F*F(7$$\"3/++++++ +=!#<$\"\"#F*7$$\"3++++++++:F1F,F'-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"$F*F*F>- %&STYLEG6#%%LINEG-F$6%7'7$$\"3.9c:ifuR8!#=$\"3?x)ov!30KAF17$$\"3jhb@'f uR8#F1$\"3-KmqAC:'p&F17$$\"37&G7JC>\\z'!#>$\"3/zRi`9p 0;" "6#0-%$detG6#%\"AG\"\"!" }{TEXT -1 40 ") \+ \350 invertibile. Infatti le composizioni" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 1 "(" }{XPPEDIT 18 0 "T[v[0]];" "6#&%\"TG6#&%\"vG6#\"\"!" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 325 1 "o" }{TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "L;" "6#%\"L G" }{TEXT -1 2 ") " }{TEXT 326 2 "o " }{TEXT -1 1 "(" }{XPPEDIT 18 0 " L^(-1);" "6#)%\"LG,$\"\"\"!\"\"" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 327 2 "o " } {XPPEDIT 18 0 "T[-v[0]];" "6#&%\"TG6#,$&%\"vG6#\"\"!!\"\"" }{TEXT -1 9 ") e (" }{XPPEDIT 18 0 "L^(-1);" "6#)%\"LG,$\"\"\"!\"\"" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 329 2 "o " }{XPPEDIT 18 0 "T[-v[0]];" "6#&%\"TG6#,$&% \"vG6#\"\"!!\"\"" }{TEXT -1 2 ") " }{TEXT 330 2 "o " }{TEXT -1 1 "(" } {XPPEDIT 18 0 "T[v[0]];" "6#&%\"TG6#&%\"vG6#\"\"!" }{TEXT -1 1 " " } {TEXT 331 1 "o" }{TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "L;" "6#%\"LG" }{TEXT -1 1 ")" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "sono l'applicazione identica, \+ e quindi " }{XPPEDIT 18 0 "L^(-1);" "6#)%\"LG,$\"\"\"!\"\"" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 328 2 "o " }{XPPEDIT 18 0 "T[-v[0]];" "6#&%\"TG6#,$&%\"vG 6#\"\"!!\"\"" }{TEXT -1 33 " \350 la trasformazione inversa di " } {XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 71 ". Per quanto visto sopra si tratta ancora di una trasformazione affine." }}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Esempio" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "f4 :=trasforma(figura,S(2,1)&*Rot(Pi/3)):f5:=trasforma(f4,Rot(-Pi/3)&*S(1 /2,1)):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "disegno(f5);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6$7'7$$\"\" \"\"\"!$\"2))***************!#<7$$\"\"$F*F(7$$\"3/+++++++=F-$\"3y***** *********>F-7$$\"3++++++++:F-F/F'-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"$F*F*F@-% (SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%&STYLEG6#%%LINEG-%+AXESLABELSG6$Q!6\"FL-%%V IEWG6$;$!\"'F*$\"\"'F*FQ" 1 6 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}}}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 36 "1.9 Trasformazioni, lungh ezze e aree" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "Le trasformazioni del pian o che conservano le distanze tra i punti sono dette " }{TEXT 308 9 "is ometrie" }{TEXT 338 12 " del piano. " }{TEXT -1 98 "E' facile vedere c he le traslazioni, le riflessioni e le rotazioni sono isometrie. Ad es empio, se " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 29 " \350 la rotaz ione di un angolo " }{XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 26 ", la distanza tra i punti " }{XPPEDIT 18 0 "T(a,b);" "6#-%\"TG6$%\"aG %\"bG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "T(c,d);" "6#-%\"TG6$%\"cG%\"d G" }{TEXT -1 35 " \350 la radice quadrata della somma " }{XPPEDIT 18 0 "(a[1]-c[1])^2+(b[1]-d[1])^2;" "6#,&*$,&&%\"aG6#\"\"\"F)&%\"cG6#F)! \"\"\"\"#F)*$,&&%\"bG6#F)F)&%\"dG6#F)F-F.F)" }{TEXT -1 4 " , " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "dove " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[a[1], b[ 1]]]) = matrix([[a, b]]);" "6#/-%'matrixG6#7#7$&%\"aG6#\"\"\"&%\"bG6#F ,-F%6#7#7$F*F." }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[cos(theta), sin(theta)], [-sin(theta), cos(theta)]]);" "6#-%'matrixG6#7$7$-%$cosG 6#%&thetaG-%$sinG6#F+7$,$-F-6#F+!\"\"-F)6#F+" }{TEXT -1 7 " e " } {XPPEDIT 18 0 "matrix([[c[1], d[1]]]) = matrix([[c, d]]);" "6#/-%'matr ixG6#7#7$&%\"cG6#\"\"\"&%\"dG6#F,-F%6#7#7$F*F." }{TEXT -1 3 " . " } {XPPEDIT 18 0 "matrix([[cos(theta), sin(theta)], [-sin(theta), cos(the ta)]]);" "6#-%'matrixG6#7$7$-%$cosG6#%&thetaG-%$sinG6#F+7$,$-F-6#F+!\" \"-F)6#F+" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "e quindi " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[a[1]-c[1], b[1]-d[1]]]) = matrix([[a-c, b-d]] );" "6#/-%'matrixG6#7#7$,&&%\"aG6#\"\"\"F-&%\"cG6#F-!\"\",&&%\"bG6#F-F -&%\"dG6#F-F1-F%6#7#7$,&F+F-F/F1,&F4F-F7F1" }{TEXT -1 3 " . " } {XPPEDIT 18 0 "matrix([[cos(theta), sin(theta)], [-sin(theta), cos(the ta)]]);" "6#-%'matrixG6#7$7$-%$cosG6#%&thetaG-%$sinG6#F+7$,$-F-6#F+!\" \"-F)6#F+" }{TEXT -1 2 " ." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "Dunque il q uadrato della distanza \350 dato dal prodotto matriciale" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[a-c, b-d]]);" "6#-%'mat rixG6#7#7$,&%\"aG\"\"\"%\"cG!\"\",&%\"bGF*%\"dGF," }{TEXT -1 3 " . " } {XPPEDIT 18 0 "matrix([[cos(theta), sin(theta)], [-sin(theta), cos(the ta)]]);" "6#-%'matrixG6#7$7$-%$cosG6#%&thetaG-%$sinG6#F+7$,$-F-6#F+!\" \"-F)6#F+" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[cos(theta), -sin (theta)], [sin(theta), cos(theta)]]);" "6#-%'matrixG6#7$7$-%$cosG6#%&t hetaG,$-%$sinG6#F+!\"\"7$-F.6#F+-F)6#F+" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[a-c], [b-d]]);" "6#-%'matrixG6#7$7#,&%\"aG\"\"\"%\"cG! \"\"7#,&%\"bGF*%\"dGF," }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 " che coincide con " }{XPPEDIT 18 0 "(a-c)^2+(b-d)^2;" "6#,&*$,&%\"aG\" \"\"%\"cG!\"\"\"\"#F'*$,&%\"bGF'%\"dGF)F*F'" }{TEXT -1 26 ", la distan za tra i punti " }{XPPEDIT 18 0 "P = (a, b);" "6#/%\"PG6$%\"aG%\"bG" } {TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "Q = (c, d);" "6#/%\"QG6$%\"cG%\"dG" } {TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 173 "Le isometrie lineari co nservano anche il prodotto scalare e quindi l'angolo tra i vettori. In oltre ogni isometria trasforma una regione piana in una regione di ugu ale area. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 126 "Quest'ultima propriet\340 \+ \350 soddisfatta anche da altre trasformazioni affini, come i tagli. I nfatti \350 sufficiente che la matrice " }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG " }{TEXT -1 30 " associata alla parte lineare " }{XPPEDIT 18 0 "L;" "6 #%\"LG" }{TEXT -1 29 " della trasformazione affine " }{XPPEDIT 18 0 "T = T[v[0]];" "6#/%\"TG&F$6#&%\"vG6#\"\"!" }{TEXT 312 3 " o " } {XPPEDIT 18 0 "L;" "6#%\"LG" }{TEXT -1 24 " abbia determinante 1 o " } {XPPEDIT 18 0 "-1;" "6#,$\"\"\"!\"\"" }{TEXT -1 2 ": " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "se " }{XPPEDIT 18 0 "A = matrix([[a, b], [c, d]]);" "6# /%\"AG-%'matrixG6#7$7$%\"aG%\"bG7$%\"cG%\"dG" }{TEXT -1 12 ", i vettor i " }{XPPEDIT 18 0 "v = [a, c];" "6#/%\"vG7$%\"aG%\"cG" }{TEXT -1 3 " \+ e " }{XPPEDIT 18 0 "w = [b, d];" "6#/%\"wG7$%\"bG%\"dG" }{TEXT -1 50 " sono le immagini dei vettori della base canonica " }{XPPEDIT 18 0 "[1 , 0];" "6#7$\"\"\"\"\"!" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "[0, 1];" "6 #7$\"\"!\"\"\"" }{TEXT -1 33 ". Il parallelogrammo definito da " } {XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "w;" "6# %\"wG" }{TEXT -1 9 " ha area " }{XPPEDIT 18 0 "abs(v)*abs(w)*abs(sin(t heta));" "6#*(-%$absG6#%\"vG\"\"\"-F%6#%\"wGF(-F%6#-%$sinG6#%&thetaGF( " }{TEXT -1 21 " , il cui quadrato \350 " }{XPPEDIT 18 0 "abs(v)^2*abs (w)^2*(1-cos(theta)^2) = abs(v)^2*abs(w)^2-abs(v.w)^2;" "6#/*(-%$absG6 #%\"vG\"\"#-F&6#%\"wGF),&\"\"\"F.*$-%$cosG6#%&thetaGF)!\"\"F.,&*&-F&6# F(F)-F&6#F,F)F.*$-F&6#-%\".G6$F(F,F)F4" }{TEXT 332 2 "= " }{XPPEDIT 18 0 "(a^2+c^2)*(b^2+d^2)-(a*b+c*d)^2 = (a*d-b*c)^2;" "6#/,&*&,&*$%\"a G\"\"#\"\"\"*$%\"cGF)F*F*,&*$%\"bGF)F**$%\"dGF)F*F*F**$,&*&F(F*F/F*F** &F,F*F1F*F*F)!\"\"*$,&*&F(F*F1F*F**&F/F*F,F*F6F)" }{TEXT -1 24 ", che \+ \350 il quadrato del " }{XPPEDIT 18 0 "det(A);" "6#-%$detG6#%\"AG" } {TEXT -1 111 ". Quindi il parallelogrammo ha area 1, come il quadrato \+ definito dai vettori della base canonica, se e solo se " }{XPPEDIT 18 0 "abs(det(A)) = 1;" "6#/-%$absG6#-%$detG6#%\"AG\"\"\"" }{TEXT -1 1 ". " }}{PARA 257 "" 0 "" {GLPLOT2D 163 176 176 {PLOTDATA 2 "6,-%'CURVESG6 $7$7$$\"\"\"\"\"!$\"1+++++++:!#:7$$\"1+++++++9F-$\"1+++++++q!#;-%'COLO URG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F*F*-%)POLYGONSG6#7&7$F*F*7$$\"\"#F*F(7$$\"\"$F*$ \"#DF:7$F($\"#:F:-%%TEXTG6%7$$\"\"'F:$\"#7F:%\"wG-%%FONTG6%%&TIMESG%'I TALICG\"#9-FL6%7$$\"#;F:FO%\"vGFT-FL6%7$$\"+++++]!#5F]o%\"JG-FU6#%'SYM BOLG-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6$%!GF[p-%*AXESTICKSG6$F* F*-%*AXESSTYLEG6#%'NORMALG-%%VIEWG6$%(DEFAULTGFfp" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 48.000000 42.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "Curve 3" "Cu rve 4" "Curve 5" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 "La traslazione natura lmente non cambia l'area della regione. Il segno del " }{XPPEDIT 18 0 "det(A);" "6#-%$detG6#%\"AG" }{TEXT -1 76 " indica l'orientazione del \+ parallelogrammo immagine: se \350 positivo l'angolo " }{XPPEDIT 18 0 " theta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 4 " da " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 3 " a " }{XPPEDIT 18 0 "w;" "6#%\"wG" }{TEXT -1 18 " \350 po sitivo (cio\350 " }{XPPEDIT 18 0 "w;" "6#%\"wG" }{TEXT -1 7 " segue " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 83 " in senso antiorario), alt rimenti l'angolo \350 negativo. Usando il teorema di Binet (" } {XPPEDIT 18 0 "det(A*B) = det(A)*det(B);" "6#/-%$detG6#*&%\"AG\"\"\"% \"BGF)*&-F%6#F(F)-F%6#F*F)" }{TEXT -1 48 ") si pu\362 facilmente veder e che l'immagine di un " }{TEXT 333 10 "qualunque " }{TEXT -1 16 "para llelogrammo " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 28 " ha area ugu ale al prodotto " }{XPPEDIT 18 0 "abs(det(A))*area(P);" "6#*&-%$absG6# -%$detG6#%\"AG\"\"\"-%%areaG6#%\"PGF+" }{TEXT -1 1 "." }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Applicazione: costruzione di oggetti geom etrici mediante 'istanze'" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Un oggetto g eometrico viene creato unendo pi\371 " }{TEXT 334 16 "elementi grafici " }{TEXT -1 69 " (quadrati, rettangoli, etc), a loro volta costruiti a partire dalle " }{TEXT 335 20 "primitive grafiche. " }{TEXT -1 37 "Pe r esempio, un quadrato di vertici (" }{XPPEDIT 18 0 "0,0;" "6$\"\"!F# " }{TEXT -1 4 "), (" }{XPPEDIT 18 0 "1,0;" "6$\"\"\"\"\"!" }{TEXT -1 4 "), (" }{XPPEDIT 18 0 "1,1;" "6$\"\"\"F#" }{TEXT -1 4 "), (" } {XPPEDIT 18 0 "0,1;" "6$\"\"!\"\"\"" }{TEXT -1 42 ") si pu\362 ottener e dalla primitiva grafica " }{TEXT 339 10 "segmento, " }{TEXT -1 47 "d efinita come il segmento con estremi i punti (" }{XPPEDIT 18 0 "0,0;" "6$\"\"!F#" }{TEXT -1 5 ") e (" }{XPPEDIT 18 0 "1,0;" "6$\"\"\"\"\"!" }{TEXT -1 19 "), unendo quattro '" }{TEXT 340 7 "istanze" }{TEXT -1 5 "' di " }{TEXT 341 8 "segmento" }{TEXT -1 106 ", cio\350 quattro copie della primitiva grafica alle quali vengono applicate una o pi\371 tra sformazioni affini:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 342 25 "se gmento := [[0,0],[1,0]]" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 343 14 "s1 := segmento" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 344 6 "s2 : = " }{XPPEDIT 18 0 "T[[1, 0]];" "6#&%\"TG6#7$\"\"\"\"\"!" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 346 2 "o " }{XPPEDIT 18 0 "Rot(Pi/2);" "6#-%$RotG6#*&%#PiG \"\"\"\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 1 "(" }{TEXT 345 9 "segmento)" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 349 6 "s3 \+ := " }{XPPEDIT 18 0 "T[[0, 1]];" "6#&%\"TG6#7$\"\"!\"\"\"" }{TEXT -1 1 "(" }{TEXT 350 9 "segmento)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 347 6 "s4 := " }{XPPEDIT 18 0 "Rot(Pi/2);" "6#-%$RotG6#*&%#PiG\"\"\"\" \"#!\"\"" }{TEXT -1 1 "(" }{TEXT 348 9 "segmento)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 351 28 "quadrato := \{s1, s2, s3, s4\}" }} {PAGEBK }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 49 "2. Coordinate omogenee e trasformazioni del piano" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 188 "Nella pri ma sezione si \350 visto come la composizione di applicazioni lineari \+ e di traslazioni porta ad una scomoda combinazione di prodotti matrici ali e di somme di vettori. Utilizzando le " }{TEXT 352 19 "coordinate \+ omogenee" }{TEXT -1 284 " per i punti del piano, la concatenazione di \+ trasformazioni affini si riduce al prodotto di opportune matrici 3x3. \+ Vedremo inoltre che l'uso delle coordinate omogenee non \350 solo un c omodo artificio di calcolo, ma ha un significato geometrico molto pi \371 profondo, legato al concetto di " }{TEXT 353 10 "proiezione" } {TEXT -1 16 " e a quello di '" }{TEXT 354 18 "punti all'infinito" } {TEXT -1 2 "'." }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 23 "2.1 Coordinate \+ omogenee" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Chiameremo " }{TEXT 355 19 "c oordinate omogenee" }{TEXT 356 0 "" }{TEXT -1 13 " di un punto " } {XPPEDIT 18 0 "P = (x, y);" "6#/%\"PG6$%\"xG%\"yG" }{TEXT -1 41 " del \+ piano una qualsiasi terna ordinata (" }{XPPEDIT 18 0 "X,Y,Z;" "6%%\"XG %\"YG%\"ZG" }{TEXT -1 27 ") di numeri reali tali che " }{XPPEDIT 18 0 "Z <> 0;" "6#0%\"ZG\"\"!" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "X/Z = x;" "6#/*&%\"XG\"\"\"%\"ZG!\"\"%\"xG" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "Y/Z = y;" "6#/*&%\"YG\"\"\"%\"ZG!\"\"%\"yG" }{TEXT -1 24 ". Ad esempio, l a terna (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y,1;" "6%%\"xG%\"yG\"\"\"" }{TEXT -1 22 " ) e ogni suo multiplo " }{XPPEDIT 18 0 "r*(x, y, 1) = (r*x, r*y, r);" "6#/*&%\"rG\"\"\"6%%\"xG%\"yGF&F&6%*&F%F&F(F&*&F%F&F)F&F%" }{TEXT -1 83 " (quest'ultima propriet\340 \350 la 'omogeneit\340' delle coordina te). Ad esempio, il punto " }{XPPEDIT 18 0 "Q = (3, 2);" "6#/%\"QG6$\" \"$\"\"#" }{TEXT -1 40 " del piano pu\362 essere rappresentato da (" } {XPPEDIT 18 0 "3,2,1;" "6%\"\"$\"\"#\"\"\"" }{TEXT -1 13 ") oppure da \+ (" }{XPPEDIT 18 0 "6,4,2;" "6%\"\"'\"\"%\"\"#" }{TEXT -1 8 "), etc. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Il prodotto matriciale" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[X[1], Y[1], Z[1]]]) = matrix([[X, Y, Z]]) ;" "6#/-%'matrixG6#7#7%&%\"XG6#\"\"\"&%\"YG6#F,&%\"ZG6#F,-F%6#7#7%F*F. F1" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[a, c, 0], [b, d, 0], [h , k, 1]]);" "6#-%'matrixG6#7%7%%\"aG%\"cG\"\"!7%%\"bG%\"dGF*7%%\"hG%\" kG\"\"\"" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "equivale alle \+ equazioni in coordinate omogenee" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "X [1] = a*X+b*Y+h*Z;" "6#/&%\"XG6#\"\"\",(*&%\"aGF'F%F'F'*&%\"bGF'%\"YGF 'F'*&%\"hGF'%\"ZGF'F'" }{TEXT -1 4 ", " }{XPPEDIT 18 0 "Y[1] = c*X+d *Y+k*Z;" "6#/&%\"YG6#\"\"\",(*&%\"cGF'%\"XGF'F'*&%\"dGF'F%F'F'*&%\"kGF '%\"ZGF'F'" }{TEXT -1 4 ", " }{XPPEDIT 18 0 "Z[1] = Z;" "6#/&%\"ZG6# \"\"\"F%" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "e in coordinat e non omogenee" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "x[1] = X[1]/Z[1];" "6#/&%\"xG6#\"\"\"*&&%\"XG6#F'F'&%\"ZG6#F'!\"\"" }{TEXT -1 2 " =" } {TEXT 358 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "a*X/Z+b*Y/Z+h*Z/Z = a*x+b*y+h;" "6#/,( *(%\"aG\"\"\"%\"XGF'%\"ZG!\"\"F'*(%\"bGF'%\"YGF'F)F*F'*(%\"hGF'F)F'F)F *F',(*&F&F'%\"xGF'F'*&F,F'%\"yGF'F'F/F'" }{TEXT -1 7 " e " } {XPPEDIT 18 0 "y[1] = Y[1]/Z[1];" "6#/&%\"yG6#\"\"\"*&&%\"YG6#F'F'&%\" ZG6#F'!\"\"" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "c*X/Z+d*Y/Z+k*Z/Z = c*x +d*y+k;" "6#/,(*(%\"cG\"\"\"%\"XGF'%\"ZG!\"\"F'*(%\"dGF'%\"YGF'F)F*F'* (%\"kGF'F)F'F)F*F',(*&F&F'%\"xGF'F'*&F,F'%\"yGF'F'F/F'" }{TEXT -1 1 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 166 "Dunque ogni trasformazione affine de l piano pu\362 essere espressa mediante un prodotto matriciale con mat rici 3x3 della forma scritta sopra. Ad esempio, la traslazione " } {XPPEDIT 18 0 "T[[2, 5]];" "6#&%\"TG6#7$\"\"#\"\"&" }{TEXT -1 75 " si \+ ottiene moltiplicando la terna delle coordinate omogenee per la matric e" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [2 , 5, 1]]);" "6#-%'matrixG6#7%7%\"\"\"\"\"!F)7%F)F(F)7%\"\"#\"\"&F(" } {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 22 "2.2 Punti all'in finito" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "Due rette parallele contenute i n un piano non si incontrano. Se per\362 si considerano le " }{TEXT 357 10 "proiezioni" }{TEXT -1 93 " di due rette parallele su un second o piano non parallelo al primo (proiettando da un centro " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 157 " non appartenente ai due piani), al lora le rette si intersecano in un punto (per convincersene, basta sed ersi 'mentalmente'(!) sui binari della ferrovia...)." }}{PARA 257 "" 0 "" {GLPLOT3D 418 346 346 {PLOTDATA 3 "6,-%'CURVESG6$7'7%$!\"\"\"\"!$ \"\")F*F*7%F(F*F*7%F*$\"\"\"F*$\"\"%F*7%F/F*F*7%F/F+F*-%*THICKNESSG6# \"\"#-F$6$7$7%F*$!\"(F*F17%F($\"\"&F*F*-%*LINESTYLEGF7-F$6#7'7%F@F/F@7 %$!\"&F*F/F@7%FIF(FI7%F@F(FIFG-F$6#7'7%F@F*F*7%F@F+F*7%FIF+F*7%FIF*F*F P-F$6$7$F<7%F*F+F1-FC6#\"\"$-F$6$7$F<7%F/$FZF*F*FB-F$6$7$F<7%F/$\"\"(F *F*FB-%(SCALINGG6#%.UNCONSTRAINEDG-%'COLOURG6&%$RGBGF*F*F*-%%VIEWG6%;F IF@;$!\")F*F+;$!\"'F*$\"\"'F*" 1 2 0 1 10 0 2 6 1 1 2 1.000000 44.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "Curve 3" "Curve 4" "Curve 5" "Curve 6" "Curve 7" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 129 "Per trattare \+ correttamente i 'punti all'infinito' e le proiezioni tra piani convien e estendere il piano aggiungendo i cosiddetti " }{TEXT 359 14 "punti i mpropri" }{TEXT -1 23 ". Scegliamo coordinate " }{XPPEDIT 18 0 "X,Y,Z; " "6%%\"XG%\"YG%\"ZG" }{TEXT -1 4 " in " }{XPPEDIT 18 0 "R^3;" "6#*$% \"RG\"\"$" }{TEXT -1 27 " e identifichiamo i punti (" }{XPPEDIT 18 0 " x,y;" "6$%\"xG%\"yG" }{TEXT -1 36 ") del piano cartesiano con i punti \+ (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y,1;" "6%%\"xG%\"yG\"\"\"" }{TEXT -1 25 ") del pi ano di equazione " }{XPPEDIT 18 0 "Z = 1;" "6#/%\"ZG\"\"\"" }{TEXT -1 92 " nello spazio. Ogni punto del piano \350 in corrispondenza con un' unica retta per l'origine in " }{XPPEDIT 18 0 "R^3;" "6#*$%\"RG\"\"$" }{TEXT -1 44 ", la retta che contiene il punto. Chiamiamo " }{TEXT 360 16 "piano proiettivo" }{TEXT 361 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "P^2;" "6#*$ %\"PG\"\"#" }{TEXT -1 40 " l'insieme delle rette per l'origine di " } {XPPEDIT 18 0 "R^3;" "6#*$%\"RG\"\"$" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Ogni retta per " }{XPPEDIT 18 0 "O;" "6#%\"OG" }{TEXT -1 43 " \350 identificata da un suo qualsiasi punto (" }{XPPEDIT 18 0 "X,Y,Z;" "6%%\"XG%\"YG%\"ZG" }{TEXT -1 14 ") distinto da " }{XPPEDIT 18 0 "O;" "6#%\"OG" }{TEXT -1 11 ", cio\350 con " }{XPPEDIT 18 0 "X,Y, Z;" "6%%\"XG%\"YG%\"ZG" }{TEXT -1 29 " non tutti nulli. Due terne (" } {XPPEDIT 18 0 "X,Y,Z;" "6%%\"XG%\"YG%\"ZG" }{TEXT -1 5 ") e (" } {XPPEDIT 18 0 "X[1],Y[1],Z[1];" "6%&%\"XG6#\"\"\"&%\"YG6#F&&%\"ZG6#F& " }{TEXT -1 24 ") individuano lo stesso " }{TEXT 362 11 "'punto' di " }{XPPEDIT 18 0 "P^2;" "6#*$%\"PG\"\"#" }{TEXT -1 27 " (cio\350 la stes sa retta per " }{XPPEDIT 18 0 "O;" "6#%\"OG" }{TEXT -1 48 ") se e solo se esiste un numero reale non nullo " }{XPPEDIT 18 0 "k;" "6#%\"kG" } {TEXT -1 10 " tale che " }{XPPEDIT 18 0 "X[1] = k*X,Y[1] = k*Y,Z[1] = \+ k*Z;" "6%/&%\"XG6#\"\"\"*&%\"kGF'F%F'/&%\"YG6#F'*&F)F'F,F'/&%\"ZG6#F'* &F)F'F1F'" }{TEXT -1 14 ". Chiameremo (" }{XPPEDIT 18 0 "X,Y,Z;" "6%% \"XG%\"YG%\"ZG" }{TEXT -1 2 ") " }{TEXT 363 19 "coordinate omogenee" } {TEXT -1 17 " della retta per " }{XPPEDIT 18 0 "O;" "6#%\"OG" }{TEXT -1 35 ", cio\350 del punto corrispondente di " }{XPPEDIT 18 0 "P^2;" " 6#*$%\"PG\"\"#" }{TEXT -1 15 ". Ad esempio, (" }{XPPEDIT 18 0 "3,2,1; " "6%\"\"$\"\"#\"\"\"" }{TEXT -1 5 ") e (" }{XPPEDIT 18 0 "6,4,2;" "6% \"\"'\"\"%\"\"#" }{TEXT -1 64 ") sono coordinate omogenee della retta \+ di equazioni parametriche" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "X = 3*t, Y = 2*t,Z = t;" "6%/%\"XG*&\"\"$\"\"\"%\"tGF'/%\"YG*&\"\"#F'F(F'/%\"ZG F(" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "che \350 il punto de l piano proiettivo " }{XPPEDIT 18 0 "P^2;" "6#*$%\"PG\"\"#" }{TEXT -1 25 " corrispondente al punto " }{XPPEDIT 18 0 "Q = (3, 2);" "6#/%\"QG6 $\"\"$\"\"#" }{TEXT -1 12 " nel piano. