1 00:00:08,000 --> 00:00:15,000 Chapitre 4 – La danse de Hilden 2 00:00:20,500 --> 00:00:27,600 La danse autour de l'arbre de mai est une tradition très ancienne, probablement originaire des cultures germaniques. 3 00:00:28,000 --> 00:00:38,000 La coutume se perpétue encore aujourd'hui, à l'occasion de fêtes populaires, dans de nombreuses régions d'Europe et d'Amérique. 4 00:00:43,000 --> 00:00:48,000 En effectuant des mouvements bien précis, les danseurs tressent les rubans colorés. 5 00:00:50,000 --> 00:00:55,000 Puis ils suivent les mouvements inverses pour défaire la tresse. 6 00:00:58,000 --> 00:01:06,000 Les rubans peuvent être tressés de différentes façons, une nouvelle chorégraphie prodisant une nouvelle tresse. 7 00:01:14,000 --> 00:01:18,000 En fait, la danse et les tresses sont étroitement liées! 8 00:01:32,000 --> 00:01:37,000 Regardons ces danseurs. Après avoir évolué librement, ils reviennent toujours sur les points colorés. 9 00:01:41,000 --> 00:01:46,000 Ainsi, l'ensemble occupe les mêmes positions à la fin qu'au début. 10 00:01:47,000 --> 00:01:51,800 Comment peut-on garder la trace de leurs mouvements? 11 00:01:52,000 --> 00:01:57,000 Est-il possible de décrire cette danse par un dessin statique? 12 00:01:57,200 --> 00:02:00,000 Représentons les danseurs par des points. 13 00:02:04,000 --> 00:02:08,000 Ces points se déplacent sur un disque. 14 00:02:10,000 --> 00:02:16,000 À chaque instant, les points restent distincts: les danseurs n'entrent jamais en collision! 15 00:02:19,000 --> 00:02:25,000 La danse préserve les points dans leur ensemble: ils retournent à leur position initiale mais peuvent être permutés. 16 00:02:29,000 --> 00:02:34,500 Si l'on trace la trajectoire de chaque point sur le disque, on peut obtenir un dessin très compliqué. 17 00:02:34,700 --> 00:02:44,000 Lorsque les trajectoires s'intersectent, on ne sait pas quel point est passé par là en premier, et on ne peut donc pas reconstruire la danse. 18 00:02:58,000 --> 00:03:04,000 Pour répondre à ce problème, il suffit de translater le disque pendant la durée de la danse. 19 00:03:04,500 --> 00:03:11,000 En d'autres termes, on représente le cours du temps par une dimension spaciale supplémentaire; ici, la direction verticale. 20 00:03:12,000 --> 00:03:17,000 Bien sûr, le nombre de danseurs reste le même à tout instant. 21 00:03:17,200 --> 00:03:23,000 Cela signifie qu'à chaque niveau, le disque horizontal rencontre chaque trajectoire une et une seule fois. 22 00:03:24,000 --> 00:03:28,000 Nous avons déjà vu ce genre d'objet: c'est une tresse! 23 00:03:30,000 --> 00:03:34,000 Précédemment, nous avions pris l'habitude de représenter les tresses horizontalement. 24 00:03:34,200 --> 00:03:39,200 Dans ce chapitre, nous allons les dessiner verticalement. 25 00:03:44,000 --> 00:03:50,000 Réciproquement, étant donné une tresse, nous pouvons la transformer en danse. 26 00:04:02,500 --> 00:04:07,800 Autrement dit, nous avons une description des tresses comme des traces de points qui dansent. 27 00:04:08,000 --> 00:04:12,600 Tresses et danses sont la même chose! 28 00:04:17,000 --> 00:04:24,000 On considère maintenant une danse où les danseurs sont divisés en couples qui se tiennent par la main. 29 00:04:25,000 --> 00:04:30,000 Comme avant, toutes les positions occupées initialement devront être occupées à la fin de la danse. 30 00:04:45,000 --> 00:04:50,000 Cette fois, un couple de danseurs peut être modélisé par un arc. 31 00:04:58,000 --> 00:05:03,000 Les arcs se déplacent en gardant leurs extrémités sur le disque. 32 00:05:03,500 --> 00:05:05,500 Ils peuvent tourner, 33 00:05:05,700 --> 00:05:07,700 échanger leurs positions, 34 00:05:07,900 --> 00:05:10,500 passer l'un en-dessous de l'autre, et caetera... 35 00:05:18,000 --> 00:05:22,000 Comme avant, on peut traduire la danse en terme de tresse. 36 00:05:22,200 --> 00:05:30,000 On translate le disque verticalement et on dessine la trajectoire des danseurs. 37 00:05:53,000 --> 00:05:56,500 Mais quelles sont les tresses qui sont des danses de couples? 38 00:05:57,000 --> 00:06:07,000 Bien sûr, la danse où tous les points restent immobiles en est une. Donc la tresse triviale est une danse de couples. 39 00:06:08,000 --> 00:06:13,000 Effectuer une danse après l'autre correspond à la composition des tresses. 40 00:06:14,000 --> 00:06:19,000 Si l'on compose deux danses de couples, la danse obtenue sera de même type. 41 00:06:20,000 --> 00:06:25,000 De plus, l'inverse d'une danse de couples est encore de même type. 42 00:06:36,000 --> 00:06:47,000 On dit alors que les tresses qui décrivent les danses de couples forment un sous-groupe du groupe des tresses. Ce sous-groupe est appelé le “groupe de Hilden”. 