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20/09/2011: Definizione ed
esempi di limite e continuita' per funzioni vettoriali di variabile reale.
Curve continue nel piano e nello spazio: definizione ed esempi. Curve piane rappresentabili
come grafico di funzioni da R in R. Curve piane in coordinate polari.
Derivabilita' e vettore tangente. Determinazione di una parametrizzazione della
detta tangente alla curva in un punto dato.
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23/09/2011: Curve regolari a
tratti: definizione ed esempi. Lunghezza di archi di curve regolari a
tratti.Indipendenza dalla parametrizzazione. Esempi: elica cilindrica, arco di
circonferenza, curve grafici di funzioni da R in R, astroide.
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27/09/2011: Integrali di
linea di prima specie: definizione ed esempi. Applicazione al calcolo della
massa e delle coordinate del baricentro di un filo di densita' variabile.
Integrali di linea di seconda specie: definizione ed esempi. Applicazione al
calcolo del lavoro di un campo di forze lungo una linea data. Esempi ed
esercizi.
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30/09/2011: Definizione di
versore tangente, versore normale, versore binormale, curvatura e torsione di
una curva regolare. Definizione di raggio di curvatura e di cerchio osculatore.
Esempi ed esercizi. Applicazione: scomposizione dell'accelerazione di un punto
nelle componenti tangenziale e centripeta. Formule per il calcolo della terna
di Frenet, curvatura e torsione per parametrizzazioni generiche. Esempi ed
esercizi.
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04/10/2011: Esercizi sul
calcolo della curvatura per curve nel piano. Introduzione del concetto di
funzione da R^n in R. Rappresentazione grafica. Grafici, curve di livello,
superfici di livello. Definizione di limite. Esempi.
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07/10/2011: Funzioni
continue da R^n in R: definizione ed esempi. Definizione di derivata direzionale
e di derivate parziali. Esempi e discussione sul significato geometrico. Regole
per il calcolo delle derivate parziali.
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11/10/2011: Derivabilita'
per funzioni da R^n in R. Calcolo delle derivate parziali. Vettore gradiente.
Piano tangente al grafico di una funzione f da R^2 in R. Differenziabilita' di
una funzione f da R^n in R: definizione ed esempi. Proprieta' delle funzioni
differenziabili. Condizione sufficiente per la differenziabilita'.
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14/10/2011: Differenziabilita'
per funzioni da R^n in R. Esercizi sul piano tangente al grafico di f da R^2 in
R. Formula del gradiente per il calcolo delle derivate direzionali. Gradiente
come direzione di max crescita della funzione. Esempi. Derivazione di funzione
composta. Esercizi.
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18/10/2011: Ortogonalita’ del vettore gradiente alle curve di
livello. Definizione di derivate parziali seconde. Matrice Hessiana. Teorema di
Schwarz. Formula di Taylor e polinomio di Taylor del secondo ordine. Massimi e
minimi locali. Teorema di Fermat. Criterio dei minori nord ovest per lo studio
del segno degli autovalori della matrice Hessiana. Esempi.
· 21/10/2011: Esercizi sullo studio della natura dei punti stazionari di una funzione di due o tre variabili tramite l’analisi della matrice Hessiana: punti di massimo locale, di minimo locale o di sella.
· 25/10/2011: Massimi e minimi assoluti. Teorema di Weierstrass. Metodo dei moltiplicatori di lagrange per la determinazione dei punti di massimo e minimo di una funzione di piu’ variabili su un insieme definito da un vincolo di uguaglianza. Esempi ed esercizi.
· 04/11/2011: Esercizi sui massimi e minimi assoluti e sul metodo dei moltipicatori di Lagrange. Introduzione alle funzioni da R^n in R^m. Continuita’, derivabilita’ e differenziabilita’. Matrice Jacobiana. Cambiamenti di coordinate e definizione di diffeomorfismo. Teorema della funzione inversa.
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08/11/2011: Esempi di cambiamenti di
coordinate nel piano e nello spazio: coordinate polari in R^2, coordinate
cilindriche in R^3, coordianate polari in R^3.
Integrazione di funzione di piu' variabili. Definizione di integrale doppio di una funzione limitata definita su un rettangolo di R^2. Calcolo tramite integrazioni successive. Integrale doppio di una funzione limitata definita su un sottoinsieme di R^2. Insiemi x-semplici, y-semplici e insiemi regolari. Calcolo tramite integrazioni successive. Esempi ed esercizi.
· 11/11/2011: Integrali doppi. Applicazione al calcolo delle coordinate del baricentro di una lamina piana di densita' variabile. Esempi. Derivazione della formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi.
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15/11/2011: Esercizi sulla formula
di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari nel piano.
Coordinate ellittiche nel piano.
Integrali tripli.
Definizione. Integrazione su domini semplici per fili e per strati. Esempi ed
esercizi.
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18/11/2011: Esercizi sugli integrali
tripli. Formula di cambiamento di variabili negli integrali tripli. Esempio.
Introduzione ai campi
vettoriali. Operatore gradiente, rotore e divergenza. Campi irrotazionali e
campi solenoidali.
Campi conservativi: definizione e proprieta'.
· 22/11/2011: Campi conservativi: proprieta' ed esempi. I campi conservativi sono irrotazionali. I campi irrotazionali definiti su un insieme semplicemente connesso sono conservativi. Costruzione del potenziale associato ad un campo conservativo.
Formula di Gauss-Green nel piano: esempi ed esercizi.
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25/11/2011: Teorema della divergenza
nel piano. Esempi di applicazione.
Superfici nello spazio.
Parametrizzazioni, linee coordinate, vettori tangenti, vettore normale, piano
tangente.
Integrali di superficie:
area di una superfice descritta da una parametrizzazione regolare
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29/11/2011: Integrali di superficie
di funzioni continue. Calcolo di aree. Esempi ed esercizi.
Supefici orientabili.
Flusso di un campo vettoriale attraverso una superfice regolare orientata.
Esempi ed esercizi.
Teorema della
divergenza. Esempi ed esercizi.
· 02/12/2011: Applicazioni del teorema della divergenza: esempi ed esercizi. Teorema del rotore: enunciato ed esempi di applicazione
· 06/12/2011: Introduzione alla statistica descrittiva. Tipi di dati, modalita', campioni statistici. Frequenza relativa. Istogrammi.Media aritmetica, varianza, deviazione standard. Media geometrica, media armonica, media quadratica. Mediana, quartili, percentili, boxplots. Correlazione e regressione lineare.
· 13/12/2011: Elementi di calcolo delle probabilita’. Spazi di probabilita'. Formule per il calcolo delle probabilita'. Probabilita' condizionata. formula di Bayes. eventi indipendenti. Esempi ed esercizi.
· 16/12/2011: Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni combinazioni. Esempi ed esercizi.
· 20/12/2011: Esercizi di riepilogo.