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Coordinate omogenee della forma (" }{XPPEDIT 18 0 "X,Y,0;" "6%%\"X G%\"YG\"\"!" }{TEXT -1 83 ") non corrispondono a un punto del piano ca rtesiano, ma rappresentano i cosiddetti " }{TEXT 364 14 "punti impropr i" }{TEXT -1 62 " del piano proiettivo. Ogni punto improprio corrispon de a una " }{TEXT 366 9 "direzione" }{TEXT -1 67 " nel piano cartesian o, quella delle rette parallele alla retta per " }{XPPEDIT 18 0 "O;" " 6#%\"OG" }{TEXT -1 25 " di coordinate omogenee (" }{XPPEDIT 18 0 "X,Y, 0;" "6%%\"XG%\"YG\"\"!" }{TEXT -1 44 "). Possiamo considerare il punto improprio (" }{XPPEDIT 18 0 "X,Y,0;" "6%%\"XG%\"YG\"\"!" }{TEXT -1 10 ") come il " }{TEXT 365 18 "punto all'infinito" }{TEXT -1 48 " dell e rette del piano cartesiano con direzione " }{XPPEDIT 18 0 "v = (X, Y );" "6#/%\"vG6$%\"XG%\"YG" }{TEXT -1 44 ". Infatti, la retta del piano passante per (" }{XPPEDIT 18 0 "a,b;" "6$%\"aG%\"bG" }{TEXT -1 18 ") \+ e con direzione " }{XPPEDIT 18 0 "v = (X, Y)" "6#/%\"vG6$%\"XG%\"YG" } {TEXT -1 26 " ha equazioni parametriche" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "(x(t), y(t)) = (a+t*X, b+t*Y);" "6#/6$-%\"xG6#%\"tG-%\"yG6#F(6$, &%\"aG\"\"\"*&F(F/%\"XGF/F/,&%\"bGF/*&F(F/%\"YGF/F/" }{TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Il punto " }{XPPEDIT 18 0 "P(t) = (x(t), y (t));" "6#/-%\"PG6#%\"tG6$-%\"xG6#F'-%\"yG6#F'" }{TEXT -1 36 " sulla r etta ha coordinate omogenee " }{XPPEDIT 18 0 "1/t;" "6#*&\"\"\"F$%\"tG !\"\"" }{TEXT -1 0 "" }{XPPEDIT 18 0 "(a+t*X, b+t*Y, 1) = (a/t+X, b/t+ Y, 1/t);" "6#/6%,&%\"aG\"\"\"*&%\"tGF'%\"XGF'F',&%\"bGF'*&F)F'%\"YGF'F 'F'6%,&*&F&F'F)!\"\"F'F*F',&*&F,F'F)F2F'F.F'*&F'F'F)F2" }{TEXT -1 5 " \+ per " }{XPPEDIT 18 0 "t <> 0;" "6#0%\"tG\"\"!" }{TEXT -1 16 ". Al tend ere di " }{XPPEDIT 18 0 "t;" "6#%\"tG" }{TEXT -1 78 " all'infinito, ta li coordinate omogenee tendono a quelle del punto improprio (" } {XPPEDIT 18 0 "X,Y,0;" "6%%\"XG%\"YG\"\"!" }{TEXT -1 2 ")." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Possiamo dunque considerare il piano proiettivo \+ " }{XPPEDIT 18 0 "P^2;" "6#*$%\"PG\"\"#" }{TEXT -1 160 " come un'esten sione del piano cartesiano, al quale vengono aggiunti tutti i punti al l'infinito delle rette del piano (uno per ogni famiglia di rette paral lele)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Ogni retta " }{XPPEDIT 18 0 "l; " "6#%\"lG" }{TEXT -1 56 " del piano cartesiano, considerata come sott oinsieme di " }{XPPEDIT 18 0 "P^2;" "6#*$%\"PG\"\"#" }{TEXT -1 49 ", c ontiene un punto improprio, l'unica retta per " }{XPPEDIT 18 0 "O;" "6 #%\"OG" }{TEXT -1 13 " parallela a " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" } {TEXT -1 5 ". Se " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" }{TEXT -1 13 " ha equ azione" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "a*x+b*y+c = 0;" "6#/,(*&%\" aG\"\"\"%\"xGF'F'*&%\"bGF'%\"yGF'F'%\"cGF'\"\"!" }{TEXT -1 1 "," }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "in coordinate omogenee ha equazione" }} {PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "a*X/Z+b*Y/Z+c = 0;" "6#/,(*(%\"aG\"\" \"%\"XGF'%\"ZG!\"\"F'*(%\"bGF'%\"YGF'F)F*F'%\"cGF'\"\"!" }{TEXT -1 13 ", ovvero " }{XPPEDIT 18 0 "a*X+b*Y+c*Z = 0;" "6#/,(*&%\"aG\"\"\"% \"XGF'F'*&%\"bGF'%\"YGF'F'*&%\"cGF'%\"ZGF'F'\"\"!" }{TEXT -1 13 " (i punti (" }{XPPEDIT 18 0 "X,Y,Z;" "6%%\"XG%\"YG%\"ZG" }{TEXT -1 49 ") \+ dello spazio formano un piano per l'origine in " }{XPPEDIT 18 0 "R^3; " "6#*$%\"RG\"\"$" }{TEXT -1 1 ")" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "Il s uo punto improprio si ottiene ponendo " }{XPPEDIT 18 0 "Z = 0;" "6#/% \"ZG\"\"!" }{TEXT -1 26 ": ha coordinate omogenee (" }{XPPEDIT 18 0 "b ,-a,0;" "6%%\"bG,$%\"aG!\"\"\"\"!" }{TEXT -1 39 "), corrispondente al \+ vettore direzione " }{XPPEDIT 18 0 "v = (b, -a);" "6#/%\"vG6$%\"bG,$% \"aG!\"\"" }{TEXT -1 25 ". Ogni retta parallela a " }{XPPEDIT 18 0 "l; " "6#%\"lG" }{TEXT -1 37 " ha equazione cartesiana della forma " } {XPPEDIT 18 0 "a*x+b*y+d = 0;" "6#/,(*&%\"aG\"\"\"%\"xGF'F'*&%\"bGF'% \"yGF'F'%\"dGF'\"\"!" }{TEXT -1 11 ", e quindi " }{XPPEDIT 18 0 "a*X+b *Y+c*Z = 0;" "6#/,(*&%\"aG\"\"\"%\"XGF'F'*&%\"bGF'%\"YGF'F'*&%\"cGF'% \"ZGF'F'\"\"!" }{TEXT -1 92 " in coordinate omogenee. Due rette parall ele hanno sempre intersezione nel punto improprio (" }{XPPEDIT 18 0 "b ,-a,0;" "6%%\"bG,$%\"aG!\"\"\"\"!" }{TEXT -1 2 ")." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 367 8 "Esempio:" }{TEXT -1 10 " le rette " }{XPPEDIT 18 0 "3*x+6 *y+4 = 0;" "6#/,(*&\"\"$\"\"\"%\"xGF'F'*&\"\"'F'%\"yGF'F'\"\"%F'\"\"! " }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "x+2*y+4 = 0;" "6#/,(%\"xG\"\"\"*& \"\"#F&%\"yGF&F&\"\"%F&\"\"!" }{TEXT -1 23 " hanno punto improprio " } {XPPEDIT 18 0 "(6, -3, 0) = (2, -1, 0);" "6#/6%\"\"',$\"\"$!\"\"\"\"!6 %\"\"#,$\"\"\"F(F)" }{TEXT -1 51 ". Sono quindi rette parallele del pi ano cartesiano." }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 51 "2.3 Trasforma zioni del piano in coordinate omogenee" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 338 "Come si \350 visto in 2.1, ogni trasformazione affine del piano p u\362 essere ottenuta mediante un prodotto matriciale con matrici 3x3. Una conseguenza di questo fatto \350 che alla concatenazione di trasf ormazioni corrisponde il prodotto delle matrici 3x3 e che la trasforma zione inversa \350 rappresentata dalla matrice inversa (quando esiste) . Se " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[X[1], Y[1], Z[1]]]) " "6#-%'matrixG6#7#7%&%\"XG6#\"\"\"&%\"YG6#F+&%\"ZG6#F+" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[X, Y, Z]]).A;" "6#-%\".G6$-%'matrixG6#7# 7%%\"XG%\"YG%\"ZG%\"AG" }{TEXT -1 11 " e " }{XPPEDIT 18 0 "mat rix([[X[2], Y[2], Z[2]]]);" "6#-%'matrixG6#7#7%&%\"XG6#\"\"#&%\"YG6#F+ &%\"ZG6#F+" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[X[1], Y[1], Z[1 ]]]).B;" "6#-%\".G6$-%'matrixG6#7#7%&%\"XG6#\"\"\"&%\"YG6#F.&%\"ZG6#F. %\"BG" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "con " }{XPPEDIT 18 0 "A = matrix([[a, c, 0], [b, d, 0], [h, k, 1]]);" "6#/%\"AG-%'matr ixG6#7%7%%\"aG%\"cG\"\"!7%%\"bG%\"dGF,7%%\"hG%\"kG\"\"\"" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "B = matrix([[a[1], c[1], 0], [b[1], d[1], 0], [l , m, 1]]);" "6#/%\"BG-%'matrixG6#7%7%&%\"aG6#\"\"\"&%\"cG6#F-\"\"!7%&% \"bG6#F-&%\"dG6#F-F17%%\"lG%\"mGF-" }{TEXT -1 9 ", allora " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[X[2], Y[2], Z[2]]]);" "6#-%'matrixG6#7#7%&%\"XG6#\"\"#& %\"YG6#F+&%\"ZG6#F+" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[X, Y, \+ Z]]).(A*B);" "6#-%\".G6$-%'matrixG6#7#7%%\"XG%\"YG%\"ZG*&%\"AG\"\"\"% \"BGF0" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "Dunque la conc atenazione " }{XPPEDIT 18 0 "T*S;" "6#*&%\"TG\"\"\"%\"SGF%" }{TEXT -1 70 " di due trasformazioni affini si ottiene mediante la matrice prodo tto " }{XPPEDIT 18 0 "A*B;" "6#*&%\"AG\"\"\"%\"BGF%" }{TEXT -1 32 " (n ello stesso ordine). Inoltre " }{XPPEDIT 18 0 "T*S = Id;" "6#/*&%\"TG \"\"\"%\"SGF&%#IdG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "S*T = Id;" "6#/* &%\"SG\"\"\"%\"TGF&%#IdG" }{TEXT -1 14 " se e solo se " }{XPPEDIT 18 0 "A*B = I[3];" "6#/*&%\"AG\"\"\"%\"BGF&&%\"IG6#\"\"$" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "B*A = I[3];" "6#/*&%\"BG\"\"\"%\"AGF&&%\"IG6#\"\"$ " }{TEXT -1 7 ", cio\350 " }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" }{TEXT -1 27 " \350 invertibile con inversa " }{XPPEDIT 18 0 "B;" "6#%\"BG" }{TEXT -1 24 ". Questo avviene quando " }{XPPEDIT 18 0 "det(A) <> 0;" "6#0-%$ detG6#%\"AG\"\"!" }{TEXT -1 45 ", determinante che coincide col determ inante " }{XPPEDIT 18 0 "a*d-b*c;" "6#,&*&%\"aG\"\"\"%\"dGF&F&*&%\"bGF &%\"cGF&!\"\"" }{TEXT -1 56 " della matrice 2x2 associata alla compone nte lineare di " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 1 "." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 "Vediamo ora, per le varie classi di tras formazioni che ci interessano, l'espressione in coordinate omogenee." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Traslazioni" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "La matrice 3x3 " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T(h,k) = matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [h, \+ k, 1]]);" "6#/-%\"TG6$%\"hG%\"kG-%'matrixG6#7%7%\"\"\"\"\"!F/7%F/F.F/7 %F'F(F." }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "rappresenta la \+ traslazione definita dal vettore " }{XPPEDIT 18 0 "v[0] = (h, k);" "6# /&%\"vG6#\"\"!6$%\"hG%\"kG" }{TEXT -1 9 ". Infatti" }}{PARA 257 "" 0 " " {XPPEDIT 18 0 "matrix([[x, y, 1]]);" "6#-%'matrixG6#7#7%%\"xG%\"yG\" \"\"" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], \+ [h, k, 1]]) = matrix([[x+h, y+k, 1]]);" "6#/-%'matrixG6#7%7%\"\"\"\"\" !F*7%F*F)F*7%%\"hG%\"kGF)-F%6#7#7%,&%\"xGF)F-F),&%\"yGF)F.F)F)" } {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Esempio" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "with(linalg):" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "figura:=matrix([[1,1],[3,1],[1.8,2],[1.5,3],[1 ,1]]);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%'figuraG-%'matrixG6#7'7$\" \"\"F*7$\"\"$F*7$$\"#=!\"\"\"\"#7$$\"#:F0F,F)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 88 "disegno:=f->plot(convert(f,listlist),view=[-6..6 ,-6..6],scaling=CONSTRAINED,style=LINE):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 89 "trasforma:=(f,m)->delcols(evalm(augment(f,vector(rowd im(f),1))&*m),rowdim(m)..rowdim(m)):" }{TEXT -1 86 "la funzione che es egue la trasformazione \350 modificata per usare le coordinate omogene e" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "T:=(h,k)->matrix(3,3,[[1,0,0], [0,1,0],[h,k,1]]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "f1:=trasforma (figura,T(2,1));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#f1G-%'matrixG6# 7'7$\"\"$\"\"#7$\"\"&F+7$$\"#Q!\"\"$F*\"\"!7$$\"#NF1$\"\"%F3F)" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "disegni:=l->plots[display](m ap(disegno,l)):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "disegni(\{figura , f1\});" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'C URVESG6%7'7$$\"\"\"\"\"!F(7$$\"\"$F*F(7$$\"3/+++++++=!#<$\"\"#F*7$$\"3 ++++++++:F1F,F'-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"$F*F*F>-%&STYLEG6#%%LINEG-F $6%7'7$F,F27$$\"\"&F*F27$$\"3#)*************z$F1F,7$$\"3++++++++NF1$\" \"%F*FFF7F?-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%Q!6\"FY%(DEFAULT G-%%VIEWG6$;$!\"'F*$\"\"'F*Fin" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Cambiam enti di scala" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "La matrice che rappresen ta il cambiamento di scala centrato nell'origine, con fattori " } {XPPEDIT 18 0 "s[x];" "6#&%\"sG6#%\"xG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "s[y];" "6#&%\"sG6#%\"yG" }{TEXT -1 23 " \350 la matrice diagonal e" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "S(s[x],s[y]) = matrix([[s[x], 0, 0], [0, s[y], 0], [0, 0, 1]]);" "6#/-%\"SG6$&%\"sG6#%\"xG&F(6#%\"yG-% 'matrixG6#7%7%&F(6#F*\"\"!F57%F5&F(6#F-F57%F5F5\"\"\"" }{TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Esempio" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "S:=(sx,sy)->matrix(3,3,[[sx,0,0],[0,sy,0],[0,0,1 ]]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "disegni(\{figura,trasforma( figura,S(2,1))\});" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6%7'7$$\"\"\"\"\"!F(7$$\"\"$F*F(7$$\"3/++++++ +=!#<$\"\"#F*7$$\"3++++++++:F1F,F'-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"$F*F*F>- %&STYLEG6#%%LINEG-F$6%7'7$F2F(7$$\"\"'F*F(7$$\"33+++++++OF1F27$F,F,FFF 7F?-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%Q!6\"FU%(DEFAULTG-%%VIEW G6$;$!\"'F*FHFen" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Rotazioni" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 49 "Per le rotazioni attorno all'origine la matrice \350" } }{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "Rot[0](theta) = matrix([[cos(theta), sin(theta), 0], [-sin(theta), cos(theta), 0], [0, 0, 1]]);" "6#/-&%$R otG6#\"\"!6#%&thetaG-%'matrixG6#7%7%-%$cosG6#F*-%$sinG6#F*F(7%,$-F46#F *!\"\"-F16#F*F(7%F(F(\"\"\"" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Per le rotazioni attorno a un punto qualsiasi " }{XPPEDIT 18 0 "P[0] = (x[0], y[0]);" "6#/&%\"PG6#\"\"!6$&%\"xG6#F'&%\"yG6#F'" } {TEXT -1 50 " bisogna comporre con due traslazioni per portare " } {XPPEDIT 18 0 "P[0];" "6#&%\"PG6#\"\"!" }{TEXT -1 13 " nell'origine" } }{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "Rot[x[0],y[0]](theta) = T(-x[0],-y[0 ])*Rot[0](theta)*T(x[0],y[0]);" "6#/-&%$RotG6$&%\"xG6#\"\"!&%\"yG6#F+6 #%&thetaG*(-%\"TG6$,$&F)6#F+!\"\",$&F-6#F+F8\"\"\"-&F&6#F+6#F0F<-F36$& F)6#F+&F-6#F+F<" }{TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Esempio" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 91 "Rot:=(x0,y0,t)-> T(-x0,-y0)&*matrix(3,3,[cos(t),sin(t),0,-sin(t),cos(t),0,0,0,1])&*T(x0 ,y0):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "f1:=trasforma(figura,Rot(1 ,1,Pi/2));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#f1G-%'matrixG6#7'7$\" \"\"F*7$F*\"\"$7$$\"\"!F/$\"#=!\"\"7$$F2F/$\"#:F2F)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "disegni(\{figura,f1\});" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6%7'7$$\"\"\"\"\"!F( 7$$\"\"$F*F(7$$\"3/+++++++=!#<$\"\"#F*7$$\"3++++++++:F1F,F'-%'COLOURG6 &%$RGBG$\"#5!\"\"$F*F*F>-%&STYLEG6#%%LINEG-F$6%7'F'7$F(F,7$F>F/7$$F=F* F5F'F7F?-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%Q!6\"FQ%(DEFAULTG-% %VIEWG6$;$!\"'F*$\"\"'F*FW" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 32 "Riflession e rispetto a una retta" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "La riflessione \+ rispetto alla retta " }{XPPEDIT 18 0 "r;" "6#%\"rG" }{TEXT -1 27 " di \+ equazioni parametriche " }{XPPEDIT 18 0 "P(t) = P[0]+t*v;" "6#/-%\"PG6 #%\"tG,&&F%6#\"\"!\"\"\"*&F'F,%\"vGF,F," }{TEXT -1 6 " (con " } {XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 11 " unitario: " }{XPPEDIT 18 0 "v[1]^2+v[2]^2 = 1;" "6#/,&*$&%\"vG6#\"\"\"\"\"#F)*$&F'6#F*F*F)F)" } {TEXT -1 54 ") viene ricondotta alla riflessione rispetto all'asse " } {XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 27 " componendo la traslazione \+ " }{XPPEDIT 18 0 "T(-x[0],-y[0])" "6#-%\"TG6$,$&%\"xG6#\"\"!!\"\",$&% \"yG6#F*F+" }{TEXT -1 12 ", che porta " }{XPPEDIT 18 0 "P[0];" "6#&%\" PG6#\"\"!" }{TEXT -1 64 " nell'origine, con la rotazione attorno all'o rigine dell'angolo " }{XPPEDIT 18 0 "-theta;" "6#,$%&thetaG!\"\"" } {TEXT -1 7 ", dove " }{XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 57 " \350 l'angolo che la retta forma con l'asse positivo delle " } {XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 36 ". Dopo aver eseguito la rif lessione " }{XPPEDIT 18 0 "R[x];" "6#&%\"RG6#%\"xG" }{TEXT -1 130 ", \+ \350 sufficiente comporre con le trasformazioni inverse della rotazion e e della traslazione per ottenere la riflessione rispetto a " } {XPPEDIT 18 0 "r;" "6#%\"rG" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Dunque " }{XPPEDIT 18 0 "R = T[[-x[0], -y[0]]]*Rot[0,0](-theta)* S(1,-1)*Rot[0,0](theta)*T[[x[0], y[0]]];" "6#/%\"RG*,&%\"TG6#7$,$&%\"x G6#\"\"!!\"\",$&%\"yG6#F.F/\"\"\"-&%$RotG6$F.F.6#,$%&thetaGF/F4-%\"SG6 $F4,$F4F/F4-&F76$F.F.6#F;F4&F'6#7$&F,6#F.&F26#F.F4" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "L'angolo " }{XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 36 " \350 caratterizzato dalle condizioni " }{XPPEDIT 18 0 "cos(theta ) = v[1];" "6#/-%$cosG6#%&thetaG&%\"vG6#\"\"\"" }{TEXT -1 2 ", " } {XPPEDIT 18 0 "sin(theta) = v[2];" "6#/-%$sinG6#%&thetaG&%\"vG6#\"\"# " }{TEXT -1 20 ". Quindi la matrice " }{XPPEDIT 18 0 "Rot[0,0](-theta) ;" "6#-&%$RotG6$\"\"!F'6#,$%&thetaG!\"\"" }{TEXT -1 18 " della rotazio ne \350" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[v[1], -v[2], 0], \+ [v[2], v[1], 0], [0, 0, 1]]);" "6#-%'matrixG6#7%7%&%\"vG6#\"\"\",$&F)6 #\"\"#!\"\"\"\"!7%&F)6#F/&F)6#F+F17%F1F1F+" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "e quindi la matrice associata alla riflessione \350 il prodotto " }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [-x[0], -y[0], 1]])*matrix([[v[1], -v[2], 0], [v[2], v[1], 0], [0, 0, 1]])*matrix([[1, 0, 0], [0, -1, 0], [0, 0, 1]])*matrix([[v [1], v[2], 0], [-v[2], v[1], 0], [0, 0, 1]])*matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [x[0], y[0], 1]]);" "6#*,-%'matrixG6#7%7%\"\"\"\"\"!F*7%F*F)F*7%, $&%\"xG6#F*!\"\",$&%\"yG6#F*F1F)F)-F%6#7%7%&%\"vG6#F),$&F;6#\"\"#F1F*7 %&F;6#F@&F;6#F)F*7%F*F*F)F)-F%6#7%7%F)F*F*7%F*,$F)F1F*7%F*F*F)F)-F%6#7 %7%&F;6#F)&F;6#F@F*7%,$&F;6#F@F1&F;6#F)F*7%F*F*F)F)-F%6#7%7%F)F*F*7%F* F)F*7%&F/6#F*&F46#F*F)F)" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "cio\350 la matrice" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[v[ 1]^2-v[2]^2, 2*v[1]*v[2], 0], [2*v[1]*v[2], v[2]^2-v[1]^2, 0], [2*v[2] *(x[0]*v[2]-y[0]*v[1]), 2*v[1]*(-x[0]*v[2]+y[0]*v[1]), 1]]);" "6#-%'ma trixG6#7%7%,&*$&%\"vG6#\"\"\"\"\"#F-*$&F+6#F.F.!\"\"*(F.F-&F+6#F-F-&F+ 6#F.F-\"\"!7%*(F.F-&F+6#F-F-&F+6#F.F-,&*$&F+6#F.F.F-*$&F+6#F-F.F2F87%* (F.F-&F+6#F.F-,&*&&%\"xG6#F8F-&F+6#F.F-F-*&&%\"yG6#F8F-&F+6#F-F-F2F-*( F.F-&F+6#F-F-,&*&&FM6#F8F-&F+6#F.F-F2*&&FS6#F8F-&F+6#F-F-F-F-F-" } {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 1 "." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 140 "m:=eval m(T(-x[0],-y[0])&*matrix(3,3,[v[1],-v[2],0,v[2],v[1],0,0,0,1])&*S(1,-1 )&*matrix(3,3,[v[1],v[2],0,-v[2],v[1],0,0,0,1])&*T(x[0],y[0]));" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"mG-%'matrixG6#7%7%,&*$)&%\"vG6#\" \"\"\"\"#F0F0*$)&F.6#F1F1F0!\"\",$*&F-F0F4F0F1\"\"!7%F7,&F2F0F+F6F97%, (*&,&*&&%\"xG6#F9F0F-F0F6*&&%\"yGFCF0F4F0F6F0F-F0F0*&,&*&FAF0F4F0F6*&F EF0F-F0F0F0F4F0F6FAF0,(*&F?F0F4F0F0*&FHF0F-F0F0FEF0F0" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 69 "Per ottenere la m atrice della riflessione a partire dai coefficienti " }{XPPEDIT 18 0 " a,b,c;" "6%%\"aG%\"bG%\"cG" }{TEXT -1 28 " di un'equazione cartesiana \+ " }{XPPEDIT 18 0 "a*x+b*y+c = 0;" "6#/,(*&%\"aG\"\"\"%\"xGF'F'*&%\"bGF '%\"yGF'F'%\"cGF'\"\"!" }{TEXT -1 4 " di " }{XPPEDIT 18 0 "r;" "6#%\"r G" }{TEXT -1 28 ", basta fare le sostituzioni" }}{PARA 11 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "v[1] = -b/sqrt(a^2+b^2),v[2] = a/sqrt(a^2+b^2),-v[2]*x[ 0]+v[1]*y[0] = c/sqrt(a^2+b^2);" "6%/&%\"vG6#\"\"\",$*&%\"bGF'-%%sqrtG 6#,&*$%\"aG\"\"#F'*$F*F1F'!\"\"F3/&F%6#F1*&F0F'-F,6#,&*$F0F1F'*$F*F1F' F3/,&*&&F%6#F1F'&%\"xG6#\"\"!F'F3*&&F%6#F'F'&%\"yG6#FEF'F'*&%\"cGF'-F, 6#,&*$F0F1F'*$F*F1F'F3" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 " e ottenere la matrice" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "R[a,b,c] = 1 /(a^2+b^2);" "6#/&%\"RG6%%\"aG%\"bG%\"cG*&\"\"\"F+,&*$F'\"\"#F+*$F(F.F +!\"\"" }{TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[b^2-a^2, -2*a*b, 0], [-2*a*b, a^2-b^2, 0], [-2*a*c, -2*b*c, a^2+b^2]]);" "6#-%'matrixG6#7% 7%,&*$%\"bG\"\"#\"\"\"*$%\"aGF+!\"\",$*(F+F,F.F,F*F,F/\"\"!7%,$*(F+F,F .F,F*F,F/,&*$F.F+F,*$F*F+F/F27%,$*(F+F,F.F,%\"cGF,F/,$*(F+F,F*F,F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 107 "simplify(subs(\{v[1]=-b/sqrt(a^2+b^2),v[2]=a/sqrt(a^2+b^2),-v[2]*x[0] +v[1]*y[0]=c/sqrt(a^2+b^2)\},evalm(m)));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'matrixG6#7%7%,$*&,&*$)%\"bG\"\"#\"\"\"!