43 00:06:53,000 --> 00:06:57,000 On peut énumérer quelques danses élémentaires dans ce sous-groupe: 44 00:06:57,500 --> 00:07:03,000 les deux danceurs d'un couple peuvent échanger leurs positions... 45 00:07:08,500 --> 00:07:14,000 deux couples peuvent échanger leus positions... 46 00:07:20,500 --> 00:07:26,000 un couple peut passer sous les bras d'un autre couple. 47 00:07:29,000 --> 00:07:39,000 Beaucoup d'autres dances peuvent être réalisées, mais en fait, les trois mouvements que nous venons de décrire suffisent pour engendrer toutes les danses de Hilden! 48 00:07:39,200 --> 00:07:44,000 Autrement dit, ce sont des générateurs du sous-groupe de Hilden. 49 00:07:45,000 --> 00:07:50,000 Trouver les relations, comme nous l'avons fait pour le groupe des tresses, est bien plus compliqué. 50 00:07:50,200 --> 00:07:53,500 Comment tout ceci se relie-t-il à ce qu'on a déjà vu? 51 00:07:53,700 --> 00:08:00,000 Dans le chapitre trois, nous avons vu un moyen de passer des tresses aux nœuds via la fermeture. 52 00:08:01,000 --> 00:08:10,000 Fermer une tresse signifie ajouter de nouveaux brins verticaux que l'on relie aux anciens brins, pour obtenir un nœud. 53 00:08:17,000 --> 00:08:25,000 Si l'on déplace les nouveaux brins derrière les anciens, on obtient une tresse différente, fermée d'une nouvelle façon. 54 00:08:30,000 --> 00:08:39,000 Cette fermeture peut être effectuée sur chaque tresse possédant un nombre pair de brins. Elle est appelée la fermeture plate. 55 00:08:40,000 --> 00:08:46,000 Tout comme le premier type de fermeture, la fermeture plate produit un nœud à partir d'une tresse. 56 00:08:54,000 --> 00:09:02,000 Souvenons-nous du théorème d'Alexander: chaque nœud peut être obtenu en fermant une tresse. 57 00:09:07,000 --> 00:09:12,000 Mais toute tresse fermée à la façon d'Alexander peut être transformée en fermeture plate... 58 00:09:15,000 --> 00:09:21,000 Par conséquent, chaque nœud peut être obtenu comme la fermeture plate d'une tresse! 59 00:09:26,000 --> 00:09:34,000 Existe-t-il un théorème de Markov pour cette nouvelle fermeture? Dans quel cas deux tresses plates donnent-elles le même nœud? 60 00:09:38,000 --> 00:09:42,800 Il y a des transformations simples qui ne changent pas le nœud: 61 00:09:43,000 --> 00:09:49,000 on peut, par exemple, composer la tresse avec des éléments de Hilden, au-dessus... 62 00:09:49,500 --> 00:09:52,500 comme en-dessous. 63 00:09:54,000 --> 00:10:01,000 On peut aussi effectuer un nouveau type de stabilisation, en ajoutant deux brins avec un croisement. 64 00:10:02,000 --> 00:10:09,000 On peut continuer ainsi, composer avec des éléments de Hilden et des stabilisations. 65 00:10:10,000 --> 00:10:22,000 Après fermeture plate, le nœud ne change pas: on peut rétracter les arcs et retrouver le nœud initial. 66 00:10:40,000 --> 00:10:44,000 Un théorème de Birman assure que ces mouvements sont suffisants: 67 00:10:44,000 --> 00:10:51,100 deux tresses plates donnent le même nœud si et seulement si elles sont reliées par une suite de ces mouvements: stabilisation et composition avec des éléments de Hilden. 68 00:10:53,000 --> 00:10:59,000 Donc le sous-groupe de Hilden, celui des danses de couples, est l'un des principaux ingrédients de ce théorème! 69 00:11:00,000 --> 00:11:04,500 Mais comment reconnaitre les tresses de Hilden? 70 00:11:05,000 --> 00:11:09,000 Par exemple, cette tresse est une danse de couple. 71 00:11:14,000 --> 00:11:18,000 Et celle-ci est également une tresse de Hilden. 72 00:11:23,000 --> 00:11:30,000 Celle-là n'en est pas une, puisque deux danseurs appartenant à deux couples différents ne peuvent pas échanger leurs positions. 73 00:11:33,000 --> 00:11:40,000 Mais en général, étant donnée une tresse avec un nombre pair de brins, comment décider si elle appartient ou non au sous-groupe de Hilden ? 74 00:11:40,500 --> 00:11:45,000 Cette question d'appartenance est l'un des problèmes classiques de la théorie combinatoire des groupes. 75 00:11:46,000 --> 00:11:51,000 Dans notre cas, celui du sous-groupe des tresses de Hilden, il existe une réponse au problème... donnée par un algorithme! 76 00:11:51,200 --> 00:11:56,200 Mais en général, pour un groupe quelconque, un tel algorithme n'existe pas forcément! 77 00:11:57,000 --> 00:12:00,500 De nouveau, nous tombons donc sur un problème algorithmique... 78 00:12:00,700 --> 00:12:05,700 qui, de nouveau, est étroitement lié à la théorie des nœuds!