DIARIO DEL CORSO:

15 settembre (2 ore): introduzione del corso. Richiami di calcolo vettoriale. R^n come spazio vettoriale: somma tra vettori, prodotto di vettori per uno scalare, base standard. R^n come spazio Euclideo: prodotto scalare tra vettori, norma, distanza. Prodotto vettoriale in R^3. Introduzione alle funzioni vettoriali di variabile reale. Componenti. Definizione di limite per funzioni f:RàR^n. Calcolo del limite di f tramite il calcolo dei limite delle sue funzioni componenti. Continuità.

16 settembre (4 ore): Curve nel piano e nello spazio. Parametrizzazione e sostegno di una curva. Esempi: rette, semirette, segmenti, circonferenza, semicirconferenza, elica cilindrica. Curve chiuse e curve semplici. Una curva ammette differenti parametrizzazioni, esempi. Una parametrizzazione fissa un verso di percorrenza della curva. Analogia cinematica. Derivabilità di funzioni f:RàR^n. vettore derivata. Significato geometrico, retta tangente ad una curva in un punto. Parametrizzazioni regolari di curve, curve regolari: definizione, esempi e controesempi. Esercizi: ricerca della parametrizzazione di una curva intersezione di 2 superfici; ricerca della parametrizzazione di una curva che giace su una superficie data e di cui è nota la proiezione sul piano xy.

18 settembre (2 ore): per le curve regolari la direzione della retta tangente varia con continuità. Definizione di parametrizzazione di curve regolari a tratti e di curve regolari a tratti. Lunghezza di un arco di curva continua come estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. Curve rettificabili. Lunghezza di curve regolari a tratti. Esempi ed esercizi.

19 settembre (2 ore) Lunghezza di curve regolari a tratti. Esempi: curve piane grafico di funzioni continue; curve piane espresse in coordinate polari. Indipendenza della lunghezza dalla parametrizzazione (nell’ipotesi di iniettività). Esempi. Parametro d’arco e ascissa curvilinea. Esempi. Integrali di linea di prima specie.

22 settembre (2 ore) integrali di linea di prima specie. Definizione. Indipendenza dalla parametrizzazione. Esempi. Calcolo delle coordinate del baricentro di curve materiali. Introduzione di alcuni elementi di geometria differenziale delle curve. Versore tangente, versore normale, curvatura.

23 settembre (2 ore) Terna di frenet: versore tangente, normale, binormale, curvatura e torsione. Cerchio osculatore, piano osculatore. Esempio: elica cilindrica. Formule per il calcolo di T,N,B,k,tau rispetto ad una parametrizzazione qualsiasi

23 settembre (2 ore) Esercizi su curve e integrali di linea (lezione svolta dal dott. Igor Khavkine).

25 settembre (2 ore) calcolo della terna di Frenet e della curvatura per curve piane. Scomposizione del vettore accelerazione nelle componenti tangenziale e normale. Introduzione alle funzioni f:R^n-->R. Rappresentazione grafica.

26 settembre (2 ore) Grafico e curve di livello per funzioni f:R^2->R. Superfici di livello per funzioni f:R^3->R. esempi ed esercizi. Definizione di limite.

29 settembre (2 ore) Concetto di limite per funzioni f:R^nàR.

30 settembre (2 ore) Limiti per funzioni f:R^nàR. Analisi di forme indeterminate. Derivate parziali e derivate direzionali.

30 settembre (2 ore) Esercizi (lezione svolta dal dott. Igor Khavkine).

2 ottobre (2 ore). Piano tangente al grafico di una funzione f:R^2->R.

3 ottobre (2 ore ) Differenziabilità per funzioni f:R^2->R.

6 ottobre (2 ore) Derivate delle funzioni composte. Proprietà geometriche del gradiente. Alcuni esempi. Derivate dell'ordine superiore e il teorema di Schwarz. (lezione svolta dal dott. Igor Khavkine).

7 ottobre (2 ore) Matrice Hessiana. La notazione o(|h|), o(|h|^2). Teorema di Taylor, fino al secondo ordine. Alcuni esempi di calcolo della matrice Hessiana. (lezione svolta dal dott. Igor Khavkine).

10 ottobre (2 ore) Ottimisazione libera. Rivista in una variabile e generalizzazione per più variabili. Estremi globali per domini chiusi e limitati. Classificazione dei punti critici non degenere in più
variabili usando il metodo dei minori principali. (lezione svolta dal dott. Igor Khavkine).

13 ottobre (2 ore) esercizi su massimi e minimi locali.

14 ottobre (2 ore) massimi e minimi assoluti per funzioni f:R^n-->R. Teorema di Weierstrass. Elementi di topologia di R^n: punti interni, esterni e di frontiera. Interno, frontiera e chiusura di un insieme. insiemi aperti e insiemi chiusi. Esempi. Ricerca dei punti di massimo e minimo di una funzione f:R^2-->R ristretta ad una curva regolare. Metodo di parametrizzazione del vincolo. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

14 ottobre (2 ore) esercizi su massimi e minimi assoluti (lezione svolta dal dott. Igor Khavkine).

