Alle pagine di Sandro Mattarei , della Facoltà di Scienze, del Dipartimento di Matematica

Analisi di Fourier Discreta
Docente: Sandro Mattarei
A.A. 05/06

Orario

Al corso sono destinate le seguenti ore:
Orario delle lezioni
Giorno Ora Aula
Lunedí 13:30-16:30 208
Venerdí 10:30-13:30 209

In pratica, come concordato e salvo novità le lezioni del lunedí inizieranno alle 14:00 e quelle del venerdí alle 10:45.

Obiettivi del corso e programma di massima

L'obiettivo principale del corso è lo studio della trasformata di Fourier discreta (o DFT) su un gruppo abeliano finito, e delle sue applicazioni teoriche e pratiche.
Intendiamo anche stabilire le connessioni con le serie di Fourier e la trasformata di Fourier continua studiata in altri corsi, enfatizzando gli aspetti algebrici rispetto a quelli analitici.
Per il carattere interdisciplinare del corso, il programma verrà precisato durante lo svolgimento del corso a seconda delle competenze dei partecipanti. Per la stessa ragione, qualche argomento potrà essere svolto in modo intuitivo e non del tutto rigoroso. In linea di massima il programma sarà una parte del seguente.

La trasformata di Fourier sul gruppo ciclico finito Z/nZ.
Nozioni fondamentali di Teoria dei Grafi. Grafi associati a Z/nZ e relative applicazioni della trasformata di Fourier (spettri di grafi, expanders, random walks e generatori di numeri casuali).
Applicazioni della DFT in Geometria ed Analisi (spettri di Laplaciani, la disuguaglianza isoperimetrica).
Applicazioni alla e con la Teoria dei Numeri (una dimostrazione della Legge di Reciprocità quadratica basata sulla DFT, resti quadratici e soffitti delle sale da concerto).
La trasformata di Fourier veloce (o FFT).
Struttura dei gruppi abeliani finiti. La trasformata di Fourier su un gruppo abeliano finito, con applicazioni (la trasformata di Hadamard, applicazioni a grafi di Hammings, codici a correzione d'errore).
Applicazioni della DFT in Chimica e Fisica (il modello dell'urna di Ehrenfest in meccanica statistica, oscillatori accoppiati, la chimica di composti aromatici come il benzene).
Il Principio di Indeterminazione.
Approfondimento della DFT su gruppi abeliani finiti, e passaggio a gruppi infiniti: caratteri e gruppo duale, cenni a serie di Fourier e trasformata di Fourier sui reali.
Legame fra serie di Fourier e serie di Taylor (di funzioni di variabile complessa).

Il corso si baserà essenzialmente sul testo:
Audrey Terras, Fourier Analysis on Finite Groups and Applications, London Mathematical Society Student Texts 43, Cambridge University Press, 1999.

Diario delle lezioni e note del corso

Metto a vostra disposizione delle note del corso, che includono anche un diario delle lezioni. Saranno molto parziali e rimanderanno spesso al libro di testo. Siccome le sto scrivendo, aumenteranno con il procedere del corso. (Lievi cambiamenti potrebbero avvenire anche nelle parti già svolte a lezione!)
28 novembre 2005: le note dovrebbero essere ormai definitive (per quest'anno accademico). Piú precisamente, non intendo piú modificarle, salvo correggere eventuali errori.
Note.dvi, Note.pdf.

Orario di ricevimento

Ogni martedí dalle 15 alle 17, ma a richiesta anche in altri orari, da concordare volta per volta.

L'esame

Le date fissate per gli esami della sessione di novembre 2005 sono le seguenti.