\"\"*$)%\"aGF.F/F/F/,& F1F/F+F/F0F0,$*&*&F-F/F3F/F/F4F0!\"#\"\"!7%F5F)F97%*&*&F3F/,(*&&%\"xG6 #F9F/F3F/F/*&&%\"yGFBF/F-F/F/%\"cGF0F/F/F4F0*&*&F-F/F>F/F/F4F0F/" }}} {PARA 11 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Esempio" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 98 "R:=(a,b,c)->matr ix(3,3,[[b^2-a^2,-2*a*b,0],[-2*a*b,a^2-b^2,0],[-2*a*c,-2*b*c,a^2+b^2]] )/(a^2+b^2):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "disegni(\{f igura,trasforma(figura,R(1,1,-2))\});" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6%7'7$$\"\"\"\"\"!F(7$$\"\"$F*F(7 $$\"3/+++++++=!#<$\"\"#F*7$$\"3++++++++:F1F,F'-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5! \"\"$F*F*F>-%&STYLEG6#%%LINEG-F$6%7'F'7$F($F=F*7$F>$\"35+++++++?!#=7$F G$\"3++++++++]FKF'F7F?-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%Q!6\" FV%(DEFAULTG-%%VIEWG6$;$!\"'F*$\"\"'F*Ffn" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 5 "Tagli" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "La matrice \350" }}{PARA 257 " " 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[1-r*v[1]*v[2], -r*v[2]^2, 0], [r*v[1]^2 , 1+r*v[1]*v[2], 0], [0, 0, 1]]);" "6#-%'matrixG6#7%7%,&\"\"\"F)*(%\"r GF)&%\"vG6#F)F)&F-6#\"\"#F)!\"\",$*&F+F)*$&F-6#F1F1F)F2\"\"!7%*&F+F)*$ &F-6#F)F1F),&F)F)*(F+F)&F-6#F)F)&F-6#F1F)F)F87%F8F8F)" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Esempio" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 88 "Sh:=(v,r)->matri x(3,3,[[1-r*v[1]*v[2],-r*v[2]^2,0],[r*v[1]^2,1+r*v[1]*v[2],0],[0,0,1]] ):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "t0:=[[0,0],[3,0],[0,3],[0,0]] :disegno(t0);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6 '-%'CURVESG6$7&7$$\"\"!F)F(7$$\"\"$F)F(7$F(F+F'-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5 !\"\"F(F(-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%&STYLEG6#%%LINEG-%+AXESLABELSG6$ Q!6\"F@-%%VIEWG6$;$!\"'F)$\"\"'F)FE" 1 6 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "t1:=trasforma(t0,Sh([1,0],1/2));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#t1G-%'matrixG6#7&7$\"\"!F*7$\"\"$F*7$#F,\"\"#F,F)" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "disegno(t1);" }}{PARA 13 " " 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6$7&7$$\"\"!F)F( 7$$\"\"$F)F(7$$\"3++++++++:!# " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Applicazione: costruzione di oggetti geometrici mediante 'istanze'" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 371 9 "Esempio: " }{TEXT -1 210 "Utilizziamo due elementi grafici, un \+ quadrato di lato 1 e un triangolo isoscele di cateto 1, per costruire \+ un oggetto geometrico pi\371 complicato, mediante 7 istanze del primo \+ elemento e una istanza del secondo. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 345 " Si osservi che l'applicazione di una trasformazione a un elemento graf ico, ad esempio un quadrato definito come lista dei suoi vertici, si o ttiene moltiplicando la matrice che ha righe le coordinate omogenee de i vertici (con ultima riga uguale alla prima per 'chiudere' la figura ) per la matrice 3x3 che descrive la trasformazione. Ad esempio:" }} {PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[0, 0, 1], [1, 0, 1], [1, 1, \+ 1], [0, 1, 1], [0, 0, 1]])*matrix([[9/2, 0, 0], [0, 3, 0], [1, 1, 1]]) = matrix([[1, 1, 1], [11/2, 1, 1], [11/2, 4, 1], [1, 4, 1], [1, 1, 1] ]);" "6#/*&-%'matrixG6#7'7%\"\"!F*\"\"\"7%F+F*F+7%F+F+F+7%F*F+F+7%F*F* F+F+-F&6#7%7%*&\"\"*F+\"\"#!\"\"F*F*7%F*\"\"$F*7%F+F+F+F+-F&6#7'7%F+F+ F+7%*&\"#6F+F6F7F+F+7%*&FAF+F6F7\"\"%F+7%F+FDF+7%F+F+F+" }{TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "esegue un cambiamento di scala e una \+ traslazione sul quadrato con lati i vettori " }{XPPEDIT 18 0 "[1, 0]; " "6#7$\"\"\"\"\"!" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "[0, 1];" "6#7$\" \"!\"\"\"" }{TEXT -1 53 ". Il quadrato trasformato \350 il rettangolo \+ di vertici " }{XPPEDIT 18 0 "[1, 1];" "6#7$\"\"\"F$" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "[11/2, 1];" "6#7$*&\"#6\"\"\"\"\"#!\"\"F&" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "[11/2, 4];" "6#7$*&\"#6\"\"\"\"\"#!\"\"\"\"%" } {TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "[1, 4];" "6#7$\"\"\"\"\"%" }{TEXT -1 1 "." }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Esempio" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "q0:=[[0,0],[1,0],[1,1],[0,1],[0,0]]:t0:=[[0 ,0],[1,0],[0,1],[0,0]]:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 287 "cosa:=\{trasforma(q0,S(9/2,3)&*T(1,1)),trasforma(q0,S(1,1/2)&*T(3/2,3 /2)),trasforma(q0,S(1,1/2)&*T(4,3/2)),trasforma(q0,S(1,1/2)&*T(3/2,3)) ,trasforma(q0,S(1,1/2)&*T(4,3)),trasforma(q0,S(1/2,1)&*T(3,1)),trasfor ma(q0,S(1/10,1/20)&*T(3.1,1.4)),trasforma(t0,Sh([1,0],1/2)&*S(9/2,1)&* T(1,4))\}:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "disegni(cosa) ;" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6--%'CURVESG6 %7'7$$\"3++++++++:!#<$\"\"$\"\"!7$$\"3++++++++DF*F+7$F/$\"3++++++++NF* 7$F(F2F'-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"$F-F-F<-%&STYLEG6#%%LINEG-F$6%7'7$ $\"\"\"F-FE7$$\"3++++++++bF*FE7$FH$\"\"%F-7$FEFKFDF5F=-F$6%7'7$FKF(7$$ \"\"&F-F(7$FS$\"\"#F-7$FKFVFQF5F=-F$6%7'7$$\"33+++++++JF*$\"3!******** ******R\"F*7$$\"3;+++++++KF*Fin7$F\\o$\"3'*************\\9F*7$FgnF_oFf nF5F=-F$6%7&FMFJ7$$\"3+++++++]KF*FSFMF5F=-F$6%7'7$F(F(7$F/F(7$F/FV7$F( FVF[pF5F=-F$6%7'7$F+FE7$F2FE7$F2FV7$F+FVFbpF5F=-F$6%7'7$FKF+7$FSF+7$FS F27$FKF2FipF5F=-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%Q!6\"Fdq%(DE FAULTG-%%VIEWG6$;$!\"'F-$\"\"'F-Fjq" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "Curve 3" "Curve 4" "Curve 5" "Curve 6" "Curve 7" "Curve 8" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 40 "2.4 Rette \+ e punti in coordinate omogenee" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Abbiamo visto in 2.2 che una retta " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" }{TEXT -1 36 " nel piano cartesiano, di equazione " }{XPPEDIT 18 0 "a*x+b*y+c = \+ 0;" "6#/,(*&%\"aG\"\"\"%\"xGF'F'*&%\"bGF'%\"yGF'F'%\"cGF'\"\"!" } {TEXT -1 15 ", ha equazione " }{XPPEDIT 18 0 "a*X+b*Y+c*Z = 0;" "6#/,( *&%\"aG\"\"\"%\"XGF'F'*&%\"bGF'%\"YGF'F'*&%\"cGF'%\"ZGF'F'\"\"!" } {TEXT -1 62 " in coordinate omogenee. Tale retta \350 individuata dall a terna " }{XPPEDIT 18 0 "a,b,c;" "6%%\"aG%\"bG%\"cG" }{TEXT -1 32 " o da un qualunque suo multiplo " }{XPPEDIT 18 0 "t*a,t*b,t*c;" "6%*&%\" tG\"\"\"%\"aGF%*&F$F%%\"bGF%*&F$F%%\"cGF%" }{TEXT -1 5 " con " } {XPPEDIT 18 0 "t <> 0;" "6#0%\"tG\"\"!" }{TEXT -1 32 ". Possiamo quind i parlare delle " }{TEXT 368 31 "coordinate omogenee della retta" } {TEXT -1 1 " " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "l = (a, b, c);" "6#/ %\"lG6%%\"aG%\"bG%\"cG" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 " e scrivere l'equazione omogenea di " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" } {TEXT -1 27 " come prodotto scalare (in " }{XPPEDIT 18 0 "R^3;" "6#*$% \"RG\"\"$" }{TEXT -1 44 ") tra il vettore delle coordinate omogenee \+ " }{XPPEDIT 18 0 "P = (X, Y, Z);" "6#/%\"PG6%%\"XG%\"YG%\"ZG" }{TEXT -1 50 " del punto e il vettore delle coordinate omogenee " }{XPPEDIT 18 0 "l = (a, b, c);" "6#/%\"lG6%%\"aG%\"bG%\"cG" }{TEXT -1 13 " della retta:" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "P.l = a*X+b*Y+c*Z;" "6#/-% \".G6$%\"PG%\"lG,(*&%\"aG\"\"\"%\"XGF,F,*&%\"bGF,%\"YGF,F,*&%\"cGF,%\" ZGF,F," }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 376 2 "= " }{XPPEDIT 18 0 "0;" "6#\"\"! " }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "Possiamo applicare que sta identit\340 per risolvere facilmente i due seguenti problemi:" }} {PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 3 "1) " }{TEXT 372 45 "trovare l'equazione \+ della retta per due punti" }{TEXT -1 1 ":" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" }{TEXT -1 35 " \350 la retta per due punti distint i " }{XPPEDIT 18 0 "P[1] = (X[1], Y[1], Z[1]);" "6#/&%\"PG6#\"\"\"6%&% \"XG6#F'&%\"YG6#F'&%\"ZG6#F'" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "P[2] = (X[2], Y[2], Z[2]);" "6#/&%\"PG6#\"\"#6%&%\"XG6#F'&%\"YG6#F'&%\"ZG6#F '" }{TEXT -1 5 " se " }{XPPEDIT 18 0 "P[1];" "6#&%\"PG6#\"\"\"" } {TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "l = 0;" "6#/%\"lG\"\"!" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "P[2];" "6#&%\"PG6#\"\"#" }{TEXT -1 3 " . " } {XPPEDIT 18 0 "l = 0;" "6#/%\"lG\"\"!" }{TEXT -1 49 ". Dunque il vetto re delle coordinate omogenee di " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" } {TEXT -1 28 " deve essere ortogonale (in " }{XPPEDIT 18 0 "R^3;" "6#*$ %\"RG\"\"$" }{TEXT -1 4 ") a " }{XPPEDIT 18 0 "P[1];" "6#&%\"PG6#\"\" \"" }{TEXT -1 5 " e a " }{XPPEDIT 18 0 "P[2];" "6#&%\"PG6#\"\"#" } {TEXT -1 51 ". Si pu\362 prendere ad esempio il prodotto vettoriale" } }{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "l = P[1];" "6#/%\"lG&%\"PG6#\"\"\"" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 369 2 "x " }{XPPEDIT 18 0 "P[2] = (Y[1]*Z[2]-Y[ 2]*Z[1], Z[1]*X[2]-Z[2]*X[1], X[1]*Y[2]-X[2]*Y[1]);" "6#/&%\"PG6#\"\"# 6%,&*&&%\"YG6#\"\"\"F.&%\"ZG6#F'F.F.*&&F,6#F'F.&F06#F.F.!\"\",&*&&F06# F.F.&%\"XG6#F'F.F.*&&F06#F'F.&F=6#F.F.F7,&*&&F=6#F.F.&F,6#F'F.F.*&&F=6 #F'F.&F,6#F.F.F7" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 370 8 "Esempio:" }{TEXT -1 23 " la retta per i punti (" }{XPPEDIT 18 0 "2,3;" "6$\"\"#\"\"$" } {TEXT -1 5 ") e (" }{XPPEDIT 18 0 "4,2;" "6$\"\"%\"\"#" }{TEXT -1 25 " ) ha coordinate omogenee " }{XPPEDIT 18 0 "l = (1, 2, -8);" "6#/%\"lG6 %\"\"\"\"\"#,$\"\")!\"\"" }{TEXT -1 34 " e quindi ha equazione cartesi ana " }{XPPEDIT 18 0 "x+2*y-8 = 0;" "6#/,(%\"xG\"\"\"*&\"\"#F&%\"yGF&F &\"\")!\"\"\"\"!" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 373 49 "2) t rovare il punto di intersezione di due rette:" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 41 " \350 il punto di intersezione di due rette " }{XPPEDIT 18 0 "l[1];" "6#&%\"lG6#\"\"\" " }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "l[2];" "6#&%\"lG6#\"\"#" }{TEXT -1 5 " se " }{XPPEDIT 18 0 "l[1];" "6#&%\"lG6#\"\"\"" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "P = 0;" "6#/%\"PG\"\"!" }{TEXT -1 5 " e " } {XPPEDIT 18 0 "l[2];" "6#&%\"lG6#\"\"#" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "P = 0;" "6#/%\"PG\"\"!" }{TEXT -1 47 ". Dunque si pu\362 prender e il prodotto vettoriale" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "P = l[1]; " "6#/%\"PG&%\"lG6#\"\"\"" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 374 3 "x " } {XPPEDIT 18 0 "l[2];" "6#&%\"lG6#\"\"#" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 375 9 "Esempio: " }{TEXT -1 9 "le rette " }{XPPEDIT 18 0 "x+y +1 = 0;" "6#/,(%\"xG\"\"\"%\"yGF&F&F&\"\"!" }{TEXT -1 3 " e " } {XPPEDIT 18 0 "2*x-3*y-4 = 0;" "6#/,(*&\"\"#\"\"\"%\"xGF'F'*&\"\"$F'% \"yGF'!\"\"\"\"%F,\"\"!" }{TEXT -1 49 " si intersecano nel punto di co ordinate omogenee " }{XPPEDIT 18 0 "P = (-1, 6, -5);" "6#/%\"PG6%,$\" \"\"!\"\"\"\"',$\"\"&F(" }{TEXT -1 42 ", cio\350 nel punto di coordina te cartesiane " }{XPPEDIT 18 0 "[1/5, -6/5];" "6#7$*&\"\"\"F%\"\"&!\" \",$*&\"\"'F%F&F'F'" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 "Se \+ le rette sono parallele, si ottiene il punto improprio delle due rette ." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 377 13 "Ese rcizio 1: " }{TEXT -1 23 "mostrare che tre punti " }{XPPEDIT 18 0 "P[1 ],P[2],P[3];" "6%&%\"PG6#\"\"\"&F$6#\"\"#&F$6#\"\"$" }{TEXT -1 6 " son o " }{TEXT 379 9 "allineati" }{TEXT -1 51 " se e solo se \350 nullo il determinante della matrice" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix ([[X[1], Y[1], Z[1]], [X[2], Y[2], Z[2]], [X[3], Y[3], Z[3]]]);" "6#-% 'matrixG6#7%7%&%\"XG6#\"\"\"&%\"YG6#F+&%\"ZG6#F+7%&F)6#\"\"#&F-6#F5&F0 6#F57%&F)6#\"\"$&F-6#F=&F06#F=" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 145 "ottenuta dalle coordinate omogenee dei 3 punti. Questa osservazione permette di scrivere l'equazione omogenea \+ della retta per due punti distinti " }{XPPEDIT 18 0 "P[1];" "6#&%\"PG6 #\"\"\"" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "P[2];" "6#&%\"PG6#\"\"#" } {TEXT -1 19 " come determinante:" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "d et(matrix([[X[1], Y[1], Z[1]], [X[2], Y[2], Z[2]], [X, Y, Z]])) = 0;" "6#/-%$detG6#-%'matrixG6#7%7%&%\"XG6#\"\"\"&%\"YG6#F/&%\"ZG6#F/7%&F-6# \"\"#&F16#F9&F46#F97%F-F1F4\"\"!" }{TEXT -1 1 "\n" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 378 12 "Esercizio 2:" }{TEXT -1 24 " mostrare che tre rette " } {XPPEDIT 18 0 "l[1],l[2],l[3];" "6%&%\"lG6#\"\"\"&F$6#\"\"#&F$6#\"\"$ " }{TEXT -1 6 " sono " }{TEXT 380 11 "concorrenti" }{TEXT -1 85 " (cio \350 si intersecano in un punto) se e solo se \350 nullo il determinan te della matrice" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[a[1], b[ 1], c[1]], [a[2], b[2], c[2]], [a[3], b[3], c[3]]])" "6#-%'matrixG6#7% 7%&%\"aG6#\"\"\"&%\"bG6#F+&%\"cG6#F+7%&F)6#\"\"#&F-6#F5&F06#F57%&F)6# \"\"$&F-6#F=&F06#F=" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "ottenuta dalle coo rdinate omogenee delle 3 rette.\n" }}{PAGEBK }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 52 "3. Coordinate omogene e e trasformazioni dello spazio" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Passia mo ora a considerare le trasformazioni dello spazio tridimensionale. L o" }{TEXT 381 117 " spazio sar\340 identificato, mediante l'introduzio ne di un sistema di riferimento cartesiano, con lo spazio vettoriale \+ " }{XPPEDIT 18 0 "R^3;" "6#*$%\"RG\"\"$" }{TEXT 382 23 " delle terne o rdinate (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y,z;" "6%%\"xG%\"yG%\"zG" }{TEXT -1 0 "" }{TEXT 383 19 ") di numeri reali. " }{TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 " " 0 "" {TEXT -1 23 "3.1 Coordinate omogenee" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 160 "Le coordinate omogenee dei punti dello spazio possono essere i ntrodotte in maniera simile a quanto visto nel caso del piano. Un punt o di coordinate cartesiane (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y,z;" "6%%\"xG%\"yG%\" zG" }{TEXT -1 5 ") ha " }{TEXT 384 19 "coordinate omogenee" }{TEXT -1 25 " una qualsiasi quaterna (" }{XPPEDIT 18 0 "X,Y,Z;" "6%%\"XG%\"YG% \"ZG" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 385 3 "W) " }{TEXT -1 3 "di " }{XPPEDIT 18 0 "R^4;" "6#*$%\"RG\"\"%" }{TEXT -1 10 " tale che " }{XPPEDIT 18 0 "W <> 0;" "6#0%\"WG\"\"!" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "X/W = x;" "6#/*&%\"XG\"\"\"%\"WG!\"\"%\"xG" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "Y/W = y;" "6#/*&%\"YG\"\"\"%\"WG!\"\"%\"yG" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "Z/W = z;" "6#/*&%\"ZG\"\"\"%\"WG!\"\"%\"zG" }{TEXT -1 10 ". Dunq ue (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y,z,1;" "6&%\"xG%\"yG%\"zG\"\"\"" }{TEXT -1 23 ") e ogni suo multiplo (" }{XPPEDIT 18 0 "r*x,r*y,r*z,r;" "6&*&%\"r G\"\"\"%\"xGF%*&F$F%%\"yGF%*&F$F%%\"zGF%F$" }{TEXT -1 47 ") sono coord inate omogenee dello stesso punto (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y,z;" "6%%\"xG% \"yG%\"zG" }{TEXT -1 70 ") dello spazio. Un 'punto' con coordinate omo genee (non tutte nulle) (" }{XPPEDIT 18 0 "X,Y,Z,0;" "6&%\"XG%\"YG%\"Z G\"\"!" }{TEXT -1 77 ") non corrisponde a un punto dello spazio tridim ensionale, ma rappresenta un " }{TEXT 386 18 "punto all'infinito" } {TEXT -1 46 " nella direzione del vettore tridimensionale (" } {XPPEDIT 18 0 "X,Y,Z;" "6%%\"XG%\"YG%\"ZG" }{TEXT -1 56 "). L'insieme \+ costituito da tutte le quaterne non nulle (" }{XPPEDIT 18 0 "X,Y,Z;" " 6%%\"XG%\"YG%\"ZG" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 387 1 "W" }{TEXT -1 86 "), \+ in cui due quaterne vengono identificate se sono una multiplo dell'alt ra, forma lo " }{TEXT 388 33 "spazio proiettivo tridimensionale" } {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "P^3;" "6#*$%\"PG\"\"$" }{TEXT -1 2 ". \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 389 8 "Esempio:" }{TEXT -1 25 " le coordinat e omogenee (" }{XPPEDIT 18 0 "5,-2,1,2;" "6&\"\"&,$\"\"#!\"\"\"\"\"F% " }{TEXT -1 5 ") e (" }{XPPEDIT 18 0 "-10,4,-2,-4;" "6&,$\"#5!\"\"\"\" %,$\"\"#F%,$F&F%" }{TEXT -1 70 ") rappresentano lo stesso punto dello \+ spazio di coordinate cartesiane " }{XPPEDIT 18 0 "[5/2, -1, 1/2];" "6# 7%*&\"\"&\"\"\"\"\"#!\"\",$F&F(*&F&F&F'F(" }{TEXT -1 1 "." }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 31 "3.2 Trasformazioni dello spazio" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Una " }{TEXT 390 21 "trasformazione affine" } {TEXT -1 55 " dello spazio \350 un'applicazione ottenuta componendo un '" }{TEXT 411 12 "applicazione" }{TEXT 412 1 " " }{TEXT 395 7 "lineare " }{TEXT -1 4 " di " }{XPPEDIT 18 0 "R^3;" "6#*$%\"RG\"\"$" }{TEXT -1 9 " con una " }{TEXT 396 11 "traslazione" }{TEXT -1 1 ":" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T = T[v[0]];" "6#/%\"TG&F$6#&%\"vG6#\"\"!" } {TEXT -1 1 " " }{TEXT 391 1 "o" }{TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "L;" " 6#%\"LG" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "con " }{XPPEDIT 18 0 "L;" "6#%\"LG" }{TEXT -1 49 " applicazione lineare determinata da una matrice " }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" }{TEXT -1 15 " di ordine \+ 3 e " }{XPPEDIT 18 0 "v[0] = (h, k, l);" "6#/&%\"vG6#\"\"!6%%\"hG%\"kG %\"lG" }{TEXT -1 41 " un vettore che definisce la traslazione " } {XPPEDIT 18 0 "T[v[0]];" "6#&%\"TG6#&%\"vG6#\"\"!" }{TEXT -1 62 ". La \+ traslazione trasforma il punto di coordinate cartesiane (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y,z;" "6%%\"xG%\"yG%\"zG" }{TEXT -1 13 ") nel punto (" } {XPPEDIT 18 0 "x+h,y+k,z+l;" "6%,&%\"xG\"\"\"%\"hGF%,&%\"yGF%%\"kGF%,& %\"zGF%%\"lGF%" }{TEXT -1 3 "). " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" } {TEXT -1 16 " \350 definita da " }{XPPEDIT 18 0 "T(x,y,z) = (x[1], y[ 1], z[1]);" "6#/-%\"TG6%%\"xG%\"yG%\"zG6%&F'6#\"\"\"&F(6#F-&F)6#F-" } {TEXT -1 8 ", con " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[x[1] , y[1], z[1]]]) = matrix([[x, y, z]]);" "6#/-%'matrixG6#7#7%&%\"xG6#\" \"\"&%\"yG6#F,&%\"zG6#F,-F%6#7#7%F*F.F1" }{TEXT -1 2 " ." }{XPPEDIT 18 0 "A+matrix([[h, k, l]]);" "6#,&%\"AG\"\"\"-%'matrixG6#7#7%%\"hG%\" kG%\"lGF%" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "In coordinat e omogenee, l'equazione precedente si riscrive mediante un unico prodo tto matriciale con una matrice 4x4:" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[X[1], Y[1], Z[1], W[1]]]) = matrix([[X, Y, Z, W]])*matrix( [[a[1,1], a[1,2], a[1,3], 0], [a[2,1], a[2,2], a[2,3], 0], [a[3,1], a[ 3,2], a[3,3], 0], [h, k, l, 1]]);" "6#/-%'matrixG6#7#7&&%\"XG6#\"\"\"& %\"YG6#F,&%\"ZG6#F,&%\"WG6#F,*&-F%6#7#7&F*F.F1F4F,-F%6#7&7&&%\"aG6$F,F ,&F@6$F,\"\"#&F@6$F,\"\"$\"\"!7&&F@6$FDF,&F@6$FDFD&F@6$FDFGFH7&&F@6$FG F,&F@6$FGFD&F@6$FGFGFH7&%\"hG%\"kG%\"lGF,F," }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Infatti, tale prodotto equivale a" }}{PARA 257 " " 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[X[1], Y[1], Z[1]]]) = m atrix([[X, Y, Z]])*A+matrix([[h*W, k*W, l*W]]);" "6#/-%'matrixG6#7#7%& %\"XG6#\"\"\"&%\"YG6#F,&%\"ZG6#F,,&*&-F%6#7#7%F*F.F1F,%\"AGF,F,-F%6#7# 7%*&%\"hGF,%\"WGF,*&%\"kGF,F@F,*&%\"lGF,F@F,F," }{TEXT -1 7 " e " }{XPPEDIT 18 0 "W[1] = W;" "6#/&%\"WG6#\"\"\"F%" }{TEXT -1 1 " " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "cio\350, dividendo a sinistra per " } {XPPEDIT 18 0 "W[1];" "6#&%\"WG6#\"\"\"" }{TEXT -1 16 " e a destra per " }{XPPEDIT 18 0 "W;" "6#%\"WG" }{TEXT -1 1 "," }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[X[1]/W[1], Y[1]/W[1], Z[1]/W[1] ]]) = matrix([[X/W, Y/W, Z/W]])*A+matrix([[h, k, l]]);" "6#/-%'matrixG 6#7#7%*&&%\"XG6#\"\"\"F-&%\"WG6#F-!