16 ottobre (2 ore) massimi e minimi assoluti per funzioni di tre variabili.

17 ottobre (2 ore) metodo dei minimi quadrati

20 ottobre (2 ore) definizione di integrale di una funzione limitata f:R^2->R su un rettangolo. Funzioni integrabili. Calcolo tramite il metodo di riduzione. Esempi ed esercizi.

21 ottobre (2 ore) definizione di integrale di una funzione limitata f:R^2->R su un sottoinsieme limitato di R^2. Insiemi misurabili e insiemi di misura nulla. Insiemi x-semplici, y-semplice ed insiemi regolari. Proprietà dell’integrale. Calcolo dell’integrale di una funzione continua su insiemi x-semplici oppure y-semplici tramite il metodo di riduzione. Esempi ed esercizi

21 ottobre (2 ore) esercizi sul calcolo di integrali

24 Ottobre (2 ore). Trasformazioni di coordinate in R^2. Diffeomorfismi globali. Formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi.

27 0ttobre (2 ore). Esercizi ed esempi sulla formula di doppi (lezione svolta dal dott. Igor Khavkine).cambiamento di variabili negli integrali doppi.

28 ottobre (2 ore). Integrali di volume (o integrali tripli). Definizione di funzione integrabile su un parallelepipedo. Definizione di funzione integrabile su un sottoinsieme limitato di R^3. Insiemi misurabili. Insiemi semplici “per fili” ed insiemi semplici “per strati”. Integrazione “per fili” ed integrazione “per strati”. Esempi.

28 ottobre (2 ore). Esercizi su integrali di volume (lezione svolta dal dott. Igor Khavkine).

30 ottobre (2 ore) formula di cambiamento di variabili negli integrali di volume. Coordinate sferiche e coordinate cilindriche in R^3. Esempi.

31 ottobre (2 ore) Integrali doppi generalizzati. Calcolo dell’integrale Gaussiano. Teorema della funzione implicita in R^2.

10 novembre (2 ore). Campi vettoriali. Linee di campo. Integrali di linea di seconda specie.

11 novembre (2 ore) Campi vettoriali conservativi.

11 novembre (2 ore) esercizi su integrali di linea di seconda specie e campi vettoriali conservativi.

13 novembre (2 ore) Formula di Gauss-Green nel piano

14 novembre (2 ore) superfici regolari in forma parametrica. Linee coordinate. Vettori tangenti, vettore normale, piano tangente.

17 novembre (2 ore) superfici come insiemi di livello di funzioni f:R^3->R. Teorema della funzione implicita. Area di una superficie in forma parametrica.

18 novembre (2 ore) integrali di superficie di funzioni f:R^3->R. Integrali di superficie di campi vettoriali: flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata.

18 novembre (2 ore) esercizi su integrali di superficie di funzioni e di campi vettoriali (lezione svolta dal dott. Igor Khavkine).

20 novembre (2 ore). Teorema della divergenza.

21 novembre (2 ore). Teorema della divergenza: applicazioni ed esercizi.

24 novembre (2 ore). Teorema del rotore

25 novembre (2 ore). Applicazioni del teorema del rotore. Collegamento tra la condizione di irrotazionalità di un campo vettoriale e l’esistenza di un potenziale.

25 novembre (2 ore) Esercizio di riepilogo su integrali di superficie, teorema della divergenza e teorema del rotore. (lezione svolta dal dott. Igor Khavkine).

27 novembre (2 ore) successione di funzioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Il limite uniforme di una successione di funzioni continue è una funzione continua. Serie totalmente convergenti. Esempi.

28 novembre (2 ore) serie di potenze. Raggio di convergenza. Teorema di Abel. Criteri per il calcolo del raggio di convergenza. Proprietà delle serie di funzioni. Applicazioni ed esempi.

1 dicembre (2 ore) Serie di potenze e serie di Taylor. Esempi e applicazioni. Applicazione al calcolo di integrali. Applicazioni alla soluzione di equazioni differenziali.

2 dicembre (2 ore) Serie di Fourier. Criteri di convergenza puntuale. Formule per il calcolo dei coefficienti di Fourier di una funzione periodica e derivabile a tratti.

2 dicembre (2 ore) Esercizi sulle serie di Fourier (lezione svolta dal dott. Igor Khavkine).

4 dicembre (2 ore) applicazioni delle serie di Fourier alle equazioni differenziali alle derivate parziali

5 dicembre (2 ore) Formule di ortonormalita'

9 dicembre (4 ore) Spazi di probabilità. Probabilità condizionata.

11 dicembre (2 ore) Elementi di statistica descrittiva.

12 dicembre (2 ore) retta di regressione. Elementi di calcolo combinatorio.

15 dicembre (2 ore) variabili casuali discrete

16 dicembre (2 ore) variabili casuali continue

16 dicembre (2 ore) Esercizi di riepilogo (lezione svolta dal dott. Igor Khavkine).

19 dicembre (2 ore). Correzione seconda prova in itinere.