Chapitre 4 – La danse de Hilden
La danse autour de l'arbre de mai est une tradition très ancienne, probablement originaire des cultures germaniques.
La coutume se perpétue encore aujourd'hui, à l'occasion de fêtes populaires, dans de nombreuses régions d'Europe et d'Amérique.
En effectuant des mouvements bien précis, les danseurs tressent les rubans colorés.
Puis ils suivent les mouvements inverses pour défaire la tresse.
Les rubans peuvent être tressés de différentes façons, une nouvelle chorégraphie prodisant une nouvelle tresse.
En fait, la danse et les tresses sont étroitement liées!
Regardons ces danseurs. Après avoir évolué librement, ils reviennent toujours sur les points colorés.
Ainsi, l'ensemble occupe les mêmes positions à la fin qu'au début.
Comment peut-on garder la trace de leurs mouvements?
Est-il possible de décrire cette danse par un dessin statique?
Représentons les danseurs par des points.
Ces points se déplacent sur un disque.
À chaque instant, les points restent distincts: les danseurs n'entrent jamais en collision!
La danse préserve les points dans leur ensemble: ils retournent à leur position initiale mais peuvent être permutés.
Si l'on trace la trajectoire de chaque point sur le disque, on peut obtenir un dessin très compliqué.
Lorsque les trajectoires s'intersectent, on ne sait pas quel point est passé par là en premier, et on ne peut donc pas reconstruire la danse.
Pour répondre à ce problème, il suffit de translater le disque pendant la durée de la danse.
En d'autres termes, on représente le cours du temps par une dimension spaciale supplémentaire; ici, la direction verticale.
Bien sûr, le nombre de danseurs reste le même à tout instant.
Cela signifie qu'à chaque niveau, le disque horizontal rencontre chaque trajectoire une et une seule fois.
Nous avons déjà vu ce genre d'objet: c'est une tresse!
Précédemment, nous avions pris l'habitude de représenter les tresses horizontalement.
Dans ce chapitre, nous allons les dessiner verticalement.
Réciproquement, étant donné une tresse, nous pouvons la transformer en danse.
Autrement dit, nous avons une description des tresses comme des traces de points qui dansent.
Tresses et danses sont la même chose!
On considère maintenant une danse où les danseurs sont divisés en couples qui se tiennent par la main.
Comme avant, toutes les positions occupées initialement devront être occupées à la fin de la danse.
Cette fois, un couple de danseurs peut être modélisé par un arc.
Les arcs se déplacent en gardant leurs extrémités sur le disque.
Ils peuvent tourner,
échanger leurs positions,
passer l'un en-dessous de l'autre, et caetera...
Comme avant, on peut traduire la danse en terme de tresse.
On translate le disque verticalement et on dessine la trajectoire des danseurs.
Mais quelles sont les tresses qui sont des danses de couples?
Bien sûr, la danse où tous les points restent immobiles en est une. Donc la tresse triviale est une danse de couples.
Effectuer une danse après l'autre correspond à la composition des tresses.
Si l'on compose deux danses de couples, la danse obtenue sera de même type.
De plus, l'inverse d'une danse de couples est encore de même type.
On dit alors que les tresses qui décrivent les danses de couples forment un sous-groupe du groupe des tresses. Ce sous-groupe est appelé le “groupe de Hilden”.
On peut énumérer quelques danses élémentaires dans ce sous-groupe:
les deux danceurs d'un couple peuvent échanger leurs positions...
deux couples peuvent échanger leus positions...
un couple peut passer sous les bras d'un autre couple.
Beaucoup d'autres dances peuvent être réalisées, mais en fait, les trois mouvements que nous venons de décrire suffisent pour engendrer toutes les danses de Hilden!
Autrement dit, ce sont des générateurs du sous-groupe de Hilden.
Trouver les relations, comme nous l'avons fait pour le groupe des tresses, est bien plus compliqué.
Comment tout ceci se relie-t-il à ce qu'on a déjà vu?
Dans le chapitre trois, nous avons vu un moyen de passer des tresses aux nœuds via la fermeture.
Fermer une tresse signifie ajouter de nouveaux brins verticaux que l'on relie aux anciens brins, pour obtenir un nœud.
Si l'on déplace les nouveaux brins derrière les anciens, on obtient une tresse différente, fermée d'une nouvelle façon.
Cette fermeture peut être effectuée sur chaque tresse possédant un nombre pair de brins. Elle est appelée la fermeture plate.
Tout comme le premier type de fermeture, la fermeture plate produit un nœud à partir d'une tresse.
Souvenons-nous du théorème d'Alexander: chaque nœud peut être obtenu en fermant une tresse.
Mais toute tresse fermée à la façon d'Alexander peut être transformée en fermeture plate...
Par conséquent, chaque nœud peut être obtenu comme la fermeture plate d'une tresse!
Existe-t-il un théorème de Markov pour cette nouvelle fermeture? Dans quel cas deux tresses plates donnent-elles le même nœud?
Il y a des transformations simples qui ne changent pas le nœud:
on peut, par exemple, composer la tresse avec des éléments de Hilden, au-dessus...
comme en-dessous.
On peut aussi effectuer un nouveau type de stabilisation, en ajoutant deux brins avec un croisement.
On peut continuer ainsi, composer avec des éléments de Hilden et des stabilisations.
Après fermeture plate, le nœud ne change pas: on peut rétracter les arcs et retrouver le nœud initial.
Un théorème de Birman assure que ces mouvements sont suffisants:
deux tresses plates donnent le même nœud si et seulement si elles sont reliées par une suite de ces mouvements: stabilisation et composition avec des éléments de Hilden.
Donc le sous-groupe de Hilden, celui des danses de couples, est l'un des principaux ingrédients de ce théorème!
Mais comment reconnaitre les tresses de Hilden?
Par exemple, cette tresse est une danse de couple.
Et celle-ci est également une tresse de Hilden.
Celle-là n'en est pas une, puisque deux danseurs appartenant à deux couples différents ne peuvent pas échanger leurs positions.
Mais en général, étant donnée une tresse avec un nombre pair de brins, comment décider si elle appartient ou non au sous-groupe de Hilden ?
Cette question d'appartenance est l'un des problèmes classiques de la théorie combinatoire des groupes.
Dans notre cas, celui du sous-groupe des tresses de Hilden, il existe une réponse au problème... donnée par un algorithme!
Mais en général, pour un groupe quelconque, un tel algorithme n'existe pas forcément!
De nouveau, nous tombons donc sur un problème algorithmique...
qui, de nouveau, est étroitement lié à la théorie des nœuds!