\"\"*&&%\"YG6#F-F-&F/6#F-F1*&&%\"ZG 6#F-F-&F/6#F-F1,&*&-F%6#7#7%*&F+F-F/F1*&F4F-F/F1*&F:F-F/F1F-%\"AGF-F-- F%6#7#7%%\"hG%\"kG%\"lGF-" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Traslazioni" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 "La matrice di trasformazione \350" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T(h,k,l) = matrix([[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0 , 1, 0], [h, k, l, 1]]);" "6#/-%\"TG6%%\"hG%\"kG%\"lG-%'matrixG6#7&7& \"\"\"\"\"!F0F07&F0F/F0F07&F0F0F/F07&F'F(F)F/" }{TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 8 "Esempio:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "with(linalg):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 74 "T3d:=(x0,y0,z0)->matrix(4,4,[[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[x0 ,y0,z0,1]]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 89 "trasforma:=(f,m)->d elcols(evalm(augment(f,vector(rowdim(f),1))&*m),rowdim(m)..rowdim(m)): " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "trasforma([[x,y,z]],T3d (h,k,l));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'matrixG6#7#7%,&%\"xG\" \"\"%\"hGF*,&%\"yGF*%\"kGF*,&%\"zGF*%\"lGF*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Cambiam enti di scala" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "La matrice corrispondent e ai " }{TEXT 392 17 "fattori di scala " }{XPPEDIT 18 0 "s[x],s[y],s[z ];" "6%&%\"sG6#%\"xG&F$6#%\"yG&F$6#%\"zG" }{TEXT -1 2 " \350" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "S(s[x],s[y],s[z]) = matrix([[s[x], 0, 0, 0] , [0, s[y], 0, 0], [0, 0, s[z], 0], [0, 0, 0, 1]]);" "6#/-%\"SG6%&%\"s G6#%\"xG&F(6#%\"yG&F(6#%\"zG-%'matrixG6#7&7&&F(6#F*\"\"!F8F87&F8&F(6#F -F8F87&F8F8&F(6#F0F87&F8F8F8\"\"\"" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 393 13 "Osservazione:" }{TEXT -1 51 " in particolare, scegliendo fattori di scala 1,1 e " }{XPPEDIT 18 0 "-1;" "6#,$\"\"\"!\"\"" } {TEXT -1 70 ", nell'ordine opportuno, si ottengono le matrici che rapp resentano le " }{TEXT 394 11 "riflessioni" }{TEXT -1 30 " rispetto ai \+ piani coordinati " }{XPPEDIT 18 0 "x*y;" "6#*&%\"xG\"\"\"%\"yGF%" } {TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "x*z;" "6#*&%\"xG\"\"\"%\"zGF%" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "y*z;" "6#*&%\"yG\"\"\"%\"zGF%" }{TEXT -1 1 ":" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "R[yz] = S(-1,1,1),R[xz] = S(1,- 1,1),R[xy] = S(1,1,-1);" "6%/&%\"RG6#%#yzG-%\"SG6%,$\"\"\"!\"\"F,F,/&F %6#%#xzG-F)6%F,,$F,F-F,/&F%6#%#xyG-F)6%F,F,,$F,F-" }{TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 7 "E sempio" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 74 "S3d:=(sx,sy,sz)->m atrix(4,4,[[sx,0,0,0],[0,sy,0,0],[0,0,sz,0],[0,0,0,1]]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "trasforma([[x,y,z]],S3d(2,3,4));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'matrixG6#7#7%,$%\"xG\"\"#,$%\"yG\"\"$,$%\"zG \"\"%" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Rotazioni primarie" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Nello spazio si possono considerare le rotazioni attorno \+ a una retta, chiamata " }{TEXT 398 17 "asse di rotazione" }{TEXT -1 5 ". Le " }{TEXT 397 18 "rotazioni primarie" }{TEXT -1 290 " sono quelle attorno a un'asse coordinato, con angolo di rotazione positivo determ inato dalla regola della \"vite destrorsa\": una vite che punta nella \+ direzione positiva di un asse coordinato, avanza verso tale direzione \+ quando l'angolo di rotazione \350 positivo. Ad esempio, una rotazione \+ di " }{XPPEDIT 18 0 "Pi/2;" "6#*&%#PiG\"\"\"\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 18 " attorno all'asse " }{XPPEDIT 18 0 "y;" "6#%\"yG" }{TEXT -1 25 " porta i punti dell'asse " }{XPPEDIT 18 0 "z;" "6#%\"zG" }{TEXT -1 11 " sull 'asse " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 129 "Le matrici che rappresentano le rotazioni primarie si \+ ottengono facilmente dalla matrice che rappresenta una rotazione nel p iano:" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "Rot[x](theta) = matrix([[1, \+ 0, 0, 0], [0, cos(theta), sin(theta), 0], [0, -sin(theta), cos(theta), 0], [0, 0, 0, 1]]);" "6#/-&%$RotG6#%\"xG6#%&thetaG-%'matrixG6#7&7&\" \"\"\"\"!F1F17&F1-%$cosG6#F*-%$sinG6#F*F17&F1,$-F76#F*!\"\"-F46#F*F17& F1F1F1F0" }{TEXT -1 4 ", " }{XPPEDIT 18 0 "Rot[y](theta) = matrix([[ cos(theta), 0, -sin(theta), 0], [0, 1, 0, 0], [sin(theta), 0, cos(thet a), 0], [0, 0, 0, 1]]);" "6#/-&%$RotG6#%\"yG6#%&thetaG-%'matrixG6#7&7& -%$cosG6#F*\"\"!,$-%$sinG6#F*!\"\"F37&F3\"\"\"F3F37&-F66#F*F3-F16#F*F3 7&F3F3F3F:" }{TEXT -1 4 ", " }{XPPEDIT 18 0 "Rot[z](theta) = matrix( [[cos(theta), sin(theta), 0, 0], [-sin(theta), cos(theta), 0, 0], [0, \+ 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]);" "6#/-&%$RotG6#%\"zG6#%&thetaG-%'matrixG6#7& 7&-%$cosG6#F*-%$sinG6#F*\"\"!F67&,$-F46#F*!\"\"-F16#F*F6F67&F6F6\"\"\" F67&F6F6F6F?" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Esempio" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 84 "Rotx:=t->matrix(4,4,[[1,0,0,0],[0,cos(t),sin(t),0],[0 ,-sin(t),cos(t),0],[0,0,0,1]]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 84 " Roty:=t->matrix(4,4,[[cos(t),0,-sin(t),0],[0,1,0,0],[sin(t),0,cos(t),0 ],[0,0,0,1]]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 84 "Rotz:=t->matrix(4 ,4,[[cos(t),sin(t),0,0],[-sin(t),cos(t),0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]):" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "Rotx(Pi/3);Roty(Pi);Rotz(P i/4);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'matrixG6#7&7&\"\"\"\"\"!F) F)7&F)#F(\"\"#,$*$-%%sqrtG6#\"\"$F(F+F)7&F),$F.#!\"\"F,F+F)7&F)F)F)F( " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'matrixG6#7&7&!\"\"\"\"!F)F)7&F) \"\"\"F)F)7&F)F)F(F)7&F)F)F)F+" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'m atrixG6#7&7&,$*$-%%sqrtG6#\"\"#\"\"\"#F.F-F(\"\"!F07&,$F)#!\"\"F-F(F0F 07&F0F0F.F07&F0F0F0F." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" } }}}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Rotazione con asse arbitrario " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 164 "Se l'asse di rotazione non \350 un a sse coordinato, la rotazione pu\362 essere ottenuta trasformando l'ass e di rotazione in uno degli assi coordinati, per esempio l'asse " } {XPPEDIT 18 0 "z;" "6#%\"zG" }{TEXT -1 56 ", applicando poi la rotazio ne primaria attorno all'asse " }{XPPEDIT 18 0 "z;" "6#%\"zG" }{TEXT -1 63 ", e infine componendo con la trasformazione che riporta l'asse \+ " }{XPPEDIT 18 0 "z;" "6#%\"zG" }{TEXT -1 24 " nell'asse di rotazione. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 255 "Si noti che per definire il verso de lla rotazione attorno all'asse, \350 necessario fissare un orientament o lungo l'asse di rotazione (esattamente come per gli assi coordinati) . Questo pu\362 essere fatto scegliendo un vettore direzione per l'ass e di rotazione." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Sia dunque " } {XPPEDIT 18 0 "r;" "6#%\"rG" }{TEXT -1 44 " l'asse di rotazione, passa nte per un punto " }{XPPEDIT 18 0 "P[0] = (x[0], y[0], z[0]);" "6#/&% \"PG6#\"\"!6%&%\"xG6#F'&%\"yG6#F'&%\"zG6#F'" }{TEXT -1 28 " e con dire zione un vettore " }{XPPEDIT 18 0 "v = (v[1], v[2], v[3]);" "6#/%\"vG6 %&F$6#\"\"\"&F$6#\"\"#&F$6#\"\"$" }{TEXT -1 33 " che possiamo supporre unitario: " }{XPPEDIT 18 0 "abs(v)^2 = v[1]^2+v[2]^2+v[3]^2;" "6#/*$- %$absG6#%\"vG\"\"#,(*$&F(6#\"\"\"F)F.*$&F(6#F)F)F.*$&F(6#\"\"$F)F." } {TEXT -1 1 " " }{TEXT 399 1 "=" }{TEXT -1 15 " 1. Il vettore " } {XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 105 " definisce un punto sulla \+ sfera di raggio1 centrata nell'origine. Sulla sfera \350 possibile int rodurre due " }{TEXT 400 11 "coordinate " }{TEXT 413 8 "sferiche" } {TEXT -1 5 ", la " }{TEXT 401 11 "longitudine" }{TEXT -1 1 " " } {XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 6 " e la " }{TEXT 402 12 "colatitudine" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "phi;" "6#%$phiG" } {TEXT -1 47 ", che sono rispettivamente l'angolo tra l'asse " } {XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 31 " e la proiezione ortogonale di " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 11 " sul piano " } {XPPEDIT 18 0 "xy;" "6#%#xyG" }{TEXT -1 23 " e l'angolo tra l'asse " } {XPPEDIT 18 0 "z;" "6#%\"zG" }{TEXT -1 14 " e il vettore " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 257 "" 0 "" {GLPLOT3D 400 300 300 {PLOTDATA 3 "65-%%TEXTG6$7%$\"\"#!\"\"$\"#:F)$\"\"!F-%\"yG -F$6$7%F,$\"\"\"F)$F(F-%\"zG-%'CURVESG6#7$7%F,F,F,7%$\"+LLLLL!#5$\"+nm mmmF>F4-F76#7`q7%$\"+++++]F>F,F,7%$\"+KHp**\\F>$\"+N$)GTb!#7F,7%$\"+l< x)*\\F>$\"+0'*=36!#6F,7%$\"+8mB(*\\F>$\"+gU6i;FRF,7%$\"+jw3&*\\F>$\"+j Z$e@#FRF,7%$\"+\"=DB*\\F>$\"++JGpFFRF,7%$\"+0&\\*))\\F>$\"+&H\"RALFRF, 7%$\"+]5'\\)\\F>$\"+394vQFRF,7%$\"+0.O!)\\F>$\"+bbJFWFRF,7%$\"+Py9v\\F >$\"+2f**y\\FRF,7%$\"+%GC$p\\F>$\"+-Z1IbFRF,7%$\"+k.*G'\\F>$\"+_UX!3'F RF,7%$\"+ko%e&\\F>$\"+hp4ImFRF,7%$\"+_Y>[\\F>$\"+9`#*yrFRF,7%$\"+mY$*R \\F>$\"+**=(os(FRF,7%$\"+Az1J\\F>$\"+8%pQF)FRF,7%$\"+3bf@\\F>$\"+q1&)> ))FRF,7%$\"+(e=:\"\\F>$\"+4'[ZO*FRF,7%$\"+*RQ3!\\F>$\"+,j\\3**FRF,7%$ \"+`ib*)[F>$\"+'p-^/\"F>F,7%$\"+PNnx[F>$\"+&RF#*4\"F>F,7%$\"+5<>l[F>$ \"+yq@`6F>F,7%$\"+/B6_[F>$\"+:^127F>F,7%$\"+EpVQ[F>$\"+#*[wg7F>F,7%$\" +cs;C[F>$\"+7)4VJ\"F>F,7%$\"+Z]I4[F>$\"++Lpn8F>F,7%$\"+C@&Qz%F>$\"+(z3 4U\"F>F,7%$\"+'Q5yx%F>$\"+n(\\RZ\"F>F,7%$\"+-==hZF>$\"+(p4o_\"F>F,7%$ \"+:%oRu%F>$\"+$4#[z:F>F,7%$\"+RB$\"+&[g>j\"F>F,7%$\"+gdz2ZF>$\"+ G%QUo\"F>F,7%$\"+O4%))o%F>$\"++&4jt\"F>F,7%$\"+%>5$pYF>$\"+2t;)y\"F>F, 7%$\"+Lf?\\YF>$\"+xa!)R=F>F,7%$\"+B1`GYF>$\"+pw@\"*=F>F,7%$\"+.oG2YF>$ \"+pvRU>F>F,7%$\"+$3xae%F>$\"+)))QL*>F>F,7%$\"+TT5jXF>$\"+s`.W?F>F,7%$ \"+D2$\"+#z![%4#F>F,7%$\"+`'zm^%F>$\"+_*oY9#F>F,7%$\"+4Qj#\\%F>$ \"+*o$f%>#F>F,7%$\"+Zh.oWF>$\"+q)[UC#F>F,7%$\"+)o*)GW%F>$\"+'RGOH#F>F, 7%$\"+@v>$\"+-isUBF>F,7%$\"+-G'4R%F>$\"+di`\"R#F>F,7%$\"+`()=kVF>$ \"+mD0SCF>F,7%$\"+j'yoL%F>$\"+q\"p#)[#F>F,7%$\"+&)e.4VF>$\"+Z,=ODF>F,7 %$\"+TQm!G%F>$\"+7'zPe#F>F,7%$\"+9gw^UF>$\"+=<1JEF>F,7%$\"+afMAUF>$\"+ e1-yEF>F,7%$\"+vsS#>%F>$\"+k1lCFF>F,7%$\"+aO&>;%F>$\"+4g%4x#F>F,7%$\"+ K)))48%F>$\"+05!p\"GF>F,7%$\"+6m^*4%F>$\"+5+^iGF>F,7%$\"+e3anSF>$\"+?u w2HF>F,7%$\"++b1NSF>$\"+xwm_HF>F,7%$\"+EX4-SF>$\"+m_?(*HF>F,7%$\"+&)>j oRF>$\"+;ZPTIF>F,7%$\"+*)>oMRF>$\"+.1<&3$F>F,7%$\"+1([-!RF>$\"+YveGJF> F,7%$\"+mjLlQF>$\"+9-irJF>F,7%$\"+d#\\*HQF>$\"+?LE9KF>F,7%$\"+E<4%z$F> $\"+F;^cKF>F,7%$\"+x\"oxv$F>$\"+X*f$)H$F>F,7%$\"+sI)4s$F>$\"+NJ!)RLF>F ,7%$\"+G4u$o$F>$\"+1h$3Q$F>F,7%$\"+?j/YOF>$\"+=QX@MF>F,7%$\"+zQ!zg$F>$ \"+#G^;Y$F>F,7%$\"+*G=$pNF>$\"+hNU,NF>F,7%$\"+*G%HINF>$\"+qdwSNF>F,7%$ \"+sm$3\\$F>$\"+wInzNF>F,7%$\"+'G]4X$F>$\"++29=OF>F,7%$\"+G+k5MF>$\"+= R;cOF>F,7%$\"+^3\"*pLF>$\"+g!QPp$F>F,7%$\"+dxwGLF>$\"+4&e3t$F>F,7%$\"+ +e@(G$F>$\"+32_nPF>F,7%$\"+$3g_C$F>$\"+_,s.QF>F,7%$\"+fd!H?$F>$\"+'R_% RQF>F,7%$\"+J!e,;$F>$\"+]IruQF>F,7%$\"+]@-$\"+$y(\\4RF>F,7%$\"+8M] tIF>$\"+CB!Q%RF>F,7%$\"+mrgHIF>$\"+eCixRF>F,7%$\"+,)Q`)HF>$\"+KS&4,%F> F,7%$\"+bPqSHF>$\"+^HzVSF>F,7%$\"+5vq&*GF>$\"+\"=Nh2%F>F,7%$\"+$fb.&GF >$\"+_n(z5%F>F,7%$\"+vNl/GF>$\"+^PJRTF>F,7%$\"+pqgeFF>$\"+HB9qTF>F,7%$ \"+I$\"++(e/?%F>F,7%$\"+dK]lEF>$\"+R\"f-B%F>F,7%$\"+'Qd%=EF>$\"+ *)*R&fUF>F,7%$\"+'*)*3rDF>$\"+^wH)G%F>F,7%$\"+2mSBDF>$\"+$fGlJ%F>F,7%$ \"+uLTvCF>$\"+[$HUM%F>F,7%$\"+$4;rU#F>$\"+8lRrVF>F,7%$\"+'p?&yBF>$\"+^ n-)R%F>F,7%$\"+_JjHBF>$\"+\"z;TU%F>F,7%$\"+l%f/G#F>$\"+HMm\\WF>F,-F76# 7$7%F,F,$F)F)7%F,F,F4-F76#7`q7%$\"+d2vy:F>$\"+9:]dJF>$\"+;+;c$*F>7%$\" +s8\\j:F>$\"+VF)p7$F>$\"+=L'*o$*F>7%$\"+?7@[:F>$\"+TCU'4$F>$\"+&=U;Q*F >7%$\"+10\"H`\"F>$\"+85#e1$F>$\"+[k>%R*F>7%$\"+L%*e<:F>$\"+l)y^.$F>$\" +Sfi1%*F>7%$\"+.#[A]\"F>$\"+1k\\/IF>$\"+'\\I*=%*F>7%$\"+@q)o[\"F>$\"+T SxtHF>$\"+`*46V*F>7%$\"+!41:Z\"F>$\"+!=7I%HF>$\"+\\T;V%*F>7%$\"+:c5c9F >$\"+J7@7HF>$\"+BH4b%*F>7%$\"+,eoS9F>$\"+-;P\")GF>$\"+=h*oY*F>7%$\"+_o CD9F>$\"+/P\\]GF>$\"+xNdy%*F>7%$\"+t*)y49F>$\"+Zzd>GF>$\"+W^7!\\*F>7%$ \"+qBJ%R\"F>$\"+TZi)y#F>$\"+n1b,&*F>7%$\"+\\s\")y8F>$\"+(\\Mwv#F>$\"+# **\\G^*F>7%$\"+9QIj8F>$\"+FwgEFF>$\"+rH-C&*F>7%$\"+sAxZ8F>$\"+WXa&p#F> $\"+b%p]`*F>7%$\"+HGAK8F>$\"+fcWkEF>$\"+(H*)fa*F>7%$\"+$pbmJ\"F>$\"+&Q 6Lj#F>$\"+`Byc&*F>7%$\"+o52,8F>$\"+P@9-EF>$\"+y%[uc*F>7%$\"+k\"paG\"F> $\"+G$Q4d#F>$\"+Jv)zd*F>7%$\"+'=])p7F>$\"+s.qRDF>$\"+s$*R)e*F>7%$\"+VV @a7F>$\"+&oG%3DF>$\"+kQo)f*F>7%$\"+T=cQ7F>$\"+#oBrZ#F>$\"+o3%)3'*F>7%$ \"+*)G*GA\"F>$\"+zdyXCF>$\"+^-()='*F>7%$\"+'p2s?\"F>$\"+\"R:WT#F>$\"+z =xG'*F>7%$\"+ok]\">\"F>$\"+OH,$Q#F>$\"+@caQ'*F>7%$\"+:%*yv6F>$\"+I)y:N #F>$\"+Y8>['*F>7%$\"+Yn0g6F>$\"+#\\8,K#F>$\"+G*3xl*F>7%$\"+p'3V9\"F>$ \"+Qth)G#F>$\"+Q#)4n'*F>7%$\"+%RX&G6F>$\"+)y!4dAF>$\"+a\"fjn*F>7%$\"+I rw76F>$\"+gU`DAF>$\"+]:\\&o*F>7%$\"+'3up4\"F>$\"+s\"[R>#F>$\"+3`\\%p*F >7%$\"+tk;\"3\"F>$\"+YHLi@F>$\"+1.P.(*F>7%$\"++XMl5F>$\"++!*oI@F>$\"+E k67(*F>7%$\"+y$3&\\5F>$\"+bn,*4#F>$\"+aNt?(*F>7%$\"+;$eO.\"F>$\"+KmJn? F>$\"+u:AH(*F>7%$\"+DXz<5F>$\"+^!*eN?F>$\"+t.eP(*F>7%$\"++\"F>$\" +MW$Q+#F>$\"+T)4eu*F>7%$\"+6gEg)*FR$\"+-K0s>F>$\"+o)4Rv*F>7%$\"+$*)G7q *FR$\"+zdCS>F>$\"+Y.)=w*F>7%$\"+FH1U&*FR$\"+&e7%3>F>$\"+r6sp(*F>7%$\"+ E-x#Q*FR$\"+XSbw=F>$\"+PAVx(*F>7%$\"+1HNB#*FR$\"+\"eqY%=F>$\"+UM,&y*F> 7%$\"+%38Q1*FR$\"+$\"+'okCz*F>7%$\"+!)G:/*)FR$\"+w0$3y\"F>$\"+p ey*z*F>7%$\"+8WPW()FR$\"+$)[()[$\"+%*o(p!)*F>7%$\"+1)zWe)FR$\"+hf*o r\"F>$\"+nw.9)*F>7%$\"+$=rWU)FR$\"+PU*[o\"F>$\"+#4o4#)*F>7%$\"+p1Nk#)F R$\"+M,(Gl\"F>$\"+y!ox#)*F>7%$\"+!R?T5)FR$\"+yS#3i\"F>$\"+NvVM)*F>7%$ \"+vCyVzFR$\"+&\\c()e\"F>$\"+uj(4%)*F>7%$\"+`!RLy(FR$\"+6ymc:F>$\"+4XQ Z)*F>7%$\"+bAzAwFR$\"+^%eX_\"F>$\"+`=m`)*F>7%$\"+9U9iuFR$\"+V)GC\\\"F> $\"+C$3)f)*F>7%$\"+iqR,tFR$\"+7%z-Y\"F>$\"+SQ#e')*F>7%$\"+OHbSrFR$\"+( e5\"G9F>$\"+A$3<()*F>7%$\"+rRhzpFR$\"+%zAfR\"F>$\"+!phu()*F>7%$\"+1Be= oFR$\"+hkrj8F>$\"+pQ3$))*F>7%$\"+y+YdmFR$\"+;?\\J8F>$\"+%yu&)))*F>7%$ \"+F%\\i\\'FR$\"+&))\\#*H\"F>$\"+iV$R*)*F>7%$\"+'\\_\\L'FR$\"+*\\!*pE \"F>$\"+KD;**)*F>7%$\"+D9dthFR$\"+&G9ZB\"F>$\"+D#fU!**F>7%$\"+f$3@,'FR $\"+s;U-7F>$\"+sVA4**F>7%$\"+Uac]eFR$\"+)38,<\"F>$\"+3z09**F>7%$\"+?[% *)o&FR$\"+k*)yP6F>$\"+o(f(=**F>7%$\"+R'[s_&FR$\"+G(\\a5\"F>$\"+\"*)HL# **F>7%$\"+Z!zaO&FR$\"+4e4t5F>$\"+:#ox#**F>7%$\"+#>QO?&FR$\"+QwsS5F>$\" +\"ou?$**F>7%$\"+C#G$\"+L#\\i$**F>7%$\"+%H^(z[FR$\"+(e -&f(*FR$\"+:=HS**F>7%$\"+_&4xr%FR$\"+/\">aV*FR$\"+tB?W**F>7%$\"+^^gbXF R$\"+,.@6\"*FR$\"+b3)z%**F>7%$\"+W-W$R%FR$\"+([!)oy)FR$\"+6si^**F>7%$ \"+%)p@JUFR$\"+oRVi%)FR$\"+#RT^&**F>7%$\"+Fv$*oSFR$\"+a](y8)FR$\"+`L_e **F>7%$\"+FSg1RFR$\"+b!3K\"yFR$\"+ZIxh**F>7%$\"+U'=Uu$FR$\"+$GP%)[(FR$ \"+L/*['**F>7%$\"+ENy\"e$FR$\"+_qcjrFR$\"+oa(y'**F>7%$\"+R3I>MFR$\"+x; gQoFR$\"+7\"G2(**F>7%$\"+PFxcKFR$\"+uaa8lFR$\"+H$[M(**F>7%$\"+!Q,U4$FR $\"+gFS)='FR$\"+\"3Og(**F>7%$\"+F*)eJHFR$\"+ay7%$\"+ Pv$*oFFR$\"+u](y`&FR$\"+dS\"3)**F>7%$\"+r$\\ig#FR$\"+V()\\7_FR$\"+=U+$ )**F>7%$\"+!fENW#FR$\"+!=`q)[FR$\"+(yh])**F>7%$\"+b8x!G#FR$\"+4FahXFR$ \"+Qn)p)**F>7%$\"+Fe)z6#FR$\"+a;(fB%FR$\"+X!z())**F>7%$\"+o@FR$\"+P VM5RFR$\"+%oQ/***F>7%$\"+UDL#z\"FR$\"+%3lYe$FR$\"+Lc'>***F>7%$\"+6\"p% H;FR$\"+@#Q*eKFR$\"+r)fL***F>7%$\"+PSem9FR$\"+u!oJ$HFR$\"+#Q@Y***F>7%$ \"+&[zOI\"FR$\"+p*etg#FR$\"+Y,v&***F>7%$\"+7%$\"+))f?y(*FL$\"+)>Tc&>FR$\"+\"Q4w***F>7%$\"+Jfq[\")FL$\"+'=T( H;FR$\"+F)R$)***F>7%$\"+Yw4>lFL$\"+H&>QI\"FR$\"+yu$*)***F>7%$\"+wFS*)[ FL$\"+_b!)y(*FL$\"+EBS****F>7%$\"+nHkfKFL$\"+LfG>lFL$\"+lVt****F>7%$\" +k)R)H;FL$\"+F(z'fKFL$\"+!fL*****F>7%$\"+FPN6:!#<$\"+auqAIFcho$\"+++++ 5!\"*-F76#7$7%Ff\\mF,F,7%F*F,F,-F76#7$7%F,Ff\\mF,7%F,F*F,-F$6$7%F*F2F, %\"xG-%'POINTSG6#7%$F3F-F,F,-Fhio6#Fg\\m-Fhio6#7%F,F[joF,-F76$7%F;7%F< F?F,F:-%*LINESTYLEG6#F(-F$6%7%$\"\"(F)$\"\"$F)F,%\"JG-%%FONTG6#%'SYMBO LG-F$6%7%$\"\")!\"#$\"#;Fi[pF[jo%\"fGF`[p-%*AXESSTYLEG6#%%NONEG-%(SCAL INGG6#%,CONSTRAINEDG-%*AXESTICKSG6%F-F-F--%'COLOURG6&%$RGBGF,F,F," 1 2 0 1 10 0 2 6 1 1 1 1.000000 48.000000 27.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "Curve 3" "Curve 4" "Curve 5" "Curve 6" "Curve 7" "Curve 8" "Curve 9" "Curve 10" "Curve 11" "Curve 12" "Curve 13" "Curve 14" "Curve 15" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "La proiezione di " }{XPPEDIT 18 0 "v; " "6#%\"vG" }{TEXT -1 11 " sul piano " }{XPPEDIT 18 0 "xy;" "6#%#xyG" }{TEXT -1 14 " ha lunghezza " }{XPPEDIT 18 0 "sin(phi);" "6#-%$sinG6#% $phiG" }{TEXT -1 10 " e dunque " }{XPPEDIT 18 0 "v[1] = sin(phi)*cos(t heta);" "6#/&%\"vG6#\"\"\"*&-%$sinG6#%$phiGF'-%$cosG6#%&thetaGF'" } {TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "v[2] = sin(phi)*sin(theta);" "6#/&%\" vG6#\"\"#*&-%$sinG6#%$phiG\"\"\"-F*6#%&thetaGF-" }{TEXT -1 10 ". Inolt re " }{XPPEDIT 18 0 "v[3] = cos(phi);" "6#/&%\"vG6#\"\"$-%$cosG6#%$phi G" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "La concatenazione" } }{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T(-x[0],-y[0],-z[0])*Rot[z](-theta)* Rot[y](-phi);" "6#*(-%\"TG6%,$&%\"xG6#\"\"!!\"\",$&%\"yG6#F+F,,$&%\"zG 6#F+F,\"\"\"-&%$RotG6#F36#,$%&thetaGF,F5-&F86#F/6#,$%$phiGF,F5" } {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "trasforma l'asse " } {XPPEDIT 18 0 "r;" "6#%\"rG" }{TEXT -1 24 " di rotazione nell'asse " } {XPPEDIT 18 0 "z;" "6#%\"zG" }{TEXT -1 24 ", poich\351 porta il punto \+ " }{XPPEDIT 18 0 "P[0];" "6#&%\"PG6#\"\"!" }{TEXT -1 37 " nell'origine e il vettore direzione " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 14 " nel vettore (" }{XPPEDIT 18 0 "0,0,1;" "6%\"\"!F#\"\"\"" }{TEXT -1 42 "). Per ottenere la rotazione di un angolo " }{XPPEDIT 18 0 "alpha; " "6#%&alphaG" }{TEXT -1 30 " attorno alla retta orientata " } {XPPEDIT 18 0 "r;" "6#%\"rG" }{TEXT -1 45 " basta concatenare le segue nti trasformazioni" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T(-x[0],-y[0],- z[0])*Rot[z](-theta)*Rot[y](-phi)*Rot[z](alpha)*Rot[y](phi)*Rot[z](the ta)*T(x[0],y[0],z[0]);" "6#*0-%\"TG6%,$&%\"xG6#\"\"!!\"\",$&%\"yG6#F+F ,,$&%\"zG6#F+F,\"\"\"-&%$RotG6#F36#,$%&thetaGF,F5-&F86#F/6#,$%$phiGF,F 5-&F86#F36#%&alphaGF5-&F86#F/6#FBF5-&F86#F36#F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 68 "theta:=arctan(3/sqrt(10) ,1/sqrt(10)):phi:=arctan(2*sqrt(10)/7,-3/7):" }{TEXT -1 12 "la funzion e " }{TEXT 414 6 "arctan" }{TEXT -1 9 " con due " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 106 "argomenti x,y calcola l'arcotangente di x/y e permette d i controllare i segni delle funzioni seno e coseno" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 109 "m:=simplify(evalm(T3d(-2,-1,-5)&*Rotz(-the ta)&*Roty(-phi)&*Rotz(alpha)&*Roty(phi)&*Rotz(theta)&*T3d(2,1,5)));" } }{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"mG-%'matrixG6#7&7&,&-%$cosG6#%&al phaG#\"#X\"#\\#\"\"%F1\"\"\",(F+#!#7F1*&#\"\"$\"\"(F4-%$sinGF-F4!\"\"# \"#7F1F4,(F+#\"\"'F1*&#FCF;F4F#FCF1F>\"\"!7&,(F+F6*&#F:F;F4FFG7&,(F+FB #FCF1F>*&#FCF;F4F*&#FVF;F4F,&F+#\"#SF1#\"\"*F1F 4FG7&,(F+#!$3\"F1*&#\"#LF;F4F#\"$3\"F1F4,(#\"#zF1F4*&#F[pF1F4F+F4 F>*&#\"#;F;F4F*&#\"#5F;F4F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 409 13 "Osservazione:" }{TEXT -1 12 " gli angoli " }{XPPEDIT 18 0 "the ta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "phi;" "6#%$phiG" } {TEXT -1 15 " consentono di " }{TEXT 410 9 "orientare" }{TEXT -1 156 " facilmente un oggetto tridimensionale (si veda ad esempio la finestra dei grafici 3d in Maple, dove \350 possibile cambiare la direzione di vista modificando " }{XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "phi;" "6#%$phiG" }{TEXT -1 2 ")." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 42 "Riflessione rispetto a un piano arbitrario" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "Un pia no nello spazio ha un'equazione cartesiana della forma " }{XPPEDIT 18 0 "a*x+b*y+c*z+d = 0;" "6#/,**&%\"aG\"\"\"%\"xGF'F'*&%\"bGF'%\"yGF'F'* &%\"cGF'%\"zGF'F'%\"dGF'\"\"!" }{TEXT -1 6 ", con " }{XPPEDIT 18 0 "a, b,c;" "6%%\"aG%\"bG%\"cG" }{TEXT -1 29 " non tutti nulli. Il vettore \+ " }{XPPEDIT 18 0 "n = (a, b, c);" "6#/%\"nG6%%\"aG%\"bG%\"cG" }{TEXT -1 61 " \350 normale (cio\350 ortogonale) al piano. L'equazione del pi ano " }{XPPEDIT 18 0 "Pi;" "6#%#PiG" }{TEXT -1 23 " passante per il pu nto " }{XPPEDIT 18 0 "P[0] = (x[0], y[0], z[0]);" "6#/&%\"PG6#\"\"!6%& %\"xG6#F'&%\"yG6#F'&%\"zG6#F'" }{TEXT -1 26 " e con direzione normale \+ (" }{XPPEDIT 18 0 "a,b,c;" "6%%\"aG%\"bG%\"cG" }{TEXT -1 10 ") \350 du nque" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "a*(x-x[0])+b*(y-y[0])+c*(z-z[ 0]) = 0;" "6#/,(*&%\"aG\"\"\",&%\"xGF'&F)6#\"\"!!\"\"F'F'*&%\"bGF',&% \"yGF'&F16#F,F-F'F'*&%\"cGF',&%\"zGF'&F76#F,F-F'F'F," }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Per ottenere la riflessione rispetto al piano " }{XPPEDIT 18 0 "Pi;" "6#%#PiG" }{TEXT -1 81 ", \350 sufficien te trasformare il piano in un piano coordinato, ad esempio il piano " }{XPPEDIT 18 0 "xy;" "6#%#xyG" }{TEXT -1 60 ". Si pu\362 procedere com e nella sezione precedente, traslando " }{XPPEDIT 18 0 "P[0];" "6#&%\" PG6#\"\"!" }{TEXT -1 45 " nell'origine e ruotando il vettore normale ( " }{XPPEDIT 18 0 "a,b,c;" "6%%\"aG%\"bG%\"cG" }{TEXT -1 13 ") con ango li " }{XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "phi;" "6#%$phiG" }{TEXT -1 40 " in modo da renderlo parallelo al l'asse " }{XPPEDIT 18 0 "z;" "6#%\"zG" }{TEXT -1 51 ". La riflessione \+ \350 data quindi dalla concatenazione" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T(-x[0],-y[0],-z[0])*Rot[z](-theta)*Rot[y](-phi)*S(1,1,-1)*Rot[y ](phi)*Rot[z](theta)*T(x[0],y[0],z[0]);" "6#*0-%\"TG6%,$&%\"xG6#\"\"!! \"\",$&%\"yG6#F+F,,$&%\"zG6#F+F,\"\"\"-&%$RotG6#F36#,$%&thetaGF,F5-&F8 6#F/6#,$%$phiGF,F5-%\"SG6%F5F5,$F5F,F5-&F86#F/6#FBF5-&F86#F36#F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "theta:=arctan(-1/sqrt(5),2/sqrt(5)):phi:=arctan(sqrt(5)/3,2/3): " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 107 "m:=simplify(evalm(T3d( -1,0,0)&*Rotz(-theta)&*Roty(-phi)&*S3d(1,1,-1)&*Roty(phi)&*Rotz(theta) &*T3d(1,0,0)));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"mG-%'matrixG6#7 &7&#\"\"\"\"\"*#\"\"%F,#!\")F,\"\"!7&F-#\"\"(F,F-F17&F/F-F*F17&#\"\")F ,#!\"%F,F7F+" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}} {SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 6 "Esempi" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 16 "with(plottools):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "colore:=[red,green,blue,white]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 182 "tetraedro:= proc(l) local i,ll; global faccia; ll:=convert(l,list list):for i from 1 to 4 do faccia[i]:=polygon(subsop(i=NULL,ll),color= colore[i]) od; RETURN(convert(faccia,set)) end:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "disegno3d:=f->plots[display](f,scaling=CONSTRAINED,ax es=NORMAL,labels=[x,y,z]):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "t0:=[[0,0,0],[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "disegno3d(tetraedro(t0));" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT3D 400 300 300 {PLOTDATA 3 "6)-%)POLYGONSG6$7%7%$\"\"!F)F(F(7%$ \"\"\"F)F(F(7%F(F+F(-%'COLOURG6&%$RGBGF,F,F,-F$6$7%F'F*7%F(F(F+-F/6&F1 F(F($\"*++++\"!\")-F$6$7%F*F-F5-F/6&F1F8F(F(-F$6$7%F'F-F5-F/6&F1F(F8F( -%*AXESSTYLEG6#%'NORMALG-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%%\" xG%\"yG%\"zG" 1 2 0 1 10 0 2 1 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "Curve 3" "Curve 4" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "t1:=trasforma(t0,T3d(1,0,1)):" }{TEXT -1 11 "traslazi one" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "disegno3d(tetraedro(t0) unio n tetraedro(t1));" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT3D 400 300 300 {PLOTDATA 3 "6--%)POLYGONSG6$7%7%$\"\"#\"\"!$F*F*$\"\"\"F*7%F,F,F,7%F,F+F(-%'COL OURG6&%$RGBG$\"*++++\"!\")F+F+-F$6$7%7%F,F+F,F'F/-F16&F3F+F+F4-F$6$7%F :F'F.-F16&F3F-F-F--F$6$7%F:F.F/-F16&F3F+F4F+-F$6$7%7%F+F+F+7%F,F+F+7%F +F,F+F@-F$6$7%FJFK7%F+F+F,F;-F$6$7%FKFLFPF0-F$6$7%FJFLFPFE-%*AXESSTYLE G6#%'NORMALG-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%%\"xG%\"yG%\"zG " 1 2 0 1 10 0 2 1 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "C urve 2" "Curve 3" "Curve 4" "Curve 5" "Curve 6" "Curve 7" "Curve 8" }} }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "disegno3d(tetraedro(t0) un ion tetraedro(trasforma(t1,S3d(2,2,1))));" }{TEXT -1 20 "cambiamento d i scala" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT3D 400 300 300 {PLOTDATA 3 "6--%)PO LYGONSG6$7%7%$\"\"%\"\"!$F*F*$\"\"\"F*7%$\"\"#F*F/F,7%F/F+F/-%'COLOURG 6&%$RGBG$\"*++++\"!\")F+F+-F$6$7%7%F/F+F,F.F1-F36&F5F+F6F+-F$6$7%F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "disegno3d(tetraedro(t0) unio n tetraedro(trasforma(t0,Roty(2*Pi/3))));" }{TEXT -1 13 "rotazione di " }{XPPEDIT 18 0 "2*Pi/3;" "6#*(\"\"#\"\"\"%#PiGF%\"\"$!\"\"" }{TEXT -1 18 " attorno all'asse " }{XPPEDIT 18 0 "y;" "6#%\"yG" }{TEXT -1 0 " " }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT3D 400 300 300 {PLOTDATA 3 "6--%)POLYGONSG 6$7%7%$!+++++]!#5$\"\"!F,$!+SSDg')F*7%F+$\"\"\"F,F+7%$\"+SSDg')F*F+F(- %'COLOURG6&%$RGBG$\"*++++\"!\")F+F+-F$6$7%7%F+F+F+F/F2-F66&F8F+F9F+-F$ 6$7%F?F'F/-F66&F8F1F1F1-F$6$7%F?F'F2-F66&F8F+F+F9-F$6$7%F?7%F0F+F+F/FE -F$6$7%F?FO7%F+F+F0FJ-F$6$7%FOF/FSF5-F$6$7%F?F/FSF@-%*AXESSTYLEG6#%'NO RMALG-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%%\"xG%\"yG%\"zG" 1 2 0 1 10 0 2 1 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2 " "Curve 3" "Curve 4" "Curve 5" "Curve 6" "Curve 7" "Curve 8" }}}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 59 "disegno3d(tetraedro(t0) unio n tetraedro(trasforma(t0,m)));" }{TEXT -1 30 "riflessione rispetto al piano " }{XPPEDIT 18 0 "2*x-y+2*z-2 = 0;" "6#/,**&\"\"#\"\"\"%\"xGF'F '%\"yG!\"\"*&F&F'%\"zGF'F'F&F*\"\"!" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 13 "" 1 " " {GLPLOT3D 400 300 300 {PLOTDATA 3 "6--%)POLYGONSG6$7%7%$\"+*)))))))) )!#5$!+WWWWWF*F(7%$\"\"\"\"\"!$F0F0F17%$\"+LLLL8!\"*$\"+LLLLLF*F3-%'CO LOURG6&%$RGBGF/F/F/-F$6$7%F'F-7%F1F1F.-F96&F;F1F1$\"*++++\"!\")-F$6$7% 7%F1F1F1F-7%F1F.F1F8-F$6$7%FHF-F?F@-F$6$7%F-FIF?-F96&F;FBF1F1-F$6$7%FH FIF?-F96&F;F1FBF1-F$6$7%F'F2F?FU-F$6$7%F-F2F?FP-%*AXESSTYLEG6#%'NORMAL G-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%%\"xG%\"yG%\"zG" 1 2 0 1 10 0 2 1 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "C urve 3" "Curve 4" "Curve 5" "Curve 6" "Curve 7" "Curve 8" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 40 "3.3 Rette e piani in coordinate omogenee" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 62 "In coordinate cartesiane un piano ha un'equazione dell a forma " }{XPPEDIT 18 0 "a*x+b*y+c*z+d = 0;" "6#/,**&%\"aG\"\"\"%\"xG F'F'*&%\"bGF'%\"yGF'F'*&%\"cGF'%\"zGF'F'%\"dGF'\"\"!" }{TEXT -1 6 " (c on " }{XPPEDIT 18 0 "a,b,c;" "6%%\"aG%\"bG%\"cG" }{TEXT -1 55 " non tu tti nulli). In coordinate omogenee, sostituendo " }{XPPEDIT 18 0 "x = \+ X/W,y = Y/W,z = Z/W;" "6%/%\"xG*&%\"XG\"\"\"%\"WG!\"\"/%\"yG*&%\"YGF'F (F)/%\"zG*&%\"ZGF'F(F)" }{TEXT -1 21 " e moltiplicando per " }{TEXT 415 1 "W" }{TEXT -1 13 ", si ottiene " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "a*X+b*Y+c*Z+d*W = 0;" "6#/,**&%\"aG\"\"\"%\"XGF'F'*&%\"bGF'%\"YG F'F'*&%\"cGF'%\"ZGF'F'*&%\"dGF'%\"WGF'F'\"\"!" }{TEXT -1 1 "." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 62 "Come per le rette del piano, possiamo con siderare la quaterna " }{XPPEDIT 18 0 "N = (a, b, c, d);" "6#/%\"NG6&% \"aG%\"bG%\"cG%\"dG" }{TEXT -1 6 " come " }{TEXT 416 43 "vettore delle coordinate omogenee del piano" }{TEXT -1 62 ", e riscrivere l'equazio ne omogenea come prodotto scalare (in " }{XPPEDIT 18 0 "R^4;" "6#*$%\" RG\"\"%" }{TEXT -1 1 ")" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "P.N = 0;" "6#/-%\".G6$%\"PG%\"NG\"\"!" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "con " }{XPPEDIT 18 0 "P = (X, Y, Z, W);" "6#/%\"PG6&%\"XG%\"YG% \"ZG%\"WG" }{TEXT -1 45 " vettore delle coordinate omogenee del punto. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Dati tre punti non allineati " } {XPPEDIT 18 0 "P[1],P[2],P[3];" "6%&%\"PG6#\"\"\"&F$6#\"\"#&F$6#\"\"$ " }{TEXT -1 55 ", l'unico piano che li contiene ha coordinate omogenee " }{XPPEDIT 18 0 "N = (a, b, c, d);" "6#/%\"NG6&%\"aG%\"bG%\"cG%\"dG " }{TEXT -1 49 " che soddisfano le tre condizioni di ortogonalit\340" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "P[1];" "6#&%\"PG6#\"\"\"" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "N = 0;" "6#/%\"NG\"\"!" }{TEXT -1 4 ", " }{XPPEDIT 18 0 "P[2];" "6#&%\"PG6#\"\"#" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "N = 0;" "6#/%\"NG\"\"!" }{TEXT -1 4 ", " }{XPPEDIT 18 0 "P[3]; " "6#&%\"PG6#\"\"$" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "N = 0;" "6#/%\"N G\"\"!" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Un vettore " } {XPPEDIT 18 0 "N;" "6#%\"NG" }{TEXT -1 104 " con queste propriet\340 p u\362 essere ottenuto sviluppando rispetto alla prima riga il seguente determinante:" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "N = det(matrix([[e[ 1], e[2], e[3], e[4]], [X[1], Y[1], Z[1], W[1]], [X[2], Y[2], Z[2], W[ 2]], [X[3], Y[3], Z[3], W[3]]]));" "6#/%\"NG-%$detG6#-%'matrixG6#7&7&& %\"eG6#\"\"\"&F.6#\"\"#&F.6#\"\"$&F.6#\"\"%7&&%\"XG6#F0&%\"YG6#F0&%\"Z G6#F0&%\"WG6#F07&&F<6#F3&F?6#F3&FB6#F3&FE6#F37&&F<6#F6&F?6#F6&FB6#F6&F E6#F6" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "dove " }{XPPEDIT 18 0 "\{e[1], e[2], e[3], e[4]\};" "6#<&&%\"eG6#\"\"\"&F%6#\"\"#&F%6# \"\"$&F%6#\"\"%" }{TEXT -1 23 " \350 la base canonica di " }{XPPEDIT 18 0 "R^4;" "6#*$%\"RG\"\"%" }{TEXT -1 2 ": " }{XPPEDIT 18 0 "e[1] = ( 1, 0, 0, 0);" "6#/&%\"eG6#\"\"\"6&F'\"\"!F)F)" }{TEXT -1 2 ", " } {XPPEDIT 18 0 "e[2] = (0, 1, 0, 0);" "6#/&%\"eG6#\"\"#6&\"\"!\"\"\"F)F )" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "e[3] = (0, 0, 1, 0);" "6#/&%\"eG6# \"\"$6&\"\"!F)\"\"\"F)" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "e[4] = (0, 0, 0, 1);" "6#/&%\"eG6#\"\"%6&\"\"!F)F)\"\"\"" }{TEXT -1 26 ". Infatti l e 4 componenti " }{XPPEDIT 18 0 "a,b,c,d;" "6&%\"aG%\"bG%\"cG%\"dG" } {TEXT -1 151 " del vettore cos\354 ottenuto sono i complementi algebri ci ottenuti dalla prima riga; sviluppando ancora rispetto alla prima r iga il determinante (nullo!)" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "det(m atrix([[X[1], Y[1], Z[1], W[1]], [X[1], Y[1], Z[1], W[1]], [X[2], Y[2] , Z[2], W[2]], [X[3], Y[3], Z[3], W[3]]]));" "6#-%$detG6#-%'matrixG6#7 &7&&%\"XG6#\"\"\"&%\"YG6#F.&%\"ZG6#F.&%\"WG6#F.7&&F,6#F.&F06#F.&F36#F. &F66#F.7&&F,6#\"\"#&F06#FD&F36#FD&F66#FD7&&F,6#\"\"$&F06#FN&F36#FN&F66 #FN" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "si ha " }{XPPEDIT 18 0 "X[1]*a+Y[2]*b+Z[1]*c+W[1]*d = 0;" "6#/,**&&%\"XG6#\"\"\"F)%\"aGF )F)*&&%\"YG6#\"\"#F)%\"bGF)F)*&&%\"ZG6#F)F)%\"cGF)F)*&&%\"WG6#F)F)%\"d GF)F)\"\"!" }{TEXT -1 27 ", cio\350 la prima condizione " }{XPPEDIT 18 0 "P[1];" "6#&%\"PG6#\"\"\"" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "N = \+ 0;" "6#/%\"NG\"\"!" }{TEXT -1 28 ". Analogamente si ottengono " } {XPPEDIT 18 0 "P[2];" "6#&%\"PG6#\"\"#" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "N = 0;" "6#/%\"NG\"\"!" }{TEXT -1 4 " e " }{XPPEDIT 18 0 "P[3]; " "6#&%\"PG6#\"\"$" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "N = 0;" "6#/%\"N G\"\"!" }{TEXT -1 34 " prendendo matrici con prima riga " }{XPPEDIT 18 0 "P[2];" "6#&%\"PG6#\"\"#" }{TEXT -1 3 " o " }{XPPEDIT 18 0 "P[3]; " "6#&%\"PG6#\"\"$" }{TEXT -1 78 ". Possiamo esprimere quanto ottenuto dicendo che il piano cercato ha equazione" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "det(matrix([[X, Y, Z, W], [X[1], Y[1], Z[1], W[1]], [X[ 2], Y[2], Z[2], W[2]], [X[3], Y[3], Z[3], W[3]]])) = 0;" "6#/-%$detG6# -%'matrixG6#7&7&%\"XG%\"YG%\"ZG%\"WG7&&F,6#\"\"\"&F-6#F3&F.6#F3&F/6#F3 7&&F,6#\"\"#&F-6#F=&F.6#F=&F/6#F=7&&F,6#\"\"$&F-6#FG&F.6#FG&F/6#FG\"\" !" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 417 8 "Esempio:" }{TEXT -1 31 " il piano passante per i punti " }{XPPEDIT 18 0 "A = (5, 4, 2);" " 6#/%\"AG6%\"\"&\"\"%\"\"#" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "B = (-1, 7 , 3);" "6#/%\"BG6%,$\"\"\"!\"\"\"\"(\"\"$" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "C = (2, -2, 9);" "6#/%\"CG6%\"\"#,$F&!\"\"\"\"*" }{TEXT -1 22 " \+ ha equazione omogenea" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "det(matrix([ [X, Y, Z, W], [5, 4, 2, 1], [-1, 7, 3, 1], [2, -2, 9, 1]])) = 0;" "6#/ -%$detG6#-%'matrixG6#7&7&%\"XG%\"YG%\"ZG%\"WG7&\"\"&\"\"%\"\"#\"\"\"7& ,$F4!\"\"\"\"(\"\"$F47&F3,$F3F7\"\"*F4\"\"!" }{TEXT -1 1 "," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "cio\350 " }{XPPEDIT 18 0 "27*X+39*Y+45*Z-381*W = 0;" "6#/,**&\"#F\"\"\"%\"XGF'F'*&\"#RF'%\"YGF'F'*&\"#XF'%\"ZGF'F'*&\" $\"QF'%\"WGF'!\"\"\"\"!" }{TEXT -1 29 " e in coordinate cartesiane " }{XPPEDIT 18 0 "27*x+39*y+45*z-381 = 0;" "6#/,**&\"#F\"\"\"%\"xGF'F'*& \"#RF'%\"yGF'F'*&\"#XF'%\"zGF'F'\"$\"Q!\"\"\"\"!" }{TEXT -1 1 "." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 122 "In manie ra analoga si possono ottenere le coordinate omogenee del punto di int ersezione di 3 piani di coordinate omogenee " }{XPPEDIT 18 0 "N[1],N[2 ],N[3];" "6%&%\"NG6#\"\"\"&F$6#\"\"#&F$6#\"\"$" }{TEXT -1 38 ", che de vono soddisfare le condizioni " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "P; " "6#%\"PG" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "N[1] = 0;" "6#/&%\"NG6# \"\"\"\"\"!" }{TEXT -1 4 ", " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "N[2] = 0;" "6#/&%\"NG6#\"\"#\"\"!" }{TEXT -1 4 ", " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 3 " . " }{XPPEDIT 18 0 "N[3] = 0;" "6#/&%\"NG6#\"\"$\"\"!" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 321 "Per le rette nello \+ spazio \350 ancora possibile introdurre coordinate omogenee, ma in man iera pi\371 complicata e adoperando 6 coordinate omogenee. Si possono \+ invece descrivere facilmente le rette in forma parametrica usando le c oordinate omogenee dei punti. I punti della retta passante per i due p unti di coordinate omogenee " }{XPPEDIT 18 0 "P = (X[1], Y[1], Z[1], W [1]);" "6#/%\"PG6&&%\"XG6#\"\"\"&%\"YG6#F)&%\"ZG6#F)&%\"WG6#F)" } {TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "Q = (X[2], Y[2], Z[2], W[2]);" "6#/% \"QG6&&%\"XG6#\"\"#&%\"YG6#F)&%\"ZG6#F)&%\"WG6#F)" }{TEXT -1 38 " hann o coordinate omogenee della forma" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 " alpha*P+beta*Q;" "6#,&*&%&alphaG\"\"\"%\"PGF&F&*&%%betaGF&%\"QGF&F&" } {TEXT -1 9 ", con " }{XPPEDIT 18 0 "alpha;" "6#%&alphaG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "beta;" "6#%%betaG" }{TEXT -1 17 " parametri re ali." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "Infatti, dalle equazioni parametr iche " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "x = x[1]+t*(x[2]-x[1]);" "6# /%\"xG,&&F$6#\"\"\"F(*&%\"tGF(,&&F$6#\"\"#F(&F$6#F(!\"\"F(F(" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "y = y[1]+t*(y[2]-y[1]);" "6#/%\"yG,&&F$6#\" \"\"F(*&%\"tGF(,&&F$6#\"\"#F(&F$6#F(!\"\"F(F(" }{TEXT -1 2 ", " } {XPPEDIT 18 0 "z = z[1]+t*(z[2]-z[1]);" "6#/%\"zG,&&F$6#\"\"\"F(*&%\"t GF(,&&F$6#\"\"#F(&F$6#F(!\"\"F(F(" }{TEXT -1 1 "," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "sostituendo " }{XPPEDIT 18 0 "t = beta/(alpha+beta);" "6# /%\"tG*&%%betaG\"\"\",&%&alphaGF'F&F'!\"\"" }{TEXT -1 10 " e quindi " }{XPPEDIT 18 0 "1-t = alpha/(alpha+beta);" "6#/,&\"\"\"F%%\"tG!\"\"*&% &alphaGF%,&F)F%%%betaGF%F'" }{TEXT -1 12 ", si ottiene" }}{PARA 257 " " 0 "" {XPPEDIT 18 0 "x = (alpha*x[1]+beta*x[2])/(alpha+beta);" "6#/% \"xG*&,&*&%&alphaG\"\"\"&F$6#F)F)F)*&%%betaGF)&F$6#\"\"#F)F)F),&F(F)F- F)!\"\"" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "y = (alpha*y[1]+beta*y[2])/( alpha+beta);" "6#/%\"yG*&,&*&%&alphaG\"\"\"&F$6#F)F)F)*&%%betaGF)&F$6# \"\"#F)F)F),&F(F)F-F)!\"\"" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "z = (alph a*z[1]+beta*z[2])/(alpha+beta);" "6#/%\"zG*&,&*&%&alphaG\"\"\"&F$6#F)F )F)*&%%betaGF)&F$6#\"\"#F)F)F),&F(F)F-F)!\"\"" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "e quindi" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "(al pha+beta)*(x, y, z, 1) = alpha*(x[1], y[1], z[1], 1)+beta*(x[2], y[2], z[2], 1);" "6#/*&,&%&alphaG\"\"\"%%betaGF'F'6&%\"xG%\"yG%\"zGF'F',&*& F&F'6&&F*6#F'&F+6#F'&F,6#F'F'F'F'*&F(F'6&&F*6#\"\"#&F+6#F:&F,6#F:F'F'F '" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "ed essendo le coordin ate omogenee, anche " }{XPPEDIT 18 0 "(X, Y, Z, W) = alpha*P+beta*Q;" "6#/6&%\"XG%\"YG%\"ZG%\"WG,&*&%&alphaG\"\"\"%\"PGF,F,*&%%betaGF,%\"QGF ,F," }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 418 13 "Osservazione:" } {TEXT -1 128 " lo stesso calcolo pu\362 essere fatto per le equazioni \+ parametriche di una retta nel piano. I suoi punti hanno coordinate omo genee" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 1 "(" }{XPPEDIT 18 0 "X,Y,Z;" "6%% \"XG%\"YG%\"ZG" }{TEXT -1 4 ") = " }{XPPEDIT 18 0 "alpha*P+beta*Q;" "6 #,&*&%&alphaG\"\"\"%\"PGF&F&*&%%betaGF&%\"QGF&F&" }{TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 38 "4. Proiezioni del piano e dello s pazio" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 183 "La visualizzazione di oggetti t ridimensionali richiede di ottenere una vista piana dell'oggetto. Ques to avviene mediante una sequenza di operazioni. Innanzitutto, viene ap plicata una " }{TEXT 420 10 "proiezione" }{TEXT -1 82 " che trasforma \+ l'oggetto in una sua rappresentazione su un piano dello spazio, il " } {TEXT 421 14 "piano di vista" }{TEXT -1 378 ". Poi, sul piano di vista viene introdotto un sistema di coordinate cartesiane e la proiezione \+ dell'oggetto viene descritta in termini di tali coordinate bidimension ali. Infine, una trasformazione di coordinate bidimensionali applica i l piano di vista nel piano dove avviene la visualizzazione (la lavagna , una 'finestra' nello schermo del computer, il foglio di un plotter.. .)." }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 24 "4.1 Proiezioni del piano" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "Prima di passare al caso tridimensional e, consideriamo le proiezioni del piano su una retta. Sia " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" }{TEXT -1 23 " una retta del piano e " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 42 " un punto non appartenente alla rett a. La " }{TEXT 422 10 "proiezione" }{TEXT 424 1 " " }{TEXT -1 2 "da" } {TEXT 426 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 5 " (il " } {TEXT 423 6 "centro" }{TEXT -1 22 " della proiezione) su " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" }{TEXT -1 21 " \350 la trasformazione " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 32 " che applica un qualsiasi punto " } {XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 24 " del piano, distinto da " } {XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 12 ", nel punto " }{XPPEDIT 18 0 "P[1];" "6#&%\"PG6#\"\"\"" }{TEXT -1 26 " intersezione della retta \+ " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" }{TEXT -1 18 " con la retta per " } {XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6# %\"PG" }{TEXT -1 28 ". Naturalmente, se il punto " }{XPPEDIT 18 0 "P; " "6#%\"PG" }{TEXT -1 21 " sta sulla retta per " }{XPPEDIT 18 0 "C;" " 6#%\"CG" }{TEXT -1 13 " parallela a " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" } {TEXT -1 11 ", il punto " }{XPPEDIT 18 0 "P[1];" "6#&%\"PG6#\"\"\"" } {TEXT -1 128 " non \350 definito nel piano cartesiano, ma se utilizzia mo le coordinate omogenee ed estendiamo il piano con i punti all'infin ito, " }{XPPEDIT 18 0 "P[1];" "6#&%\"PG6#\"\"\"" }{TEXT -1 34 " \350 i l punto improprio della retta " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 130 "Mostriamo ora che la proiezi one si pu\362 rappresentare ancora mediante una matrice 3x3, come per \+ le trasformazioni affini del piano:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "de notiamo con " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 3 " e " } {XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" }{TEXT -1 82 " anche i vettori delle coor dinate omogenee del centro e della retta. La retta per " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" } {TEXT -1 44 " ha coordinate omogenee il vettore prodotto " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 425 1 "x" }{TEXT -1 1 " " } {XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 51 " (vedi la sezione 2.4) e qu indi interseca la retta " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#%\"lG" }{TEXT -1 11 " nel punto " }{XPPEDIT 18 0 "P[1];" "6#&%\"PG6#\"\"\"" }{TEXT -1 23 " \+ di coordinate omogenee" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "P[1] = l;" "6#/&%\"PG6#\"\"\"%\"lG" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 428 1 "x" }{TEXT -1 2 " (" }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 427 2 "x " } {XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 1 ")" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "Dall'identit\340 vettoriale " }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" } {TEXT -1 1 " " }{TEXT 429 3 "x (" }{XPPEDIT 18 0 "B;" "6#%\"BG" } {TEXT -1 1 " " }{TEXT 430 2 "x " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 4 ") = " }{XPPEDIT 18 0 "C.A*B;" "6#*&-%\".G6$%\"CG%\"AG\"\"\"%\"BG F)" }{XPPEDIT 18 0 "-A.B*C;" "6#,$*&-%\".G6$%\"AG%\"BG\"\"\"%\"CGF*!\" \"" }{TEXT -1 12 ", si ottiene" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "P[1 ] = l;" "6#/&%\"PG6#\"\"\"%\"lG" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 432 1 "x" } {TEXT -1 2 " (" }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 431 2 "x " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 4 ") = " }{XPPEDIT 18 0 "P.l*C;" "6#*&-%\".G6$%\"PG%\"lG\"\"\"%\"CGF)" }{TEXT -1 0 "" } {XPPEDIT 18 0 "-l.C*P;" "6#,$*&-%\".G6$%\"lG%\"CG\"\"\"%\"PGF*!\"\"" } {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "e considerando i vettori \+ come matrici con una sola riga," }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "P[ 1] = P*l^T*C;" "6#/&%\"PG6#\"\"\"*(F%F')%\"lG%\"TGF'%\"CGF'" } {XPPEDIT 18 0 "-P*(l.C);" "6#,$*&%\"PG\"\"\"-%\".G6$%\"lG%\"CGF&!\"\" " }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "P*(l^T*C-(l.C));" "6#*&%\"PG\"\"\" ,&*&)%\"lG%\"TGF%%\"CGF%F%-%\".G6$F)F+!\"\"F%" }{TEXT -1 3 " = " } {XPPEDIT 18 0 "P*(l^T*C-l.C*I[3]);" "6#*&%\"PG\"\"\",&*&)%\"lG%\"TGF%% \"CGF%F%*&-%\".G6$F)F+F%&%\"IG6#\"\"$F%!\"\"F%" }{TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Dunque " }{XPPEDIT 18 0 "P[1] = P*M;" "6#/ &%\"PG6#\"\"\"*&F%F'%\"MGF'" }{TEXT -1 6 ", con " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "M = l^T*C-l.C*I[3];" "6#/%\"MG,&*&)%\"lG%\"TG\"\"\"%\"C GF*F**&-%\".G6$F(F+F*&%\"IG6#\"\"$F*!\"\"" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT 433 21 "matrice di proiezione" }{TEXT -1 2 " (" } {XPPEDIT 18 0 "I[3];" "6#&%\"IG6#\"\"$" }{TEXT -1 36 " \350 la matrice identit\340 di ordine 3)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 439 8 "Esempio:" }{TEXT -1 44 " la proiezione dal punto (10,2) sulla r etta " }{XPPEDIT 18 0 "5*x+y-4 = 0;" "6#/,(*&\"\"&\"\"\"%\"xGF'F'%\"yG F'\"\"%!\"\"\"\"!" }{TEXT -1 11 " ha matrice" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "M = matrix([[5], [1], [-4]])*matrix([[10, 2, 1]])-(5, 1 , -4).(10, 2, 1)*matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]);" "6#/%\"MG ,&*&-%'matrixG6#7%7#\"\"&7#\"\"\"7#,$\"\"%!\"\"F.-F(6#7#7%\"#5\"\"#F.F .F.*&-%\".G6$6%F,F.,$F1F26%F7F8F.F.-F(6#7%7%F.\"\"!FD7%FDF.FD7%FDFDF.F .F2" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[2, 10, 5], [10, -46, 1 ], [-40, -8, -52]]);" "6#-%'matrixG6#7%7%\"\"#\"#5\"\"&7%F),$\"#Y!\"\" \"\"\"7%,$\"#SF.,$\"\")F.,$\"#_F." }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "Ad esempio, il punto (2,3) viene trasformato nel punto di coordinate omogenee " }{XPPEDIT 18 0 "(2, 3, 1)*matrix([[2, 10, 5], [ 10, -46, 1], [-40, -8, -52]]) = (-6, -126, -39);" "6#/*&6%\"\"#\"\"$\" \"\"F(-%'matrixG6#7%7%F&\"#5\"\"&7%F.,$\"#Y!\"\"F(7%,$\"#SF3,$\"\")F3, $\"#_F3F(6%,$\"\"'F3,$\"$E\"F3,$\"#RF3" }{TEXT -1 17 ", cio\350 nel pu nto " }{XPPEDIT 18 0 "[6/39, 126/39];" "6#7$*&\"\"'\"\"\"\"#R!\"\"*&\" $E\"F&F'F(" }{TEXT -1 13 " sulla retta " }{XPPEDIT 18 0 "5*x+y-4 = 0; " "6#/,(*&\"\"&\"\"\"%\"xGF'F'%\"yGF'\"\"%!\"\"\"\"!" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } {TEXT 434 13 "Osservazione:" }{TEXT -1 106 " le proiezioni e le trasfo rmazioni affini del piano, estese ai punti del piano proiettivo, sono \+ esempi di " }{TEXT 435 25 "trasformazioni proiettive" }{TEXT 436 0 "" }{TEXT -1 37 " del piano, che sono le applicazioni " }{XPPEDIT 18 0 "T ;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 45 " definite in coordinate omogenee dal prodot to" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T(X,Y,Z) = (X, Y, Z)*M;" "6#/-% \"TG6%%\"XG%\"YG%\"ZG*&6%F'F(F)\"\"\"%\"MGF," }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "con " }{XPPEDIT 18 0 "M;" "6#%\"MG" }{TEXT -1 46 " matrice 3x3 non nulla.Se la terza colonna di " }{XPPEDIT 18 0 "M; " "6#%\"MG" }{TEXT -1 13 " ha elementi " }{XPPEDIT 18 0 "0,0,k;" "6%\" \"!F#%\"kG" }{TEXT -1 6 ", con " }{XPPEDIT 18 0 "k <> 0;" "6#0%\"kG\" \"!" }{TEXT -1 9 ", allora " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 55 " \350 una trasformazione affine (sostituendo alla matrice " } {XPPEDIT 18 0 "M;" "6#%\"MG" }{TEXT -1 12 " la matrice " }{XPPEDIT 18 0 "M/k;" "6#*&%\"MG\"\"\"%\"kG!\"\"" }{TEXT -1 192 " si ottiene la ste ssa trasformazione, poich\351 le coordinate sono omogenee), che applic a punti propri in punti propri e punti all'infinito (impropri) in punt i all'infinito. Se invece la matrice " }{XPPEDIT 18 0 "M;" "6#%\"MG" } {TEXT -1 173 " non ha questa forma, allora rappresenta una trasformazi one di tipo diverso, come una proiezione, e pu\362 anche non essere de finita per tutti i punti del piano proiettivo (se " }{XPPEDIT 18 0 "P* M = (0, 0, 0);" "6#/*&%\"PG\"\"\"%\"MGF&6%\"\"!F)F)" }{TEXT -1 16 ", l 'immagine di " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 83 " non \350 d efinita, poich\351 la terna delle coordinate omogenee deve essere dive rsa da (" }{XPPEDIT 18 0 "0,0,0;" "6%\"\"!F#F#" }{TEXT -1 4 ")). " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Nella discussione precedente, l'uso dell e coordinate omogenee permette di prendere come centro di proiezione \+ " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 27 " anche un punto impropri o (" }{XPPEDIT 18 0 "c[1],c[2],0;" "6%&%\"cG6#\"\"\"&F$6#\"\"#\"\"!" } {TEXT -1 5 ") di " }{XPPEDIT 18 0 "P^2;" "6#*$%\"PG\"\"#" }{TEXT -1 40 ". In questo caso, la retta passante per " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#% \"CG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 16 " \+ \350 la retta per " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 8 " che ha " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 57 " come punto all'infinit o, cio\350 con direzione il vettore (" }{XPPEDIT 18 0 "c[1],c[2];" "6$ &%\"cG6#\"\"\"&F$6#\"\"#" }{TEXT -1 27 "). Si tratta dunque di una " } {TEXT 437 20 "proiezione parallela" }{TEXT -1 63 ", in cui le rette ch e proiettano i punti del piano sulla retta " }{XPPEDIT 18 0 "l;" "6#% \"lG" }{TEXT -1 38 " sono tutte parallele, con direzione (" }{XPPEDIT 18 0 "c[1],c[2];" "6$&%\"cG6#\"\"\"&F$6#\"\"#" }{TEXT -1 42 "). Per di stinguere i due casi, chiameremo " }{TEXT 438 19 "proiezione centrale " }{TEXT -1 46 " una proiezione con centro un punto proprio. " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 440 8 "Esempio: " }{TEXT -1 77 " la proiezione parallela dal punto improprio (0,1,0) ( la direzione dell'asse " }{XPPEDIT 18 0 "y;" "6#%\"yG" }{TEXT -1 14 ") sulla retta " }{XPPEDIT 18 0 "3*x+2*y-4 = 0;" "6#/,(*&\"\"$\"\"\"%\"x GF'F'*&\"\"#F'%\"yGF'F'\"\"%!\"\"\"\"!" }{TEXT -1 11 " ha matrice" }} {PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "M = matrix([[3], [2], [-4]])*matrix([ [0, 1, 0]])-(3, 2, -4).(0, 1, 0)*matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, \+ 1]]);" "6#/%\"MG,&*&-%'matrixG6#7%7#\"\"$7#\"\"#7#,$\"\"%!\"\"\"\"\"-F (6#7#7%\"\"!F3F8F3F3*&-%\".G6$6%F,F.,$F1F26%F8F3F8F3-F(6#7%7%F3F8F87%F 8F3F87%F8F8F3F3F2" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[-2, 3, 0 ], [0, 0, 0], [0, -4, -2]]);" "6#-%'matrixG6#7%7%,$\"\"#!\"\"\"\"$\"\" !7%F,F,F,7%F,,$\"\"%F*,$F)F*" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Si noti che nel caso delle proiezioni parallele " }{XPPEDIT 18 0 "M;" "6#%\"MG" }{TEXT -1 229 " \350 la matrice di una trasformazione affine. Infatti una proiezione parallela applica punti propri in punt i propri ed \350 definita su tutto il piano cartesiano. Si tratta di u na trasformazione affine singolare, cio\351 non invertibile." }}} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 27 "4.2 Proiezioni dello spazio" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "Passiamo ora a descrivere le proiezioni d ello spazio tridimensionale su un piano. Sia " }{XPPEDIT 18 0 "N;" "6# %\"NG" }{TEXT -1 88 " il vettore delle coordinate omogenee del piano d i proiezione (il piano di vista) e sia " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG " }{TEXT -1 31 " un punto esterno al piano. La " }{TEXT 441 0 "" } {TEXT 442 10 "proiezione" }{TEXT 443 0 "" }{TEXT -1 4 " da " } {XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 11 " sul piano " }{XPPEDIT 18 0 "N;" "6#%\"NG" }{TEXT -1 21 " \350 la trasformazione " }{XPPEDIT 18 0 "T;" "6#%\"TG" }{TEXT -1 22 " che applica un punto " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 14 ", distinto da " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#% \"CG" }{TEXT -1 12 ", nel punto " }{XPPEDIT 18 0 "T(P) = P[1];" "6#/-% \"TG6#%\"PG&F'6#\"\"\"" }{TEXT -1 74 " del piano di vista che si ottie ne intersecando il piano con la retta per " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\" CG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 5 ". Se \+ " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 25 " appartiene al piano per " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 30 " parallelo al piano di \+ vista, " }{XPPEDIT 18 0 "P[1];" "6#&%\"PG6#\"\"\"" }{TEXT -1 57 " \350 il punto all'infinito nella direzione della retta per " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" } {TEXT -1 5 ". Se " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 39 " \350 u n punto improprio, la proiezione \350 " }{TEXT 444 9 "parallela" } {TEXT -1 50 " (con direzione delle rette di proiezione data da " } {XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 21 "), altrimenti \350 detta" } {TEXT 446 1 " " }{TEXT 445 8 "centrale" }{TEXT -1 3 " o " }{TEXT 473 0 "" }{TEXT 474 11 "proiezione " }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 470 0 "" } {TEXT 471 11 "prospettica" }{TEXT 472 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "Ricaviamo la matrice della proiezione:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "i punti della retta per " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" } {TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "P;" "6#%\"PG" }{TEXT -1 39 " hanno co ordinate omogenee della forma " }{XPPEDIT 18 0 "alpha*C+beta*P;" "6#,& *&%&alphaG\"\"\"%\"CGF&F&*&%%betaGF&%\"PGF&F&" }{TEXT -1 40 " (vedi la sezione 3.3) e l'intersezione " }{XPPEDIT 18 0 "P[1];" "6#&%\"PG6#\" \"\"" }{TEXT -1 69 " tra tale retta e il piano di vista \350 caratteri zzata dalla condizione" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "N.(alpha*C+ beta*P) = 0;" "6#/-%\".G6$%\"NG,&*&%&alphaG\"\"\"%\"CGF+F+*&%%betaGF+% \"PGF+F+\"\"!" }{TEXT -1 13 " cio\351 " }{XPPEDIT 18 0 "alpha*( N.C)+beta*(N.P) = 0;" "6#/,&*&%&alphaG\"\"\"-%\".G6$%\"NG%\"CGF'F'*&%% betaGF'-F)6$F+%\"PGF'F'\"\"!" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Scegliend o " }{XPPEDIT 18 0 "alpha = N.P;" "6#/%&alphaG-%\".G6$%\"NG%\"PG" } {TEXT -1 5 " e " }{XPPEDIT 18 0 "beta = -(N.C);" "6#/%%betaG,$-%\".G 6$%\"NG%\"CG!\"\"" }{TEXT -1 13 " si ottiene " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "P[1] = N.P*C;" "6#/&%\"PG6#\"\"\"*&-%\".G6$%\"NGF%F'%\" CGF'" }{XPPEDIT 18 0 "-N.C*P;" "6#,$*&-%\".G6$%\"NG%\"CG\"\"\"%\"PGF*! \"\"" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "P*N^T*C-P*(N.C);" "6#,&*(%\"PG \"\"\")%\"NG%\"TGF&%\"CGF&F&*&F%F&-%\".G6$F(F*F&!\"\"" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "P*(N^T*C-N.C*I[4]);" "6#*&%\"PG\"\"\",&*&)%\"NG%\"T GF%%\"CGF%F%*&-%\".G6$F)F+F%&%\"IG6#\"\"%F%!\"\"F%" }{TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Dunque " }{XPPEDIT 18 0 "T(X,Y,Z,W) = (X , Y, Z, W)*M;" "6#/-%\"TG6&%\"XG%\"YG%\"ZG%\"WG*&6&F'F(F)F*\"\"\"%\"MG F-" }{TEXT -1 10 ", con " }{XPPEDIT 18 0 "M = N^T*C-N.C*I[4];" "6# /%\"MG,&*&)%\"NG%\"TG\"\"\"%\"CGF*F**&-%\".G6$F(F+F*&%\"IG6#\"\"%F*!\" \"" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 59 "Come nel caso bidim ensionale, le proiezioni sono esempi di " }{TEXT 447 0 "" }{TEXT 448 25 "trasformazioni proiettive" }{TEXT 449 0 "" }{TEXT 450 0 "" }{TEXT 451 0 "" }{TEXT -1 249 " dello spazio. Le proiezioni centrali non sono trasformazioni affini, diversamente da quelle parallele. Una consegue nza del fatto che una proiezione parallela trasforma punti impropri in punti impropri, \350 la seguente propriet\340: ogni coppia di rette \+ " }{TEXT 461 9 "parallele" }{TEXT -1 26 " viene trasformata da una " } {TEXT 462 20 "proiezione parallela" }{TEXT -1 31 " in una coppia di re tte ancora " }{TEXT 460 9 "parallele" }{TEXT -1 64 " (le due rette dev ono incontrarsi ancora in un punto improprio)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 452 10 "Esempio 1:" }{TEXT -1 35 " la proiezione \+ parallela sul piano " }{XPPEDIT 18 0 "z = 0;" "6#/%\"zG\"\"!" }{TEXT -1 33 " in direzione parallela all'asse " }{XPPEDIT 18 0 "z;" "6#%\"zG " }{TEXT -1 11 " ha matrice" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "M = ma trix([[0], [0], [1], [0]])*matrix([[0, 0, 1, 0]])-matrix([[1, 0, 0, 0] , [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]);" "6#/%\"MG,&*&-%'matrixG 6#7&7#\"\"!7#F,7#\"\"\"7#F,F/-F(6#7#7&F,F,F/F,F/F/-F(6#7&7&F/F,F,F,7&F ,F/F,F,7&F,F,F/F,7&F,F,F,F/!\"\"" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "ma trix([[-1, 0, 0, 0], [0, -1, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, -1]]);" "6 #-%'matrixG6#7&7&,$\"\"\"!\"\"\"\"!F+F+7&F+,$F)F*F+F+7&F+F+F+F+7&F+F+F +,$F)F*" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "poich\351 il pi ano di vista " }{XPPEDIT 18 0 "z = 0;" "6#/%\"zG\"\"!" }{TEXT -1 23 " \+ ha equazione omogenea " }{XPPEDIT 18 0 "Z = 0;" "6#/%\"ZG\"\"!" } {TEXT -1 37 " e vettore delle coordinate omogenee " }{XPPEDIT 18 0 "N \+ = (0, 0, 1, 0);" "6#/%\"NG6&\"\"!F&\"\"\"F&" }{TEXT -1 54 " e il centr o (punto improprio) ha coordinate omogenee " }{XPPEDIT 18 0 "C = (0, 0 , 1, 0);" "6#/%\"CG6&\"\"!F&\"\"\"F&" }{TEXT -1 73 ". Naturalmente, la proiezione associa al punto di coordinate cartesiane (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y,z;" "6%%\"xG%\"yG%\"zG" }{TEXT -1 34 ") il punto di coordinate \+ omogenee " }{XPPEDIT 18 0 "[x, y, z, 1]*M = [-x, -y, 0, -1];" "6#/*&7& %\"xG%\"yG%\"zG\"\"\"F)%\"MGF)7&,$F&!\"\",$F'F-\"\"!,$F)F-" }{TEXT -1 29 " e di coordinate cartesiane (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y,0;" "6%%\"xG%\" yG\"\"!" }{TEXT -1 2 ")." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 453 10 "Esempio 2:" }{TEXT -1 34 " la proiezione centrale sul piano " } {XPPEDIT 18 0 "z = 0;" "6#/%\"zG\"\"!" }{TEXT -1 21 " dal punto di vis ta (" }{XPPEDIT 18 0 "1,5,3;" "6%\"\"\"\"\"&\"\"$" }{TEXT -1 12 ") ha \+ matrice" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "M = matrix([[0], [0], [1], [0]])*matrix([[1, 5, 3, 1]])-3*matrix([[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0 , 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]);" "6#/%\"MG,&*&-%'matrixG6#7&7#\"\"!7#F,7# \"\"\"7#F,F/-F(6#7#7&F/\"\"&\"\"$F/F/F/*&F6F/-F(6#7&7&F/F,F,F,7&F,F/F, F,7&F,F,F/F,7&F,F,F,F/F/!\"\"" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "matri x([[-3, 0, 0, 0], [0, -3, 0, 0], [1, 5, 0, 1], [0, 0, 0, -3]]);" "6#-% 'matrixG6#7&7&,$\"\"$!\"\"\"\"!F+F+7&F+,$F)F*F+F+7&\"\"\"\"\"&F+F/7&F+ F+F+,$F)F*" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 68 "Dunque la tr asformazione associa al punto di coordinate cartesiane (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y,z;" "6%%\"xG%\"yG%\"zG" }{TEXT -1 34 ") il punto di coordina te omogenee " }{XPPEDIT 18 0 "[x, y, z, 1]*M = [-3*x+z, -3*y+5*z, 0, z -3];" "6#/*&7&%\"xG%\"yG%\"zG\"\"\"F)%\"MGF)7&,&*&\"\"$F)F&F)!\"\"F(F) ,&*&F.F)F'F)F/*&\"\"&F)F(F)F)\"\"!,&F(F)F.F/" }{TEXT -1 28 " e di coor dinate cartesiane " }{XPPEDIT 18 0 "[(-3*x+z)/(z-3), (-3*y+5*z)/(z-3), 0];" "6#7%*&,&*&\"\"$\"\"\"%\"xGF(!\"\"%\"zGF(F(,&F+F(F'F*F**&,&*&F'F (%\"yGF(F**&\"\"&F(F+F(F(F(,&F+F(F'F*F*\"\"!" }{TEXT -1 199 ". Si noti che nel caso di trasformazioni proiettive che non sono affini, le coo rdinate cartesiane del punto trasformato si esprimono mediante quozien ti di espressioni di primo grado nelle coordinate " }{XPPEDIT 18 0 "x, y,z;" "6%%\"xG%\"yG%\"zG" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 6 "Esempi" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "with(linalg):with(plottools):" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "colore:=[red,green,blue,white]:" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 182 "tetraedro:= proc(l) local i,ll; global faccia ; ll:=convert(l,listlist):for i from 1 to 4 do faccia[i]:=polygon(subs op(i=NULL,ll),color=colore[i]) od; RETURN(convert(faccia,set)) end:" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "t0:=[[0,0,0],[1,0,0],[0,1,0],[0,0, 1]];" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "disegno3d:=f->plots[display ](f,scaling=CONSTRAINED,axes=NORMAL,labels=[x,y,z]):" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#t0G7&7%\"\"!F'F'7%\"\"\"F'F'7%F'F)F'7%F'F'F)" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "omogeneo:=f->augment(f,vecto r(rowdim(f),1)):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 92 "nonomogeneo:=f- >matrix([seq([seq(f[i,j]/f[i,coldim(f)],j=1..coldim(f)-1)],i=1..rowdim (f))]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "trasforma:=(f,m)->nonomo geneo(evalm(omogeneo(f)&*m)):" }{TEXT -1 117 "la funzione che esegue l a trasformazione \350 modificata per poter rappresentare una qualsiasi trasformazione proiettiva" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 80 "MP:=(N,C)->evalm(transpose([N])&*[C]- dotprod(N,C)* Matrix(4,4,sha pe=identity)):" }{TEXT -1 46 "matrice di proiezione dal centro C sul p iano N" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "MP([0,0,1,0],[1,5 ,3,1]);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'matrixG6#7&7&!\"$\"\"!F) F)7&F)F(F)F)7&\"\"\"\"\"&F)F,7&F)F)F)F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "t1:=trasforma(t0,MP([0,0,1,0],[1,5,3,1]));" }{TEXT -1 39 " proiezione del tetraedro t0 sul piano " }{XPPEDIT 18 0 "z = 0; " "6#/%\"zG\"\"!" }{TEXT -1 12 " dal punto (" }{XPPEDIT 18 0 "1,5,3;" "6%\"\"\"\"\"&\"\"$" }{TEXT -1 1 ")" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "disegno3d(tetraedro(t0) union tetraedro(t1));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#t1G-%'matrixG6#7&7%\"\"!F*F*7%\"\"\"F*F*7%F*F,F*7%#! \"\"\"\"##!\"&F1F*" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT3D 400 300 300 {PLOTDATA 3 "6,-%)POLYGONSG6$7%7%$\"\"\"\"\"!$F*F*F+7%F+F(F+7%$!+++++] !#5$!+++++D!\"*F+-%'COLOURG6&%$RGBG$\"*++++\"!\")F+F+-F$6$7%7%F+F+F+F, F--F56&F7F+F8F+-F$6$7%F>F'F,-F56&F7F)F)F)-F$6$7%F>F'7%F+F+F(-F56&F7F+F +F8-F$6$7%F'F,FIF4-F$6$7%F>F,FIF?-F$6$7%F>F'F-FJ-%*AXESSTYLEG6#%'NORMA LG-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%%\"xG%\"yG%\"zG" 1 2 0 1 10 0 2 1 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "C urve 3" "Curve 4" "Curve 5" "Curve 6" "Curve 7" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "t2:=trasforma(t0,MP([0,2,3,4],[1,-2,3,0])); " }{TEXT -1 37 "proiezione parallela di t0 sul piano " }{XPPEDIT 18 0 "2 *y+3*z+4 = 0;" "6#/,(*&\"\"#\"\"\"%\"yGF'F'*&\"\"$F'%\"zGF'F'\"\"%F'\" \"!" }{TEXT -1 30 " nella direzione del vettore (" }{XPPEDIT 18 0 "1,- 2,3;" "6%\"\"\",$\"\"#!\"\"\"\"$" }{TEXT -1 1 ")" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "disegno3d(tetraedro(t0) union tetraedro(t2));" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#t2G-%'matrixG6#7&7%#!\"%\"\"&#\"\") F,#!#7F,7%#\"\"\"F,F-F/7%#!\"'F,#\"#-F$6$7%FJFNFT-F?6&FAFEFBFE-F$6$7%7% $!+++++!)F*F+F.F0F7Fgn-F$6$7%F\\oF'F7FU-F$6$7%F\\oF'F0FO-%*AXESSTYLEG6 #%'NORMALG-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%%\"xG%\"yG%\"zG" 1 2 0 1 10 0 2 1 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Cur ve 2" "Curve 3" "Curve 4" "Curve 5" "Curve 6" "Curve 7" "Curve 8" }}}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 36 "4.3 Classificazione d elle proiezioni" }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 26 "4.3.1 Proiezio ni parallele" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 267 "Le proiezioni dello spaz io alterano le distanze tra i punti. In generale, il rapporto tra la l unghezza del segmento proiettato e la lunghezza del segmento originale \350 differente da 1. Tale rapporto dipende solo dalla direzione del \+ segmento e per questo lo chiameremo " }{TEXT 475 16 "fattore di scala " }{TEXT -1 43 " nella direzione determinata da un vettore " } {XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 3 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Il segmento con estremi " }{XPPEDIT 18 0 "P = (p[1], p[2] , p[3]);" "6#/%\"PG6%&%\"pG6#\"\"\"&F'6#\"\"#&F'6#\"\"$" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "Q = (p[1]+t*v[1], p[2]+t*v[2], p[3]+t*v[3]);" "6# /%\"QG6%,&&%\"pG6#\"\"\"F**&%\"tGF*&%\"vG6#F*F*F*,&&F(6#\"\"#F**&F,F*& F.6#F3F*F*,&&F(6#\"\"$F**&F,F*&F.6#F:F*F*" }{TEXT -1 3 " = " } {XPPEDIT 18 0 "P+t*(v[1], v[2], v[3]);" "6#,&%\"PG\"\"\"*&%\"tGF%6%&% \"vG6#F%&F*6#\"\"#&F*6#\"\"$F%F%" }{TEXT -1 15 " ha lunghezza " } {XPPEDIT 18 0 "abs(t)*abs(v);" "6#*&-%$absG6#%\"tG\"\"\"-F%6#%\"vGF(" }{TEXT -1 51 " e viene trasformato dalla proiezione con matrice " } {XPPEDIT 18 0 "M = N^T*C-N.C*I[4];" "6#/%\"MG,&*&)%\"NG%\"TG\"\"\"%\"C GF*F**&-%\".G6$F(F+F*&%\"IG6#\"\"%F*!\"\"" }{TEXT -1 55 " nel segment o i cui estremi hanno coordinate omogenee " }{XPPEDIT 18 0 "[p[1], p[2 ], p[3], 1]*M;" "6#*&7&&%\"pG6#\"\"\"&F&6#\"\"#&F&6#\"\"$F(F(%\"MGF(" }{TEXT -1 5 " e " }{XPPEDIT 18 0 "[q[1], q[2], q[3], 1]*M = [p[1], p [2], p[3], 1]*M+t*[v[1], v[2], v[3], 0]*M;" "6#/*&7&&%\"qG6#\"\"\"&F'6 #\"\"#&F'6#\"\"$F)F)%\"MGF),&*&7&&%\"pG6#F)&F56#F,&F56#F/F)F)F0F)F)*(% \"tGF)7&&%\"vG6#F)&F?6#F,&F?6#F/\"\"!F)F0F)F)" }{TEXT -1 24 ". La qua rta colonna di " }{XPPEDIT 18 0 "M;" "6#%\"MG" }{TEXT -1 14 " ha eleme nti (" }{XPPEDIT 18 0 "0,0,0,-(N.C);" "6&\"\"!F#F#,$-%\".G6$%\"NG%\"CG !\"\"" }{TEXT -1 64 "), per cui la quarta coordinata omogenea viene mo ltiplicata per " }{XPPEDIT 18 0 "-(N.C);" "6#,$-%\".G6$%\"NG%\"CG!\"\" " }{TEXT -1 53 ". Ne deriva che il segmento proiettato ha lunghezza \+ " }{XPPEDIT 18 0 "abs(t)*abs([v[1], v[2], v[3], 0]*M)/abs(N.C);" "6#*( -%$absG6#%\"tG\"\"\"-F%6#*&7&&%\"vG6#F(&F.6#\"\"#&F.6#\"\"$\"\"!F(%\"M GF(F(-F%6#-%\".G6$%\"NG%\"CG!\"\"" }{TEXT -1 43 " . Dunque il fattore \+ di scala in direzione " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 2 " \+ \350" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "abs([v[1], v[ 2], v[3], 0]*M)/(abs(N.C)*abs(v));" "6#*&-%$absG6#*&7&&%\"vG6#\"\"\"&F *6#\"\"#&F*6#\"\"$\"\"!F,%\"MGF,F,*&-F%6#-%\".G6$%\"NG%\"CGF,-F%6#F*F, !\"\"" }{TEXT -1 18 " (1)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "dipendente solo dalla direzione di " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG " }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 476 11 "Eserc izio: " }{TEXT -1 112 "Mostrare che per ogni proiezione parallela il f attore di scala in una direzione parallela al piano di vista \350 1." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 477 10 "Esercizio:" }{TEXT -1 92 " Mostrare che il fattore di scala in direzione perpendicolare al p iano di vista \350 uguale a " }{XPPEDIT 18 0 "f;" "6#%\"fG" }{TEXT -1 26 " se, e solo se, l'angolo " }{XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG " }{TEXT -1 73 " tra il piano di vista e la direzione di proiezione so ddisfa la relazione" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "sin(theta)^2 = 1/(1+f^2);" "6#/*$-%$sinG6#%&thetaG\"\"#*&\"\"\"F+,&F+F+*$%\"fGF)F+! \"\"" }{TEXT -1 10 " ovvero " }{XPPEDIT 18 0 "cotan(theta) = f;" "6# /-%&cotanG6#%&thetaG%\"fG" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "(Suggerimento: se " }{XPPEDIT 18 0 "c = (c[1], c[2], c[3]);" "6#/% \"cG6%&F$6#\"\"\"&F$6#\"\"#&F$6#\"\"$" }{TEXT -1 37 " \350 la direzion e di proiezione, si ha " }{XPPEDIT 18 0 "C = (c[1], c[2], c[3], 0);" " 6#/%\"CG6&&%\"cG6#\"\"\"&F'6#\"\"#&F'6#\"\"$\"\"!" }{TEXT -1 33 ". Si \+ applichi la formula (1) con " }{XPPEDIT 18 0 "(v[1], v[2], v[3]) = (n[ 1], n[2], n[3]);" "6#/6%&%\"vG6#\"\"\"&F&6#\"\"#&F&6#\"\"$6%&%\"nG6#F( &F16#F+&F16#F." }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "n;" "6#%\"nG" } {TEXT -1 16 " e si ottenga " }{XPPEDIT 18 0 "(n.c)^2/(abs(n)^2*abs(c )^2) = 1/(1+f^2);" "6#/*&-%\".G6$%\"nG%\"cG\"\"#*&-%$absG6#F(F*-F-6#F) F*!\"\"*&\"\"\"F3,&F3F3*$%\"fGF*F3F1" }{TEXT -1 2 " )" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Una proiezione paralle la \350 detta " }{TEXT 454 0 "" }{TEXT 455 10 "ortogonale" }{TEXT 456 0 "" }{TEXT -1 112 " se la direzione di proiezione \350 perpendicolare al piano di vista. In tal caso, se il piano ha vettore omogeneo " } {XPPEDIT 18 0 "N = [n[1], n[2], n[3], n[4]];" "6#/%\"NG7&&%\"nG6#\"\" \"&F'6#\"\"#&F'6#\"\"$&F'6#\"\"%" }{TEXT -1 28 ", il centro di proiezi one \350 " }{XPPEDIT 18 0 "C = [-n[1], -n[2], -n[3], 0];" "6#/%\"CG7&, $&%\"nG6#\"\"\"!\"\",$&F(6#\"\"#F+,$&F(6#\"\"$F+\"\"!" }{TEXT -1 42 " \+ (o un qualsiasi suo multiplo non nullo). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Se la direzione della proiezione " }{TEXT 463 3 "non" }{TEXT -1 87 " \350 parallela a uno degli assi coordinati, solitamente la proiez ione ortogonale \350 detta " }{TEXT 457 0 "" }{TEXT 458 13 "assonometr ica" }{TEXT 459 0 "" }{TEXT -1 64 ". A loro volta tali proiezioni asso nometriche si distinguono in " }{TEXT 464 24 "isometriche, dimetriche \+ " }{TEXT -1 1 "e" }{TEXT 466 14 " trimetriche, " }{TEXT -1 49 "a secon da che 3, 2 o nessuno dei valori assoluti " }{XPPEDIT 18 0 "abs(n[1]); " "6#-%$absG6#&%\"nG6#\"\"\"" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "abs(n[2 ]);" "6#-%$absG6#&%\"nG6#\"\"#" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "abs(n [3]);" "6#-%$absG6#&%\"nG6#\"\"$" }{TEXT -1 155 " siano uguali tra di \+ loro. Nel primo caso i fattori di scala nelle direzioni dei tre assi s ono uguali, nel secondo sono uguali nelle direzioni di due assi." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 465 11 "Esercizi o: " }{TEXT -1 4 "Sia " }{XPPEDIT 18 0 "n[1]^2+n[2]^2+n[3]^2 = 1;" "6# /,(*$&%\"nG6#\"\"\"\"\"#F)*$&F'6#F*F*F)*$&F'6#\"\"$F*F)F)" }{TEXT -1 48 ". Mostrare che il fattore di scala in direzione " }{XPPEDIT 18 0 " x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 3 " \350 " }{XPPEDIT 18 0 "sqrt(n[2]^2+n[3]^2) ;" "6#-%%sqrtG6#,&*$&%\"nG6#\"\"#F+\"\"\"*$&F)6#\"\"$F+F," }{TEXT -1 15 ", in direzione " }{XPPEDIT 18 0 "y;" "6#%\"yG" }{TEXT -1 3 " \350 \+ " }{XPPEDIT 18 0 "sqrt(n[1]^2+n[3]^2);" "6#-%%sqrtG6#,&*$&%\"nG6#\"\" \"\"\"#F+*$&F)6#\"\"$F,F+" }{TEXT -1 15 ", in direzione " }{XPPEDIT 18 0 "z;" "6#%\"zG" }{TEXT -1 3 " \350 " }{XPPEDIT 18 0 "sqrt(n[1]^2+n [2]^2);" "6#-%%sqrtG6#,&*$&%\"nG6#\"\"\"\"\"#F+*$&F)6#F,F,F+" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Una proiezione parallela \350 " }{TEXT 467 0 "" }{TEXT 468 7 "obli qua" }{TEXT 469 0 "" }{TEXT -1 53 " se non \350 ortogonale. In partico lare, si ottiene una " }{TEXT 478 20 "proiezione cavaliera" }{TEXT 479 0 "" }{TEXT -1 13 " se l'angolo " }{XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&the taG" }{TEXT -1 54 " tra il piano di vista e la direzione di proiezione \350 " }{XPPEDIT 18 0 "Pi/4;" "6#*&%#PiG\"\"\"\"\"%!\"\"" }{TEXT -1 85 ". In questo caso i segmenti perpendicolari al piano di vista non c ambiano lunghezza (" }{XPPEDIT 18 0 "f = 1;" "6#/%\"fG\"\"\"" }{TEXT -1 52 " nell'esercizio visto sopra). Si ottiene invece una " }{TEXT 480 0 "" }{TEXT 481 20 "proiezione 'cabinet'" }{TEXT 482 0 "" }{TEXT -1 24 " se l'angolo \350 tale che " }{XPPEDIT 18 0 "cotan(theta) = 1/2 ;" "6#/-%&cotanG6#%&thetaG*&\"\"\"F)\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 10 ", cio \350 se " }{XPPEDIT 18 0 "f = 1/2;" "6#/%\"fG*&\"\"\"F&\"\"#!\"\"" } {TEXT -1 11 " (l'angolo " }{XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 23 " \350 circa 1.1 radianti)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 488 8 "Esempio:" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Definiamo una proiezione 'cabin et' sul piano " }{XPPEDIT 18 0 "z = 0;" "6#/%\"zG\"\"!" }{TEXT -1 24 " . Il vettore normale \350 " }{XPPEDIT 18 0 "n = (0, 0, 1);" "6#/%\"nG 6%\"\"!F&\"\"\"" }{TEXT -1 5 ". Se " }{XPPEDIT 18 0 "c = (c[1], c[2], \+ c[3]);" "6#/%\"cG6%&F$6#\"\"\"&F$6#\"\"#&F$6#\"\"$" }{TEXT -1 73 " \+ \350 la direzione di proiezione, si ottiene una proiezione 'cabinet' q uando" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "(n.c)^2/(abs(n)^2*abs(c)^2) \+ = 4/5;" "6#/*&-%\".G6$%\"nG%\"cG\"\"#*&-%$absG6#F(F*-F-6#F)F*!\"\"*&\" \"%\"\"\"\"\"&F1" }{TEXT -1 22 " (deve essere " }{XPPEDIT 18 0 "f = 1/2;" "6#/%\"fG*&\"\"\"F&\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 44 " ; vedi l'es ercizio sopra e il suggerimento)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Dunqu e la condizione sulla direzione " }{XPPEDIT 18 0 "c;" "6#%\"cG" } {TEXT -1 8 " diventa" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "c[3]^2/(c[1]^ 2+c[2]^2+c[3]^2) = 4/5;" "6#/*&&%\"cG6#\"\"$\"\"#,(*$&F&6#\"\"\"F)F.*$ &F&6#F)F)F.*$&F&6#F(F)F.!\"\"*&\"\"%F.\"\"&F5" }{TEXT -1 13 " ovver o " }{XPPEDIT 18 0 "4(c[1]^2+c[2]^2) = c[3]^2;" "6#/-\"\"%6#,&*$&%\" cG6#\"\"\"\"\"#F,*$&F*6#F-F-F,*$&F*6#\"\"$F-" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Una possibile direzione \350 " }{XPPEDIT 18 0 " c = (3, 4, 10);" "6#/%\"cG6%\"\"$\"\"%\"#5" }{TEXT -1 43 ", corrispond ente alla matrice di proiezione" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "MP([0,0,1,0],[3,4,10,0]);" } }{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'matrixG6#7&7&!#5\"\"!F)F)7&F)F(F)F )7&\"\"$\"\"%F)F)7&F)F)F)F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "colore:=[red,green,blue,white,black,yellow]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "vertici:=[[1,2,4,3],[1,2,6,5],[1,3,7,5],[2,4,8,6],[3, 4,8,7],[5,6,8,7]]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 192 "box:= proc(l ) local i,ll; global faccia6; ll:=convert(l,listlist):for i from 1 to \+ 6 do faccia6[i]:=polygon([seq(ll[vertici[i,j]],j=1..4)],color=colore[i ]) od; RETURN(convert(faccia6,set)) end:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "c0:=[[0,0,0],[1,0,0],[0,1,0],[1,1,0],[0,0,1],[1,0,1], [0,1,1],[1,1,1]];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#c0G7*7%\"\"!F' F'7%\"\"\"F'F'7%F'F)F'7%F)F)F'7%F'F'F)7%F)F'F)7%F'F)F)7%F)F)F)" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "c1:=trasforma(c0,MP([0,0,1,0 ],[3,4,10,0]));" }{TEXT -1 53 " proiezione 'cabinet' del cubo unitario c0 sul piano " }{XPPEDIT 18 0 "z = 0;" "6#/%\"zG\"\"!" }{TEXT -1 1 " \+ " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#c1G-%'matrixG6#7*7%\"\"!F*F*7% \"\"\"F*F*7%F*F,F*7%F,F,F*7%#!\"$\"#5#!\"#\"\"&F*7%#\"\"(F2F3F*7%F0#\" \"$F5F*7%F7F:F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "disegno3 d(box(c0) union box(c1));" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT3D 400 300 300 {PLOTDATA 3 "60-%)POLYGONSG6$7&7%$\"\"\"\"\"!$F*F*F+7%F(F(F+7%$\"+++++ q!#5$\"+++++gF0F+7%F.$!+++++SF0F+-%'COLOURG6&%$RGBGF)F)F)-F$6$7&7%F+F( F+F,F-7%$!+++++IF0F1F+-F76&F9F*F*F*-F$6$7&7%F?F4F+F3F-F>-F76&F9$\"*+++ +\"!\")FIF+-F$6$7&7%F+F+F+F'F3FF-F76&F9F+FIF+-F$6$7&FOF'F,F=-F76&F9FIF +F+-F$6$7&FOF=F>FF-F76&F9F+F+FI-F$6$7&7%F+F+F(7%F(F+F(7%F(F(F(7%F+F(F( FG-F$6$7&F=F,F[oF\\oFA-F$6$7&F'F,F[oFjnF6-F$6$7&FOF=F\\oFinFZ-F$6$7&FO F'FjnFinFP-%*AXESSTYLEG6#%'NORMALG-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLA BELSG6%%\"xG%\"yG%\"zG" 1 2 0 1 10 0 2 1 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "Curve 3" "Curve 4" "Curve 5" "Curve 6" "Curve 7" "Curve 8" "Curve 9" "Curve 10" "Curve 11" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "c2:=trasforma(c0,MP([0,0,1,0],[3,4, 5,0]));" }{TEXT -1 38 " proiezione cavaliera di c0 sul piano " } {XPPEDIT 18 0 "z = 0;" "6#/%\"zG\"\"!" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#c2G-%'matrixG6#7*7%\"\"!F*F*7%\"\"\"F*F*7%F*F,F *7%F,F,F*7%#!\"$\"\"&#!\"%F2F*7%#\"\"#F2F3F*7%F0#F,F2F*7%F6F9F*" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "disegno3d(box(c2));" }} {PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT3D 400 300 300 {PLOTDATA 3 "6+-%)POLYGONSG6$7& 7%$\"\"!F)F(F(7%$\"\"\"F)F(F(7%$\"+++++S!#5$!+++++!)F0F(7%$!+++++gF0F1 F(-%'COLOURG6&%$RGBGF($\"*++++\"!\")F(-F$6$7&F'F*7%F+F+F(7%F(F+F(-F76& F9F:F(F(-F$6$7&F'FA7%F4$\"+++++?F0F(F3-F76&F9F(F(F:-F$6$7&F*F@7%F.FHF( F--F76&F9F,F,F,-F$6$7&FAF@FOFG-F76&F9F)F)F)-F$6$7&F3F-FOFG-F76&F9F:F:F (-%*AXESSTYLEG6#%'NORMALG-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%% \"xG%\"yG%\"zG" 1 2 0 1 10 0 2 1 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "Curve 3" "Curve 4" "Curve 5" "Curve 6" }}}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 29 "4.3.2 Proiezioni prosp ettiche" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Sia " }{XPPEDIT 18 0 "M = N^T*C -N.C*I[4];" "6#/%\"MG,&*&)%\"NG%\"TG\"\"\"%\"CGF*F**&-%\".G6$F(F+F*&% \"IG6#\"\"%F*!\"\"" }{TEXT -1 65 " la matrice che rappresenta la proie zione prospettica dal centro " }{XPPEDIT 18 0 "C = (c[1], c[2], c[3], \+ c[4]);" "6#/%\"CG6&&%\"cG6#\"\"\"&F'6#\"\"#&F'6#\"\"$&F'6#\"\"%" } {TEXT -1 6 " (con " }{XPPEDIT 18 0 "c[4] <> 0;" "6#0&%\"cG6#\"\"%\"\"! " }{TEXT -1 12 ") sul piano " }{XPPEDIT 18 0 "n[1]*x+n[2]*y+n[3]*z+n[4 ] = 0;" "6#/,**&&%\"nG6#\"\"\"F)%\"xGF)F)*&&F'6#\"\"#F)%\"yGF)F)*&&F'6 #\"\"$F)%\"zGF)F)&F'6#\"\"%F)\"\"!" }{TEXT -1 6 ". Sia " }{XPPEDIT 18 0 "v = (v[1], v[2], v[3]);" "6#/%\"vG6%&F$6#\"\"\"&F$6#\"\"#&F$6#\"\"$ " }{TEXT -1 64 " una direzione nello spazio, corrispondente al punto \+ improprio " }{XPPEDIT 18 0 "V = (v[1], v[2], v[3], 0);" "6#/%\"VG6&&% \"vG6#\"\"\"&F'6#\"\"#&F'6#\"\"$\"\"!" }{TEXT -1 19 ". La proiezione d i " }{XPPEDIT 18 0 "V;" "6#%\"VG" }{TEXT -1 67 " \350 ancora un punto improprio se la quarta componente del prodotto " }{XPPEDIT 18 0 "V*M \+ = V*N^T*C-N.C*V;" "6#/*&%\"VG\"\"\"%\"MGF&,&*(F%F&)%\"NG%\"TGF&%\"CGF& F&*&-%\".G6$F+F-F&F%F&!\"\"" }{TEXT -1 17 " \350 zero, cio\350 se" }} {PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "(v[1]*n[1]+v[2]*n[2]+v[3]*n[3])*c[4] \+ = 0;" "6#/*&,(*&&%\"vG6#\"\"\"F*&%\"nG6#F*F*F**&&F(6#\"\"#F*&F,6#F1F*F **&&F(6#\"\"$F*&F,6#F7F*F*F*&%\"cG6#\"\"%F*\"\"!" }{TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "Ma " }{XPPEDIT 18 0 "c[4] <> 0;" "6#0&%\"c G6#\"\"%\"\"!" }{TEXT -1 32 " e quindi la condizione diventa " } {XPPEDIT 18 0 "v[1]*n[1]+v[2]*n[2]+v[3]*n[3] = 0;" "6#/,(*&&%\"vG6#\" \"\"F)&%\"nG6#F)F)F)*&&F'6#\"\"#F)&F+6#F0F)F)*&&F'6#\"\"$F)&F+6#F6F)F) \"\"!" }{TEXT -1 22 ". Dunque la direzione " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#% \"vG" }{TEXT -1 41 " deve essere perpendicolare alla normale " } {XPPEDIT 18 0 "n = (n[1], n[2], n[3]);" "6#/%\"nG6%&F$6#\"\"\"&F$6#\" \"#&F$6#\"\"$" }{TEXT -1 212 ", cio\350 parallela al piano di vista. Q uesto fatto implica che le rette parallele che non sono parallele al p iano di proiezione vengono proiettate in rette che convergono verso un punto del piano di proiezione, il " }{TEXT 483 13 "punto di fuga" } {TEXT -1 69 ", mentre le rette parallele al piano di proiezione restan o parallele." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 133 "Il piano di proiezione p u\362 essere parallelo a nessuno, a uno o a due assi coordinati. Rispe ttivamente, si hanno 3,2,1 punti di fuga (" }{TEXT 484 10 "principali " }{TEXT -1 46 ") per le rette parallele agli assi coordinati." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 20 "" 0 "" {TEXT -1 7 "E sempio" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "c3:=trasforma(c0,M P([0,0,1,0],[-1,0,2,1]));" }{TEXT -1 141 "proiezione prospettica sul p iano z = 0 dal punto (-1,0,2) con un punto di fuga principale (quello \+ derivante dalle rette parallele all'asse z)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "evalm([[0,0,1,0]]&*MP([0,0,1,0],[-1,0,2,1]));" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#c3G-%'matrixG6#7*7%\"\"!F*F*7%\"\" \"F*F*7%F*F,F*7%F,F,F*F+7%\"\"$F*F*7%F,\"\"#F*7%F0F2F*" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'matrixG6#7#7&!\"\"\"\"!F)\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 " il punto di fuga principale \350 (-1 ,0,0)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 68 "disegno3d(`union`( box(c0),box(c3),\{point([-1,0,0],symbol=CIRCLE)\}));" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT3D 400 300 300 {PLOTDATA 3 "61-%)POLYGONSG6$7&7%$\"\"!F)F(F( 7%F($\"\"\"F)F(7%F+$\"\"#F)F(7%F+F(F(-%'COLOURG6&%$RGBGF(F($\"*++++\"! \")-F$6$7&F'F07%$\"\"$F)F(F(F0-F26&F4F(F5F(-F$6$7&F07%F+F+F(7%F-%*AXESSTYLEG6#%'NO RMALG-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%%\"xG%\"yG%\"zG" 1 2 0 1 10 0 2 1 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2 " "Curve 3" "Curve 4" "Curve 5" "Curve 6" "Curve 7" "Curve 8" "Curve 9 " "Curve 10" "Curve 11" "Curve 12" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "c4:=trasforma(c0,MP([1,0,-1,-2],[-1,0,2,1])):" } {TEXT -1 21 "proiezione sul piano " }{XPPEDIT 18 0 "x-z-2 = 0;" "6#/,( %\"xG\"\"\"%\"zG!\"\"\"\"#F(\"\"!" }{TEXT -1 20 " dal punto (-1,0,2) \+ " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "evalm([[1,0,0,0],[0,0,1,0]]&*MP ([1,0,-1,-2],[-1,0,2,1]));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'matri xG6#7$7&\"\"%\"\"!\"\"#\"\"\"7&F+F)\"\"$!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 " i due punti di fuga principali sono (4,0,2) e (-1 ,0,-3)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 100 "disegno3d(`union `(box(c0),box(c4),\{point([4,0,2],symbol=CIRCLE)\},\{point([-1,0,-3],s ymbol=CIRCLE)\}));" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT3D 400 300 300 {PLOTDATA 3 "63-%)POLYGONSG6$7&7%$\"+nmmmm!#5$\"\"!F,$!+LLLL8!\"*7%$\" +++++:F/F+$!+++++]F*7%F1$\"++++]7F/F37%F($\"+nmmm;F/F--%'COLOURG6&%$RG BG$\"*++++\"!\")F+F+-F$6$7&F'F07%$\"+LLLLBF/F+$\"+LLLLLF*F0-F<6&F>F+F? F+-F$6$7&F'F87%F1$\"+++++DF/F3F0-F<6&F>F+F+F?-F$6$7&F0F57%FFF9FHFE-F<6 &F>\"\"\"FZFZ-F$6$7&7%F+F+F+7%$FZF,F+F+7%FjnFjnF+7%F+FjnF+F;-F$6$7&F8F 5FWFO-F<6&F>F,F,F,-F$6$7&F0FEFWFO-F<6&F>F?F?F+-%'POINTSG6$7%$\"\"%F,F+ $\"\"#F,-%'SYMBOLG6#%'CIRCLEG-Fho6$7%$!\"\"F,F+$!\"$F,F_p-F$6$7&7%F+F+ Fjn7%FjnF+Fjn7%FjnFjnFjn7%F+FjnFjnFeo-F$6$7&F\\oF[oF_qF`qF`o-F$6$7&Fin F[oF_qF^qFX-F$6$7&FhnF\\oF`qF]qFR-F$6$7&FhnFinF^qF]qFJ-%*AXESSTYLEG6#% 'NORMALG-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6%%\"xG%\"yG%\"zG" 1 2 0 1 10 0 2 1 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "Curve 3" "Curve 4" "Curve 5" "Curve 6" "Curve 7" "Curve 8" "Curve 9" "Curve 10" "Curve 11" "Curve 12" "Curve 13" "Curve 14" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 33 "4.4 Coordinate del piano di v ista" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 370 "Il secondo passo per ottenere un a visualizzazione di oggetti tridimensionali \350 l'introduzione di un sistema di coordinate cartesiane sul piano di vista e la rappresentaz ione dell'oggetto proiettato in termini di queste nuove coordinate bid imensionali. Per introdurre le coordinate sul piano di vista \350 nece ssario fissare un'origine e due direzioni ortogonali nel piano. " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Denotiamo con " }{XPPEDIT 18 0 "O[1] = (q [1], q[2], q[3], 1);" "6#/&%\"OG6#\"\"\"6&&%\"qG6#F'&F*6#\"\"#&F*6#\" \"$F'" }{TEXT -1 47 " l'origine espressa nelle coordinate omogenee (" }{XPPEDIT 18 0 "X,Y,Z,W;" "6&%\"XG%\"YG%\"ZG%\"WG" }{TEXT -1 20 ") del lo spazio, con " }{XPPEDIT 18 0 "v[r] = (r[1], r[2], r[3]);" "6#/&%\"v G6#%\"rG6%&F'6#\"\"\"&F'6#\"\"#&F'6#\"\"$" }{TEXT -1 3 " e " } {XPPEDIT 18 0 "v[s] = (s[1], s[2], s[3]);" "6#/&%\"vG6#%\"sG6%&F'6#\" \"\"&F'6#\"\"#&F'6#\"\"$" }{TEXT -1 86 " due vettori unitari ortogonal i nelle direzioni degli assi del nuovo riferimento. Sia " }{XPPEDIT 18 0 "P[1] = (X, Y, Z, W);" "6#/&%\"PG6#\"\"\"6&%\"XG%\"YG%\"ZG%\"WG" }{TEXT -1 69 " un punto del piano, espresso in coordinate omogenee del lo spazio, e " }{XPPEDIT 18 0 "P[2] = (R, S, T);" "6#/&%\"PG6#\"\"#6%% \"RG%\"SG%\"TG" }{TEXT -1 71 " il vettore delle coordinate omogenee de llo stesso punto rispetto alle " }{TEXT 485 10 "coordinate" }{TEXT 486 1 " " }{TEXT 489 3 "del" }{TEXT 490 1 " " }{TEXT 491 14 "piano di \+ vista" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Vogliamo determ inare una matrice 3x4 " }{XPPEDIT 18 0 "K;" "6#%\"KG" }{TEXT -1 9 " ta le che" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "P[1] = P[2]*K;" "6#/&%\"PG6 #\"\"\"*&&F%6#\"\"#F'%\"KGF'" }{TEXT -1 2 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "e poi cercare di invertire la relazione e ottenere " } {XPPEDIT 18 0 "P[2];" "6#&%\"PG6#\"\"#" }{TEXT -1 16 " in funzione di \+ " }{XPPEDIT 18 0 "P[1];" "6#&%\"PG6#\"\"\"" }{TEXT -1 16 ". Per calcol are " }{XPPEDIT 18 0 "K;" "6#%\"KG" }{TEXT -1 112 " prendiamo alcuni p unti del piano di vista di cui conosciamo le coordinate in entrambi i \+ sistemi di riferimento:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "l'origine " } {XPPEDIT 18 0 "O[1] = (q[1], q[2], q[3], 1)" "6#/&%\"OG6#\"\"\"6&&%\"q G6#F'&F*6#\"\"#&F*6#\"\"$F'" }{TEXT -1 34 ", il punto improprio in dir ezione " }{XPPEDIT 18 0 "v[r];" "6#&%\"vG6#%\"rG" }{TEXT -1 2 ": " } {XPPEDIT 18 0 "R[1] = (r[1], r[2], r[3], 0);" "6#/&%\"RG6#\"\"\"6&&%\" rG6#F'&F*6#\"\"#&F*6#\"\"$\"\"!" }{TEXT -1 22 ", quello in direzione \+ " }{XPPEDIT 18 0 "v[s];" "6#&%\"vG6#%\"sG" }{TEXT -1 2 ": " }{XPPEDIT 18 0 "S[1] = (s[1], s[2], s[3], 0);" "6#/&%\"SG6#\"\"\"6&&%\"sG6#F'&F* 6#\"\"#&F*6#\"\"$\"\"!" }{TEXT -1 47 " e il punto del piano che si ott iene traslando " }{XPPEDIT 18 0 "O[1];" "6#&%\"OG6#\"\"\"" }{TEXT -1 27 " mediante il vettore somma " }{XPPEDIT 18 0 "v[r]+v[s];" "6#,&&%\" vG6#%\"rG\"\"\"&F%6#%\"sGF(" }{TEXT -1 2 ": " }{XPPEDIT 18 0 "T[1] = ( q[1]+r[1]+s[1], q[2]+r[2]+s[2], q[3]+r[3]+s[3], 1);" "6#/&%\"TG6#\"\" \"6&,(&%\"qG6#F'F'&%\"rG6#F'F'&%\"sG6#F'F',(&F+6#\"\"#F'&F.6#F6F'&F16# F6F',(&F+6#\"\"$F'&F.6#F>F'&F16#F>F'F'" }{TEXT -1 4 " = (" }{XPPEDIT 18 0 "t[1],t[2],t[3],1;" "6&&%\"tG6#\"\"\"&F$6#\"\"#&F$6#\"\"$F&" } {TEXT -1 2 ")." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "I quattro punti hanno c oordinate omogenee (" }{XPPEDIT 18 0 "R,S,T;" "6%%\"RG%\"SG%\"TG" } {TEXT -1 128 ") rispetto al nuovo riferimento (0,0,1), (1,0,0), (0,1,0 ), (1,1,1) rispettivamente. Quindi deve valere l'uguaglianza matricial e:" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "matrix([[q[1], q[2], q[3], 1], \+ [r[1], r[2], r[3], 0], [s[1], s[2], s[3], 0], [t[1], t[2], t[3], 1]]) \+ = matrix([[0, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0], [1, 1, 1]])*K;" "6#/-%'matr ixG6#7&7&&%\"qG6#\"\"\"&F*6#\"\"#&F*6#\"\"$F,7&&%\"rG6#F,&F56#F/&F56#F 2\"\"!7&&%\"sG6#F,&F>6#F/&F>6#F2F;7&&%\"tG6#F,&FF6#F/&FF6#F2F,*&-F%6#7 &7%F;F;F,7%F,F;F;7%F;F,F;7%F,F,F,F,%\"KGF," }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 31 "da cui si ricava che dev'essere" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "K = matrix([[r[1], r[2], r[3], 0], [s[1], s[2], s[3] , 0], [q[1], q[2], q[3], 1]]);" "6#/%\"KG-%'matrixG6#7%7&&%\"rG6#\"\" \"&F+6#\"\"#&F+6#\"\"$\"\"!7&&%\"sG6#F-&F76#F0&F76#F3F47&&%\"qG6#F-&F? 6#F0&F?6#F3F-" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "La matric e " }{XPPEDIT 18 0 "K;" "6#%\"KG" }{TEXT -1 47 " ha rango 3 (ha tre ri ghe indipendenti, poich\351 " }{XPPEDIT 18 0 "v[r];" "6#&%\"vG6#%\"rG " }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "v[s];" "6#&%\"vG6#%\"sG" }{TEXT -1 52 " non sono paralleli) e quindi la matrice simmetrica " } {XPPEDIT 18 0 "K*K^T;" "6#*&%\"KG\"\"\")F$%\"TGF%" }{TEXT -1 73 " \350 una matrice invertibile di ordine 3 (se esistesse una terna non nulla " }{XPPEDIT 18 0 "x = [x[1], x[2], x[3]]^T;" "6#/%\"xG)7%&F$6#\"\"\"& F$6#\"\"#&F$6#\"\"$%\"TG" }{TEXT -1 11 " tale che " }{XPPEDIT 18 0 "K *K^T*x = 0;" "6#/*(%\"KG\"\"\")F%%\"TGF&%\"xGF&\"\"!" }{TEXT -1 13 ", \+ si avrebbe " }{XPPEDIT 18 0 "x^T*K*K^T*x = 0;" "6#/**)%\"xG%\"TG\"\"\" %\"KGF()F)F'F(F&F(\"\"!" }{TEXT -1 7 ", cio\350 " }{XPPEDIT 18 0 "abs( x^T*K) = 0;" "6#/-%$absG6#*&)%\"xG%\"TG\"\"\"%\"KGF+\"\"!" }{TEXT -1 9 ", da cui " }{XPPEDIT 18 0 "x^T*K = 0;" "6#/*&)%\"xG%\"TG\"\"\"%\"KG F(\"\"!" }{TEXT -1 15 " e le righe di " }{XPPEDIT 18 0 "K;" "6#%\"KG" }{TEXT -1 30 " sarebbero dipendenti). Si ha " }{XPPEDIT 18 0 "K*K^T*(K *K^T)^(-1) = I[3];" "6#/*(%\"KG\"\"\")F%%\"TGF&)*&F%F&)F%F(F&,$F&!\"\" F&&%\"IG6#\"\"$" }{TEXT -1 8 " , cio\350 " }{XPPEDIT 18 0 "K;" "6#%\"K G" }{TEXT -1 7 " ha un'" }{TEXT 487 14 "inversa destra" }{TEXT -1 1 " \+ " }{XPPEDIT 18 0 "K^d = K^T*(K*K^T)^(-1);" "6#/)%\"KG%\"dG*&)F%%\"TG\" \"\")*&F%F*)F%F)F*,$F*!\"\"F*" }{TEXT -1 26 ". Possiamo quindi ottener e" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "P[1]*K^d = P[2];" "6#/*&&%\"PG6# \"\"\"F()%\"KG%\"dGF(&F&6#\"\"#" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Esempio" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Consideriamo la proiezione prospettica sul pian o " }{XPPEDIT 18 0 "z = 0;" "6#/%\"zG\"\"!" }{TEXT -1 96 " dal punto ( 1,5,3). Definiamo un sistema di coordinate sul piano di vista con orig ine nel punto " }{XPPEDIT 18 0 "O[1] = (1, 2, 0);" "6#/&%\"OG6#\"\"\"6 %F'\"\"#\"\"!" }{TEXT -1 53 ", direzione del primo asse data dal vetto re unitario " }{XPPEDIT 18 0 "v[r] = (3/5, 4/5, 0);" "6#/&%\"vG6#%\"rG 6%*&\"\"$\"\"\"\"\"&!\"\"*&\"\"%F+F,F-\"\"!" }{TEXT -1 38 " e direzion e del secondo asse data da " }{XPPEDIT 18 0 "v[s] = (-4/5, 3/5, 0);" " 6#/&%\"vG6#%\"sG6%,$*&\"\"%\"\"\"\"\"&!\"\"F.*&\"\"$F,F-F.\"\"!" } {TEXT -1 13 ". La matrice " }{XPPEDIT 18 0 "K;" "6#%\"KG" }{TEXT -1 9 " \350 dunque" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "K = matrix([[3/5, 4/ 5, 0, 0], [-4/5, 3/5, 0, 0], [1, 2, 0, 1]]);" "6#/%\"KG-%'matrixG6#7%7 &*&\"\"$\"\"\"\"\"&!\"\"*&\"\"%F,F-F.\"\"!F17&,$*&F0F,F-F.F.*&F+F,F-F. F1F17&F,\"\"#F1F," }{TEXT -1 5 " e " }{XPPEDIT 18 0 "K*K^T = matrix( [[1, 0, 11/5], [0, 1, 2/5], [11/5, 2/5, 6]]);" "6#/*&%\"KG\"\"\")F%%\" TGF&-%'matrixG6#7%7%F&\"\"!*&\"#6F&\"\"&!\"\"7%F.F&*&\"\"#F&F1F27%*&F0 F&F1F2*&F5F&F1F2\"\"'" }{TEXT -1 14 " con inversa " }{XPPEDIT 18 0 "( K*K^T)^(-1) = matrix([[146/25, 22/25, -11/5], [22/25, 29/25, -2/5], [- 11/5, -2/5, 1]]);" "6#/)*&%\"KG\"\"\")F&%\"TGF',$F'!\"\"-%'matrixG6#7% 7%*&\"$Y\"F'\"#DF+*&\"#AF'F3F+,$*&\"#6F'\"\"&F+F+7%*&F5F'F3F+*&\"#HF'F 3F+,$*&\"\"#F'F9F+F+7%,$*&F8F'F9F+F+,$*&F@F'F9F+F+F'" }{TEXT -1 0 "" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "La matrice " }{XPPEDIT 18 0 "K^d;" "6#)% \"KG%\"dG" }{TEXT -1 9 " \350 dunque" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "K^d = K^T*(K*K^T)^(-1);" "6#/)%\"KG%\"dG*&)F%%\"TG\"\"\")*&F%F*)F%F )F*,$F*!\"\"F*" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[3/5, -4/5, \+ 0], [4/5, 3/5, 0], [0, 0, 0], [-11/5, -2/5, 1]]);" "6#-%'matrixG6#7&7% *&\"\"$\"\"\"\"\"&!\"\",$*&\"\"%F*F+F,F,\"\"!7%*&F/F*F+F,*&F)F*F+F,F07 %F0F0F07%,$*&\"#6F*F+F,F,,$*&\"\"#F*F+F,F,F*" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "e la trasformazione di coordinate \350 data in \+ coordinate cartesiane da: (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y,0;" "6%%\"xG%\"yG\" \"!" }{TEXT -1 7 ") -> " }{XPPEDIT 18 0 "[3*x/5+4*y/5-11/5, -4*x/5+3 *y/5-2/5];" "6#7$,(*(\"\"$\"\"\"%\"xGF'\"\"&!\"\"F'*(\"\"%F'%\"yGF'F)F *F'*&\"#6F'F)F*F*,(*(F,F'F(F'F)F*F**(F&F'F-F'F)F*F'*&\"\"#F'F)F*F*" } {TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "norma:=v->sqrt(dotprod(v,v)):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 152 "Kd:=proc(q,r,s) local K; K:=augment(matrix(3,3,[r /norma(r),s/norma(s),q]),matrix(3,1,[0,0,1])); evalm(transpose(K)&*inv erse(K&*transpose(K))); end proc:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "Kd([1,2,0],[3,4,0],[-4,3,0]);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'matrixG6#7&7%#\"\"$\"\"&#!\"%F*\"\"!7%#\"\"%F*F(F-7% F-F-F-7%#!#6F*#!\"#F*\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 80 "t0:=[[0,0,0],[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]:t1:=trasforma(t0,MP([0,0,1,0 ],[1,5,3,1])):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "t2d:=trasforma(t1 ,Kd([1,2,0],[3,4,0],[-4,3,0])); " }{TEXT -1 66 "la trasformazione \350 applicata al tetraedro t0 proiettato (cf. 4.2)" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$t2dG-%'matrixG6#7&7$#!#6\"\"&#!\"#F,7$#!\")F,#!\"'F, 7$#!\"(F,#\"\"\"F,7$#!\"*\"\"##!\"$F<" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 77 "disegno2d:=f->plots[display](f,scaling=CONSTRAINED,ax es=NORMAL,labels=[x,y]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "disegno 2d(tetraedro(t2d));" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6)-%)POLYGONSG6$7%7$$!+++++A!\"*$!+++++S!#57$$!+++++;F*$! +++++7F*7$$!+++++XF*$!+++++:F*-%'COLOURG6&%$RGBG$\"\"!F=F<$\"*++++\"! \")-F$6$7%F'F.7$$!+++++9F*$\"+++++?F--F96&F;\"\"\"FKFK-F$6$7%F.FDF3-F9 6&F;F>FF<-%*AXESSTYLEG6#%'NORMALG-%(SCALING G6#%,CONSTRAINEDG-%+AXESLABELSG6$%\"xG%\"yG" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "Curve 3" "Curve \+ 4" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 64 "4.5 Coordinate d el 'dispositivo grafico'. La 'Viewing Pipeline' " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 75 "Il terzo e ultimo passo per rappresentare un oggetto trid imensionale su un " }{TEXT 496 19 "dispositivo grafico" }{TEXT -1 309 " (finestra nello schermo del computer, stampante, etc.) \350 il cambi amento di coordinate bidimensionali che trasforma una regione rettango lare del piano di proiezione in una finestra nel sistema di coordinate del dispositivo. La parte dell'immagine proiettata che sta all'estern o della finestra viene tagliata (" }{TEXT 495 10 "'clipping'" }{TEXT -1 44 "), e non appare nell' immagine visualizzata." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 6 "Siano " }{XPPEDIT 18 0 "x,y;" "6$%\"xG%\"yG" }{TEXT -1 52 " le coordinate cartesiane del piano di proiezione e " }{XPPEDIT 18 0 "u,v;" "6$%\"uG%\"vG" }{TEXT -1 108 " le coordinate del dispositi vo grafico. Se la regione rettangolare da rappresentare \350 delimitat a dai valori " }{XPPEDIT 18 0 "x[min],x[max];" "6$&%\"xG6#%$minG&F$6#% $maxG" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "y[min],y[max];" "6$&%\"yG6#%$m inG&F$6#%$maxG" }{TEXT -1 75 " e la finestra sul dispositivo ha angolo inferiore sinistro di coordinate (" }{XPPEDIT 18 0 "u[min],v[min];" " 6$&%\"uG6#%$minG&%\"vG6#F&" }{TEXT -1 29 ") e angolo superiore destro \+ (" }{XPPEDIT 18 0 "u[max],v[max];" "6$&%\"uG6#%$maxG&%\"vG6#F&" } {TEXT -1 140 "), la trasformazione di coordinate si ottiene concatenan do tre trasformazioni piane: una traslazione che porta l'angolo inferi ore sinistro (" }{XPPEDIT 18 0 "x[min],y[min];" "6$&%\"xG6#%$minG&%\"y G6#F&" }{TEXT -1 167 ") nell'origine, un cambiamento di scala che rend e le due finestre di uguali dimensioni, seguita da una traslazione che porta l'origine nell'angolo inferiore sinistro (" }{XPPEDIT 18 0 "u[m in],u[max];" "6$&%\"uG6#%$minG&F$6#%$maxG" }{TEXT -1 54 ") della secon da finestra. La trasformazione ha matrice" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "D = T(-x[min],-y[min])*S(Delta*u/(Delta*x),Delta*v/(Del ta*y))*T(u[min],v[min]);" "6#/%\"DG*(-%\"TG6$,$&%\"xG6#%$minG!\"\",$&% \"yG6#F-F.\"\"\"-%\"SG6$*(%&DeltaGF3%\"uGF3*&F8F3F+F3F.*(F8F3%\"vGF3*& F8F3F1F3F.F3-F'6$&F96#F-&F<6#F-F3" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "dove " }{XPPEDIT 18 0 "Delta*u = u[max]-u[min];" "6#/*&%&D eltaG\"\"\"%\"uGF&,&&F'6#%$maxGF&&F'6#%$minG!\"\"" }{TEXT -1 3 " , " } {XPPEDIT 18 0 "Delta*v = v[max]-v[min];" "6#/*&%&DeltaG\"\"\"%\"vGF&,& &F'6#%$maxGF&&F'6#%$minG!\"\"" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "Delta* x = x[max]-x[min];" "6#/*&%&DeltaG\"\"\"%\"xGF&,&&F'6#%$maxGF&&F'6#%$m inG!\"\"" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "Delta*y = y[max]-y[min];" " 6#/*&%&DeltaG\"\"\"%\"yGF&,&&F'6#%$maxGF&&F'6#%$minG!\"\"" }{TEXT -1 23 ". Mediante il prodotto " }{XPPEDIT 18 0 "P[3] = P[2]*D;" "6#/&%\"P G6#\"\"$*&&F%6#\"\"#\"\"\"%\"DGF," }{TEXT -1 13 " il vettore " } {XPPEDIT 18 0 "P[2];" "6#&%\"PG6#\"\"#" }{TEXT -1 78 " delle coordinat e omogenee del piano di vista vengono trasformate nel vettore " } {XPPEDIT 18 0 "P[3];" "6#&%\"PG6#\"\"$" }{TEXT -1 59 " delle coordinat e omogenee nel riferimento del dispositivo." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "La successione delle tre trasformazioni descritte in questo cap itolo, " }{TEXT 497 10 "proiezione" }{TEXT -1 14 " su un piano (" } {XPPEDIT 18 0 "P[1] = P*M;" "6#/&%\"PG6#\"\"\"*&F%F'%\"MGF'" }{TEXT -1 24 "), trasformazione nelle " }{TEXT 498 29 "coordinate del piano d i vista" }{TEXT -1 2 " (" }{XPPEDIT 18 0 "P[2] = P[1]*K^d;" "6#/&%\"PG 6#\"\"#*&&F%6#\"\"\"F+)%\"KG%\"dGF+" }{TEXT -1 24 "), trasformazione n elle " }{TEXT 499 26 "coordinate del dispositivo" }{TEXT -1 2 " (" } {XPPEDIT 18 0 "P[3] = P[2]*D" "6#/&%\"PG6#\"\"$*&&F%6#\"\"#\"\"\"%\"DG F," }{TEXT -1 15 "), \350 chiamata '" }{TEXT 492 0 "" }{TEXT 493 16 "v iewing pipeline" }{TEXT 494 0 "" }{TEXT -1 46 "', ed \350 descritta co mpletamente dalla matrice " }{XPPEDIT 18 0 "V[P];" "6#&%\"VG6#%\"PG" } {TEXT -1 61 ", di ordine 4x3, che si ottiene moltiplicando le tre matr ici " }{XPPEDIT 18 0 "M;" "6#%\"MG" }{TEXT -1 26 " (matrice di proiezi one), " }{XPPEDIT 18 0 "K^d;" "6#)%\"KG%\"dG" }{TEXT -1 70 " (matrice \+ della trasformazione nelle coordinate del piano di vista) e " } {XPPEDIT 18 0 "D;" "6#%\"DG" }{TEXT -1 48 " (matrice della trasformazi one nelle coordinate " }{XPPEDIT 18 0 "u,v;" "6$%\"uG%\"vG" }{TEXT -1 18 " del dispositivo):" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "V[P] = M*K^ d*D;" "6#/&%\"VG6#%\"PG*(%\"MG\"\"\")%\"KG%\"dGF*%\"DGF*" }{TEXT -1 6 ", " }{XPPEDIT 18 0 "P[3] = P*M*K^d*D;" "6#/&%\"PG6#\"\"$**F%\"\" \"%\"MGF))%\"KG%\"dGF)%\"DGF)" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "P*V[P ];" "6#*&%\"PG\"\"\"&%\"VG6#F$F%" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT 500 9 "Esempio: " } {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Riprendiamo l'esempio in \+ 4.4: consideriamo la proiezione prospettica sul piano " }{XPPEDIT 18 0 "z = 0;" "6#/%\"zG\"\"!" }{TEXT -1 83 " dal punto (1,5,3), con il si stema di coordinate del piano di vista avente origine " }{XPPEDIT 18 0 "O[1] = (1, 2, 0);" "6#/&%\"OG6#\"\"\"6%F'\"\"#\"\"!" }{TEXT -1 76 " , direzione del primo asse (3,4,0) e direzione del secondo asse (-4,3 ,0) . " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 266 "Siano rispettivamente (-3,-3) \+ e (3,2) gli angoli inferiore sinistro e superiore destro della finestr a nel piano di vista, e siano (500,400) e (980,700) gli angoli della f inestra sul dispositivo grafico (ad esempio, uno schermo con risoluzio ne 1280x1024). La matrice " }{XPPEDIT 18 0 "D;" "6#%\"DG" }{TEXT -1 14 " \350 il prodotto" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "D = T(3,3)*S ((980-500)/(3-(-3)),(700-400)/(2-(-3)))*T(500,400);" "6#/%\"DG*(-%\"TG 6$\"\"$F)\"\"\"-%\"SG6$*&,&\"$!)*F*\"$+&!\"\"F*,&F)F*,$F)F2F2F2*&,&\"$ +(F*\"$+%F2F*,&\"\"#F*,$F)F2F2F2F*-F'6$F1F8F*" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "d \+ := evalm(T(3,3)&*S((980-500)/(3-(-3)),(700-400)/(2-(-3)))&*T(500,400)) ;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"dG-%'matrixG6#7%7%\"#!)\"\"!F +7%F+\"#gF+7%\"$S(\"$!e\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "t:=trasforma(t2d,d); " }{TEXT -1 72 "applichiamo la trasformazio ne al tetraedro t0 proiettato (cf. 4.2 e 4.4)" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"tG-%'matrixG6#7&7$\"$k&\"$c&7$\"$7'\"$3&7$\"$G'\"$# f7$\"$!Q\"$!\\" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 85 "plots[dis play](tetraedro(t),scaling=CONSTRAINED,view=[500..980,400..700],axes=B OXED);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6)-%)POL YGONSG6$7%7$$\"$7'\"\"!$\"$3&F*7$$\"$G'F*$\"$#fF*7$$\"$!QF*$\"$!\\F*-% 'COLOURG6&%$RGBG$\"*++++\"!\")$F*F*F>-F$6$7%7$$\"$k&F*$\"$c&F*F-F2-F86 &F:F>F;F>-F$6$7%FBF'F--F86&F:\"\"\"FNFN-F$6$7%FBF'F2-F86&F:F>F>F;-%*AX ESSTYLEG6#%$BOXG-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%%VIEWG6$;$\"$+&F*$\"$!)*F *;$\"$+%F*$\"$+(F*" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 2 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "Curve 3" "Curve 4" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "Vp:=evalm(MP([0,0,1,0],[1,5,3,1])&* Kd([1,2,0],[3,4,0],[-4,3,0])&*d); " }{TEXT -1 69 "questa \350 la matri ce complessiva che rappresenta la 'viewing pipeline'" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#VpG-%'matrixG6#7&7%!$W\"\"$W\"\"\"!7%!$#>!$3\"F,7 %\"$K*\"$)o\"\"\"7%!%#p\"!%o;!\"$" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "trasforma(t0,Vp);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6# -%'matrixG6#7&7$\"$k&\"$c&7$\"$7'\"$3&7$\"$G'\"$#f7$\"$!Q\"$!\\" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "c:=trasforma(c0,Vp): " } {TEXT -1 51 "la 'viewing pipeline' applicata al cubo unitario c0" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "plots[display](box(c),scaling=CONST RAINED,view=[500..980,400..700],axes=BOXED);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6+-%)POLYGONSG6$7&7$$\"$k&\"\"!$\"$ c&F*7$$\"$7'F*$\"$3&F*7$$\"$w'F*$\"$W&F*7$$\"$G'F*$\"$#fF*-%'COLOURG6& %$RGBG$\"*++++\"!\")$F*F*FC-F$6$7&F-F27$$\"$[&F*$\"$s%F*7$$\"$_%F*$\"$ =%F*-F=6&F?\"\"\"FSFS-F$6$7&F'F77$$\"$w%F*F57$$\"$!QF*$\"$!\\F*-F=6&F? FCFCF@-F$6$7&F'F-FLFZ-F=6&F?FCF@FC-F$6$7&FZFLFGFW-F=6&F?F@F@FC-F$6$7&F 7F2FGFW-F=6&F?F*F*F*-%*AXESSTYLEG6#%$BOXG-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-% %VIEWG6$;$\"$+&F*$\"$!)*F*;$\"$+%F*$\"$+(F*" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 2 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "Curve 3" "Curve \+ 4" "Curve 5" "Curve 6" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}} }{MARK "4" 0 }{VIEWOPTS 0 1 0 1 1 1803 1 1 0 0 }{PAGENUMBERS 1 1 2 33 1 1 }